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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Amiens} 
\lfoot{\small{juin 2003}} 
\rfoot{\small{Diplôme national du brevet }} 
\pagestyle{fancy} 
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Diplôme national du brevet juin 2003\decofourright\\ 
Amiens, Créteil, Lille, Paris, Rouen et Versailles}} 
\end{center} 

\begin{center} \textbf{PREMIÈRE PARTIE}

\textbf{Activités numériques (12 points)} \end{center}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Soit A = $\dfrac{8}{3} - \dfrac{5}{3} \div \dfrac{20}{21}$.

Calculer A en détaillant les étapes du calcul et écrire le résultat sous la
 forme d'une fraction irréductible.
\item   Soit B $= 3\sqrt{28} - 9\sqrt{7}$. Écrire B sous la 
forme $a\sqrt{7}$ où $a$ est un nombre entier (on indiquera le détail des calculs).
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Calculer le PGCD des nombres \np{1183} et 455 en précisant la méthode utilisée.

\item  Écrire sous la forme irréductible la fraction 
$\dfrac{\np{1183}}{455}$	(on indiquera le détail des calculs).
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Soit l'expression E = $ (5x - 2)^2 - (x - 7)(5x -2)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Développer et réduire E.
\item  Calculer la valeur numérique de E pour $x = - 1$.
\item  Factoriser E.
\item  Résoudre l'équation $(5x - 2)(4x + 5) = 0$.
\end{enumerate}

\bigskip
	
\textbf{Exercice 4}

\medskip

Dans un restaurant, un couple commande 1 pizza et 2 jus de fruit et paye 11~euros.

À la table voisine, des amis commandent 5 pizzas et 9 jus de fruit et payent 53~euros. Toutes les pizzas sont au même tarif et tous les jus de fruit ont un prix identique.

On appelle $x$ le prix en euros d'une pizza et $y$ le prix en euros d'un jus de fruit.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Écrire un système d'équations traduisant les données.

\item  Calculer le prix d'une pizza et celui d'un jus de fruit.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center} \textbf{DEUXIÈME PARTIE}

\textbf{Activités géométriques (12 points)} \end{center}

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Le plan est muni d'un repère orthonormal (O, I, J). L'unité de longueur est le centimètre.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Placer les points A$(-3~;~1)$ B$(0~;~-2)$ C$(2~;~3)$
 dans le repère de l'annexe 1.

\item  
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer les distances AC et BC.
		\item  Qu'en déduire pour le triangle ABC ? Justifier.
	\end{enumerate}
\item  Construire l'image A$'$ B$'$ C$'$ du triangle ABC par la translation
 de vecteur $\vect{\text{AB}}$ dans le repère de \textbf{l'annexe 1}.
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Un tajine est un plat composé d'une assiette circulaire et d'un couvercle en forme de cône
 qui s'emboîte parfaitement dans l'assiette. L'assiette de ce tajine a un rayon [OA] qui mesure 15~cm et la génératrice du cône [SA] mesure 25~cm.
 
\bigskip
 
\begin{center}\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(3,2.5)
\psellipse(1.5,0.5)(1.5,0.35)
\psline[linestyle=dashed](0,0.5)(1.5,0.5)(1.5,2.5)
\psline(0,0.5)(1.5,2.5)(3,0.5)
\uput[l](0,0.5){A} \uput[dr](1.5,0.5){O} \uput[u](1.5,2.5){S} 
\end{pspicture}

Tajine  \end{center}

\begin{enumerate}
\item Calculer la hauteur OS du cône.
\item Montrer que la valeur exacte du volume V du cône est égal
 à $(\np{1500} \pi)$ cm$^3$.
\item Un modèle réduit de ce tajine a une assiette de rayon 6 cm.
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer le coefficient de réduction qui transforme le grand tajine en
 modèle réduit.
		\item  En déduire la valeur arrondie au cm$^3$ près du volume V$'$ du tajine en modèle réduit.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

L'unité de longueur est le centimètre. RST est un triangle tel que : RS = 6,4~;~ ST = 8
 et RT = 4,8.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire la figure en vraie grandeur sur \textbf{l'annexe 1}.
\item  Démontrer que le triangle RST est rectangle en R.
\item  Calculer la valeur arrondie au degré près de la mesure de l'angle 
$\widehat{\text{RST}}$.
\item  M est le point du segment [SR] tel que SM = 4 et N est le point du
 segment [ST] tel que SN = 5.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que les droites (MN) et (RT) sont parallèles.
		\item Calculer la distance MN.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Annexe I - Activités géométriques (À rendre avec la copie)}

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{center}\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-3,-3)(7,4)
\psgrid[gridlabelcolor=white](0,0)(-3,-3)(7,4)
\psline[linewidth=2pt]{->}(-3,0)(7,0)
\psline[linewidth=2pt]{->}(0,-3)(0,4)
\uput[dl](0,0){O} \uput[d](1,0){I} \uput[l](0,1){J} 
\end{pspicture} 
\end{center}

\newpage

\begin{center} \textbf{TROISIÈME PARTIE}

\textbf{Problème (12 points)} \end{center}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Une étude statistique a été réalisée auprès de jeunes possédant un 
téléphone portable. l'enquête portait sur la durée d'utilisation de 
leur téléphone en janvier 2003.

Les durées relevées vont de 34 min à 3 h 27 min.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Calculer l'étendue de la série statistique 
obtenue (donner le résultat en heures et minutes).

\item  Les durées ont été regroupées en classe dans le 
tableau suivant :
\medskip

\hspace{-1cm}\scriptsize{ \begin{tabularx}{1.1\linewidth}{|m{1.7cm}| *{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Durée d'utilisation $d$ en min.	& $30 \leqslant d < 60$&$60 \leqslant d < 90$&$90 \leqslant 
d < 120$		&$120 \leqslant d < 150$&$150 \leqslant d < 180$&$180 \leqslant d < 210$\\  \hline
Effectifs 		&26	&43	&61	&80	&30	&10 \\ \hline
Centre de classe&45&75	&105&135&165&195\\ \hline
\end{tabularx} } 
\normalsize{}

\medskip

Calculer effectif total de la série statistique.

\item  Quel est le nombre de jeunes interrogés qui ont utilisé leur
téléphone au moins 2 h ?
\item  Quel est le pourcentage de jeunes ayant utilisé leur téléphone
moins de 1 h 30 min ?
\item  Calculer en minutes la durée moyenne d'utilisation de leur
téléphone portable pour l'ensemble des jeunes de l'enquête.

Exprimer ce résultat en heures et minutes.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

Deux sociétés proposent les formules d'abonnement suivantes :

M : Société Mobile France 20 euros pour un forfait de 2h et 0,50 euro par minute de dépassement 
du forfait.

P : Société Portable Europe : 26 euros pour un forfait de 2h et 0,30 euro par minute de dépassement
du forfait.

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Quel est le prix à payer pour chacune des deux formules pour une
durée d'utilisation de 1h 30 min ?

		\item  Calculer le prix à payer pour chacune des deux formules pour une durée
d'utilisation de 2h 40 min.
	\end{enumerate}
\item Soit $x$ la durée (en minutes) de dépassement au-delà du forfait de 2h.

Exprimer en fonction de $x$ 

	\begin{enumerate}
		\item  Le prix $P_{1}$ à payer avec la formule M proposée par la société Mobile France.

		\item  Le prix $P_{2}$ à payer avec la formule P proposée par la société Portable Europe.
	\end{enumerate}
\item Sur la feuille annexe 2, construire

? la droite $d_{1}$ représentant la fonction affine $x \mapsto  0,5 x + 
20$ ;

? la droite $d_{2}$ représentant la fonction affine $x \mapsto 0,3 x 
+26$.

\item
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre l'équation $0,5 x + 20 = 0,3 x + 26$.

		\item Que signifie ce résultat dans le problème posé ci-dessus ?

		\item Vérifier graphiquement cette solution en faisant apparaître les pointillés utiles.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item À partir de quelle durée d'utilisation la formule P est-elle plus
économique que la formule M ?

		\item Lors de l'enquête décrite dans la première partie, quel est le nombre
de jeunes interrogés qui ont intérêt à choisir la formule P proposée par Portable Europe ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

 \textbf{Annexe 2 - Problème (À rendre avec la copie)}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(-1,-1)(8,8)
\psgrid[gridlabelcolor=white](0,0)(-1,-1)(8,8)
\psline[linewidth=2pt]{->}(-1,0)(8,0)
\psline[linewidth=2pt]{->}(0,-1)(0,8)
\uput[dl](0,0){O} \uput[d](1,0){10} \uput[l](0,1){10}
\psline(1,0)(1,0.2) \psline(0,1)(.2,1) 
\end{pspicture} 
\end{center}
%%%%%%%   Fin Amiens juin 2003
\end{document}