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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\lfoot{\small{Amérique du Sud}}
\rfoot{novembre 2006}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Amérique du Sud  novembre 2006~\decofourright}}
 \end{center}

\vspace{0,5 cm}

\textbf{\textsc{Activités numériques} \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Rendre irréductible la fraction $\dfrac{425}{100}$	puis calculer et simplifier

\[\text{A} = \dfrac{425}{100} - \dfrac{3}{2}.\]

Donner l'inverse de A.
\item  Calculer B $= \left[(- 5)^2 + 3\right]^2 - 10^2$.
\item  On donne C $= 7\sqrt{18} - 3\sqrt{8} - \sqrt{32}$ et D $= \sqrt{2}\left(3\sqrt{2} - 1\right) + 2\left(2\sqrt{2} - 3\right)$.\\
Mettre C et D sous la forme $a\sqrt{2}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Soit l'inéquation $- 3(x- 1) -6 \geqslant  0$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  $- 2$ est-il solution de l'inéquation ? Justifier.	
\item  Résoudre l'inéquation ; représenter les solutions sur un axe (hachurer la partie de l'axe qui ne convient pas).
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Un meuble est proposé à 420~\euro{} après un rabais de 30\:\%.

Quel était le prix initial du meuble ?

\bigskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

$x$ est un nombre supérieur à 2.

 On considère un rectangle VOUS tel que VO $= 2x + 7$ et VS $= 2x - 3$.
 
\medskip
 
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,4)
\psframe(1,0)(7,3.5)
\uput[ul](1,3.5){V} \uput[ur](7,3.5){O}  
\uput[dr](7,0){U}  \uput[dl](1,0){S}  
\uput[u](4,3.5){$2x + 7$} \uput[l](0.75,1.75){$2x - 3$}  
\end{pspicture}
\end{center}
  
\medskip

\begin{enumerate}
\item  On donne $E = (2x + 7) (2x - 3)$ et $G = 2(2x + 7) + 2(2x - 3)$.
	\begin{enumerate}
		\item  Développer et réduire $E$.
		\item  Développer et réduire $G$.
	\end{enumerate}
\item Que représente, géométriquement, l'expression $E$ ? l'expression $G$ ?
\item Déterminer $x$ pour que VO soit le double de VS.

Que vaut  $G$ dans ce cas ?
\end{enumerate}
 
\newpage

\textbf{\textsc{Activités géométriques} \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Construire un triangle SER rectangle en R tel que SB = 4~cm et  SE = 6~cm. 
\item  Calculer l'angle $\widehat{\text{SEB}}$. Arrondir le résultat au dixième de degré. 
\item  Calculer la valeur exacte de EB.
\item  En tournant autour de la droite (EB), le triangle SEB engendre un cône :  EB est sa hauteur et [SB] est un rayon de la base.

Calculer le volume de ce cône. Arrondir au cm.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\parbox{0.55\linewidth}{\emph{La figure ci-contre n'est pas en  vraie grandeur ; on ne demande pas de la reproduire.}

Les points N, O, R d'une part et les points M, O, S d'autre part sont alignés dans cet ordre.

OS = 6~cm ; OM = 9~cm ; ON =  5,4~cm   et OR = 3,6~cm.
\begin{enumerate}
\item  Les droites (MN) et (RS) sont-elles parallèles ? Justifier.
\item On suppose que SR = 4,8~cm. Le triangle ORS est-il rectangle ?

Justifier.
\item En utilisant le théorème de Thalès, calculer MN.
\item On admettra que les droites (MN) et (NR) sont perpendiculaires.

Quelle est l'aire du quadrilatère MNSR ? Justifier.\end{enumerate}}\hfill
\parbox{0.41\linewidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(5,6.5)
\psline(0,3.56)(4.7,5.8) 
\psline(0.4,1)(4.7,6.3)
\psline(0.2,1.1)(4.3,4.2)
\psline(0,4)(4.5,4)
\psline(0.9,0)(0.9,6.5)
\psline(4,0.5)(4,6.5)
\uput[ul](0.9,1.62){M} \uput[ul](0.9,4){N} \uput[u](2.8,4){O} \uput[ul](4,4){R} \uput[ul](4,5.43){S} 
\end{pspicture}}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points}

\bigskip

\emph{On  demande de faire une figure sur du papier millimétré.}

Dans un repère orthogonal (O ; I,  J) d'unité le centimètre, placer les points :

\begin{center} E$(-3~;~ 0)$ ; B(2 ; 0) ; T(0 ; 4) et U(5 ; 4). \end{center}

\begin{enumerate}
\item  Lire les coordonnées des vecteurs $\vect{\text{ET}},~\vect{\text{EB}},~\vect{\text{UE}}$  et $\vect{\text{BU}}$.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer la longueur ET, puis la longueur EB. 
		\item  Quelle est la nature du quadrilatère TUBE ? Justifier.
		\item  F est le centre de symétrie de TUBE.

 Placer F et calculer ses coordonnées.
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  ($\mathcal{C}$) est le cercle de centre E qui passe par B. ($\mathcal{C}$) recoupe l'axe des	abscisses en A. Placer A.
		
Quelle est la nature du triangle ATB ?

Justifier.
		\item  Démontrer que les droites (AT) et (EF) sont parallèles.
		\item  À l'aide d'une propriété, comparer les longueurs EF et AT.
	\end{enumerate}
\item  Quelle est l'image du triangle ATE par la translation qui transforme A
en E ?
\end{enumerate}
\end{document} 