\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{lscape}
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage{graphics}
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-node,pstricks-add}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\setlength\paperheight{297mm}
\setlength\paperwidth{210mm}
\setlength{\textheight}{23,5cm}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\setlength{\voffset}{-1,5cm}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Brevet des collèges},
pdftitle = {Amérique du Sud  novembre  2008},
allbordercolors = white} 
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{Amérique du Sud}}
\rfoot{\small{novembre 2008}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
    
{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Amérique du Sud ~\decofourright\\ novembre 2008}}
    
\vspace{0,25cm}
    
\textbf{Durée : 2 heures} \end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill 12 points}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  On pose

\[\text{A} = \dfrac{2}{5} + \dfrac{1}{4} ;\qquad \text{B} =  \dfrac{2}{5} - \dfrac{1}{4} 
\qquad \text{et} \quad  \text{C} = \dfrac{\text{A}}{\text{B}}.\]

Écrire le nombre C sous la forme d'une fraction irréductible. 


\item On pose D $= \left(2^3\right)^2$ ;\quad  E = $4^5 \times 3^5$  ; \quad  F $ = \dfrac{5^{26}}{5^{17}}$.

Écrire sous la forme d'une puissance d'un nombre entier chacun des nombres D, E et F.
\item  On donne G $= 5\sqrt{32} + \sqrt{18} - 4\sqrt{50}$.

Écrire G sous la forme $a\sqrt{2}$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  On pose H $= (x - 4)^2 -x(x-10)$. 
	\begin{enumerate}
		\item Développer et réduire H. 
		\item Résoudre l'équation H $= 16$.
	\end{enumerate} 
\item On pose $\text{I} = (7x - 3)^2 - 5^2$. 
	\begin{enumerate}
		\item Factoriser I. 
		\item Résoudre l'équation $\text{I} = 0$.
	\end{enumerate}		
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer le PGCD des nombres \np{5148} et \np{2431}. 
\item On pose A $= \dfrac{\np{5148}}{\np{2431}}$. Écrire A sous la forme d'une fraction irréductible. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points}

\medskip
 
L'exercice \no 1 a été supprimé en conformité avec le nouveau programme.

\medskip
 
\textbf{Exercice 2}

\medskip
 
\emph{On donne la figure ci-dessous, qui n'est pas en vraie grandeur et qui n'est pas à reproduire.}

\medskip
 
Les points M, O et Q sont alignés ainsi que les points N, O et P.
 
Les segments [OM] et [OQ] sont des diamètres des deux cercles tracés ; 
on donne : OM = 7,5~cm et OQ =  4,5~cm.
 
\begin{enumerate}
\item  Prouver que le triangle MNO est rectangle en N.

\medskip
 
\emph{On admet pour la suite que le triangle OPQ est rectangle en P.}

\medskip
 
\item Justifier que les droites (MN) et (PQ) sont parallèles.
\item Dans le cas où ON = 5~cm, calculer la distance OP.
 
Justifier. 
\end{enumerate}


\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(5,6)
\pscircle(3.65,1.22){1.22}
\pscircle(1.85,3.65){1.85}
\psline(0.9,5.22)(4.4,0.23)
\psline(4.4,0.23)(2.6,0.6)(3.52,4.4)(0.9,5.22)
\uput[ul](0.9,5.22){M} \uput[ur](3.52,4.4){N} \uput[l](3,2.3){O} \uput[l](2.6,0.6){P} \uput[dr](4.4,0.23){Q} 
\end{pspicture}
\end{center}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{PROBLÈME \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{PREMIÈRE PARTIE}

\medskip
 
\emph{Une feuille de papier millimétré est nécessaire.\\ 
On rappelle que la longueur d'un cercle de rayon $R$ est $2\pi R$, que l'aire d'un disque de rayon $R$ est $\pi R^2$.\\ 
La figure $1$ ci-dessous n'est pas en vraie grandeur ; elle a été réalisée à partir des indications suivantes :}

\medskip

\parbox{0.55\linewidth}{Deux cercles de centre O et O$'$ se coupent en deux points A et B.
 
Le triangle OAB est rectangle en O et AB~=~8~cm.
 
Le triangle ABO$'$ est équilatéral. 
\begin{enumerate}
\item  En commençant par le triangle AOB, tracer cette figure en vraie grandeur sur une feuille de papier millimétré. 
\item Montrer que le segment [OA] mesure $4\sqrt{2}$~cm.
 
Montrer que l'arc de cercle de centre O, de rayon OA, représenté sur la figure 1,  mesure $6\pi \sqrt{2}$~cm. 
\item Choisir parmi les quatre nombres suivants celui qui est égal, en centimètres, à la longueur de l'arc de cercle de centre O$'$, de rayon O$'$A, représenté sur la figure 1. Aucune justification n'est demandée.  
\end{enumerate}} \hfill
\parbox{0.4\linewidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(6,9)
\pscircle(2.3,3){2.3}
\psarc(2.3,6.2){1.7}{-45}{225}
\pspolygon[linestyle=dashed](3.5,5)(2.3,3)(1.15,5)(2.3,6.2)
\psline[linestyle=dashed](1.15,5)(3.5,5)
\uput[u](2.3,6.2){O} \uput[d](2.3,3){O$'$} \uput[l](1.15,5){A} \uput[r](3.5,5){B}
\rput{-135}(2.3,6.2){\psframe(0.3,0.3)}
\rput(2.3,0.5){Figure 1} \uput[d](2.3,5){8} 
\end{pspicture}}


\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.}\quad  $\dfrac{8\pi}{3}$&\textbf{b.}\quad    $\dfrac{16\pi}{3}$&\textbf{c.}\quad    $\dfrac{40\pi}{3}$&\textbf{d.}\quad    $16\pi$
\end{tabularx} 

\newpage 

\textbf{DEUXIÈME PARTIE}

\medskip 

\parbox{0.55\linewidth}{On complète la figure 1 pour obtenir la figure 2 ci-contre. Les arcs de cercle tracés permettent d'obtenir une lentille (hachurée sur la figure) dont on souhaite calculer l'aire.
 
\begin{enumerate}
\item  Soit H le pied de la hauteur issue de O dans le triangle OAB.
 
Montrer que OH = 4~cm.
 
\emph{On admet pour la suite que}
 
$\text{O}'\text{H} = 4\sqrt{3}$~cm.
 
\item Calculer l'aire des triangles AOB et AO$'$B. 
\item En remarquant que le secteur d'angle $\widehat{\text{AOB}}$ est un quart du disque de centre O, calculer l'aire de ce secteur. En déduire l'aire exacte de la partie inférieure de la lentille puis en donner 
l'arrondi au cm$^2$.
\item Proposer une méthode pour calculer l'aire totale de la lentille. 
\end{enumerate}} \hfill
\parbox{0.4\linewidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(6,9)
\pscircle(2.3,3){2.3}
\pscircle(2.3,6.2){1.7}
\pspolygon(3.5,5)(2.3,3)(1.15,5)(2.3,6.2)
\psline(1.15,5)(3.5,5)
\psline(2.3,0.75)(2.3,8.2)
\uput[u](2.3,6.2){O} \uput[d](2.3,3){O$'$} \uput[l](1.15,5){A} \uput[r](3.5,5){B}
\rput{-135}(2.3,6.2){\psframe(0.3,0.3)}
\pscustom[fillstyle=vlines]{
\psarc(2.3,6.2){1.7}{225}{-45}
\psarc(2.3,3){2.3}{60}{120}
}
\rput(2.3,0.5){Figure 2} \uput[dl](2.3,5){H} \psframe(2.3,5)(2.5,5.2) 
\end{pspicture}}


\end{document}