\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{ulem}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage[dvips]{color}
\usepackage{graphics}
\usepackage{pstricks,pst-plot}
\setlength\paperheight{297mm}
\setlength\paperwidth{210mm}
\setlength{\textheight}{23,5cm}
\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\overrightarrow{\imath},~\overrightarrow{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\overrightarrow{\imath},~\overrightarrow{\jmath},~\overrightarrow{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\overrightarrow{u},~\overrightarrow{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Brevet des collèges},
pdftitle = {Antilles -- Guyane   juin 2003},
allbordercolors = white}   
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges }
\lfoot{\small{juin 2003}}
\rfoot{\small{Antilles -- Guyane}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet des collèges  Antilles -- Guyane juin 2003~\decofourright}}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.

\vspace{0,25cm}

\textbf{TRAVAUX NUMÉRIQUES \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item  A $= \dfrac{4}{3} + \dfrac{1}{3} \times \dfrac{5}{2} - \dfrac{7}{18}$.

Calculer A et donner le résultat sous forme d'une fraction irréductible.
\item  B $= \dfrac{3 \times 10^8 \times  4 \times 10^{-5}}{6 \times 10^7}$.

Donner l'écriture décimale puis l'écriture scientifique de B.
\item C $= 5\sqrt{12} - 9\sqrt{75} + 4\sqrt{27}$.

Écrire C sous la forme $a\sqrt{b}$ , où $a$ et $b$ sont des entiers, $b$ étant le plus
petit possible.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

$D = 36 - (3x + 5)^2$.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item  Développer puis réduire $D$.
\item Calculer $D$ pour $x = - 2$, puis pour $x= \dfrac{1}{3}$.
\item Factoriser $D$.
\item Résoudre l'équation : $(1 - 3x) (3x + 11) = 0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Le tableau ci-dessous donne la répartition, par âge, des élèves du club
d'échecs d'un collège :

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|*{5}{c|}}\hline
Âge des élèves&~~11~~&~~12~~&~~13~~&~~14~~ &~~15~~\\ \hline
Nombre d'élèves& 2& 6& 12& 10&  10\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
 
\begin{enumerate}
\item Calculer l'effectif total du club.
\item Calculer le pourcentage des élèves ayant moins de 13 ans dans ce club.
\item La cotisation annuelle est de 5 \euro{} pour les élèves ayant 
moins de 13 ans et de 6 \euro{} pour les élèves de 13 ans et plus.

Calculer le montant total des cotisations du club.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{TRAVAUX GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\textsl{Toutes les questions sont indépendantes.}

Soit un triangle ABC tel que :

AB = 7,5 cm,  AC = 4,5 cm,  BC = 6 cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Faire une figure que l'on complétera au fur et à mesure.
\item Montrer que le triangle ABC est un triangle rectangle.
\item 
	\begin{enumerate}
		 \item Placer le point E du segment [AB] tel que BE = 5 cm.

Le cercle de diamètre [BE] coupe le côté [BC] en F.
		\item Montrer que le triangle BFE est rectangle.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que les droites (FE) et (AC) sont parallèles.
		\item Calculer FB et FE.
	\end{enumerate}
\item
	 \begin{enumerate}
	 	\item Calculer $\sin \widehat{\text{ABC}}$.
		\item Donner une valeur approchée au degré près de $\widehat{\text{ABC}}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Construire un parallélogramme EFGH et I, le milieu de [EF].

\medskip

\begin{enumerate}
\item Faire une figure.
\item On considère la translation de vecteur $\vect{\text{EH}}$.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est l'image de E ?
		\item Quelle est l'image de F ? Justifier.
	\end{enumerate}
\item Construire le point J, translaté du point I dans la translation de
vecteur $\vect{\text{EH}}$.
 
Que représente le point J pour le segment [GH] ? Justifier la réponse.
\item Construire le point $K$ tel que $\vect{\text{E}K} = 
\vect{\text{EG}} + \vect{\text{EH}}$

Montrer que J est le milieu de [E$K$].
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{PROBLÈME \hfill 12 points}

\bigskip

\begin{enumerate} 
\item Dans un repère orthonormé (O, I, J), placer les points

\[\text{A}(-4~;~ 2),~ \text{B}(- 1~;~- 3) \quad \text{et} \quad \text{C}(4~;~ 
0).\]

\item Calculer les longueurs AB, AC et BC.
\item Montrer que le triangle ABC est rectangle isocèle.
\item Soit D le point tel que ABCD soit un parallélogramme.

Montrer que les coordonnées de D sont (1 ; 5).
\item Préciser alors la nature du quadrilatère ABCD et justifier la réponse.
\item On considère deux fonctions affines $f$ et $g$ de représentations
graphiques respectives (AC) et (BD).
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que l'expression de $f$ est définie par 
$f(x) = - \dfrac{1}{4}x + 1$.
		\item Déterminer l'expression de $g$.
		\item Déterminer par le calcul les coordonnées du point d'intersection des
droites (AC) et (BD).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%  Fin Antilles - Guyane juin 2003
\end{document}