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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Sujet aimablement fourni par Denis Le Fur
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\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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pdftitle = {Amérique du Sud novembre 2010},
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{Amérique du Sud}}
\rfoot{\small{novembre 2010}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}
    
{\Large\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Amérique du Sud~\decofourright\\novembre 2010}}
    
\vspace{0,5cm}
    
\textbf{Durée : 2 heures} \end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill 12 points}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Aucune justification n'est demandée pour cet exercice, les calculs pourront être réalisés à la calculatrice. On donne les nombres suivants :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} 
A $= \dfrac{927}{486 - 13 \times 8}$&B $= \dfrac{3 \times 10^5 - 6 \times 10^3}{3 \times 10^{11}}$& C $= \sqrt{\dfrac{442,5- 7^2 \times 2,5}{5}}$\\  
D $= \sqrt{6} - \sqrt{5}$&E $ = \dfrac{1}{\sqrt{6} + \sqrt{5}}$& \\
\end{tabularx}

\medskip 

\begin{enumerate}
\item Calculer A et donner un arrondi à $0,01$ près. 
\item Donner l'écriture scientifique de B. 
\item Calculer C. 
\item Comparer les nombres D et E. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Un carré a pour aire 225~cm$^2$. Quel est le périmètre de ce carré ? Justifier votre réponse.

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3}

\medskip 
 
On rappelle dans cet exercice que : 
\[(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \quad ; \quad (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\quad \text{et}~~ (a + b )(a - b) = a^2 - b^2\]
 
On donne les expressions numériques suivantes : 

A $= \left(3\sqrt{2} + 5\right)^2$ et B $= \left(\sqrt{7} + 3\right)\left(\sqrt{7} - 3\right)$

\medskip
 
Pour les deux questions suivantes, vous indiquerez au moins une étape de calcul.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Écrire A sous la forme $a + b\sqrt{2}$ où $a$ et $b$ sont des nombres entiers. 
\item Calculer B.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 4}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On considère le système suivant : $\left\{\begin{array}{l c l}
45x + 30y &=&510\\
27x + 20y &=&316
\end{array}\right.$ 

	\begin{enumerate}
		\item Les nombres $x = 10$ et $y = 2$ sont-ils solutions de ce système ? Justifier. 
		\item Les nombres $x = 8$ et $y = 5$ sont-ils solutions de ce système ? Justifier.
	\end{enumerate} 
\item Pour les fêtes de fin d'année, un groupe d'amis souhaite emmener leurs enfants assister à un spectacle au Palais des Congrès à Paris.
 
Les tarifs sont les suivants : 

\begin{tabular}{l} 
45~\euro{} par adulte et 30~\euro{} par enfant s'ils réservent en catégorie 1.\\
27~\euro{} par adulte et 20~\euro{} par enfant s'ils réservent en catégorie 2.\\
\end{tabular} 

Le coût total pour ce groupe d'amis est de 510~\euro{} s'ils réservent en catégorie 1 et 316~\euro{} s'ils réservent en catégorie 2. 

Déterminer le nombre d'adultes et d'enfants de ce groupe ?
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points}

\vspace{0,5cm} 

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire un triangle ABC tel que AB = 6 cm ; AC = 8 cm et BC = 10 cm. 
\item Démontrer que ce triangle est rectangle en A. 
\item On appelle O le centre du cercle circonscrit de ce triangle. 
	\begin{enumerate}
		\item Où se trouve le point O ? Justifier votre réponse. 
		\item En déduire le  rayon de ce cercle.
	\end{enumerate} 
\item Construire le point D pour que le quadrilatère ABDC soit un rectangle.
 
Le point D appartient-il au cercle circonscrit du triangle ABC ? Justifier.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm} 

\textbf{Exercice 2}

\medskip

EFG est un triangle rectangle en E tel que EF = 5 cm et FG = 13 cm. 

\emph{La figure donnée n'est pas réalisée à l'échelle.}

\medskip

\parbox{0.5\linewidth}{
\begin{enumerate}
\item Calculer la mesure de l'angle $\widehat{\text{EFG}}$. Arrondir au degré près. 
\item Montrer que EG = 12 cm. 
\item On considère le point M sur [EG] tel que 
EM = 3 cm.
 
Calculer GM. 
\item La perpendiculaire à (EG) passant par M coupe [FG] en N.
 
Les droites (MN) et (EF) sont-elles parallèles ? Justifier. 
\item Calculer GN.\end{enumerate}}\hfill 
\parbox{0.45\linewidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(4.8,4)
\pspolygon(0.5,1)(4.8,1)(0.5,3.4)
\psline(2,0)(2,4)
\uput[l](0.5,1){E} \uput[l](0.5,3.4){F} \uput[d](4.8,1){G} \uput[dl](2,1){M} \uput[ur](2,2.4){N} 
\end{pspicture}}

\vspace{0,5cm}

\textbf{PROBLÈME \hfill 12 points}

\vspace{0,5cm}  

Les parents de Charlotte souhaitent l'inscrire dans le club d'équitation le plus proche de chez eux. Le club leur propose trois formules différentes : 

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] Formule A : 18~\euro{} la séance. 
\item[$\bullet~~$] Formule B : 165~\euro{} par carte de 10~séances. 
\item[$\bullet~~$] Formule C : Paiement d'une cotisation annuelle de 70~\euro{} plus 140~\euro{} par carte de 10~séances. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\textbf{Partie 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Vérifier que le coût pour 7~séances est de 126~\euro{} pour la formule A, 165~\euro{} pour la formule B et 210~\euro{} pour la formule C. 
\item Calculer le coût de 20~séances pour ces trois formules. Quelle est la formule la plus avantageuse dans ce cas ? 
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie 2}

\medskip
Charlotte désirant faire du cheval toute l'année, ses parents décident de comparer les formules B et C. 

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Reproduire et compléter le tableau suivant sur votre copie. Aucune justification n'est demandée.

\medskip

\renewcommand\arraystretch{1.5}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{3-5} 
\multicolumn{2}{c|}{}				&1 carte&2 cartes 	&5 cartes\\ \hline 
\multirow{2}{2ex}{\rotatebox{90}{\textbf{PRIX}~~}}& Formule B&&&\\ \cline{2-5} 
&Formule C							&		&			&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
\item Soit $x$ le nombre de cartes de 10 séances achetées. 
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer en fonction de $x$ le coût pour la famille si elle choisit la formule B. 
		\item Exprimer en fonction de $x$ le coût pour la famille si elle choisit la formule C.
		\item Résoudre l'inéquation suivante $140x + 70 \leqslant 165x$. 
		\item À partir de combien de cartes achetées, la formule C devient-elle avantageuse ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\medskip

\textbf{Partie 3}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Dans le repère, fourni en annexe, construire les représentations graphiques des fonctions $f$ et $g$ définies par :
 
\[f : x \longmapsto 165x~ \text{(Prix avec la formule B) ;}\] 
\[g : x \longmapsto 140x + 70~ \text{(Prix avec la formule C)}.\]
 
\item Dans cette question, on fera apparaître les tracés utiles en pointillés.
 
Retrouver graphiquement le nombre de cartes à partir duquel la formule C devient avantageuse. 
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}\textbf{DOCUMENT RÉPONSE À RENDRE AVEC VOTRE COPIE}

\vspace{0,5cm}

\textbf{ANNEXE}

\vspace{1cm}

\psset{xunit=1.4cm,yunit=0.028cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-12.5)(8,575)
\uput[d](6.5,-12.5){Nombre de cartes achetées}
\uput[r](0,575){Prix en \euro}
\multido{\n=0.00+0.25}{33}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,562.5)}
\multido{\n=0+1}{9}{\psline[linewidth=0.4pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,562.5)}
\multido{\n=0.0+12.5}{46}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(8,\n)}
\multido{\n=0+50}{5}{\psline[linewidth=0.4pt,linecolor=orange](0,\n)(8,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=50]{->}(0,0)(8,575)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}