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%tapuscrit : Denis Vergès
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{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des  collèges} 
\lfoot{\small{Antilles--Guyane}} 
\rfoot{\small{juin 2009}} 
\pagestyle{fancy} 
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Diplôme national du brevet juin 2009~\decofourright\\ 
Antilles--Guyane }}
\vspace{0,5cm}

L'usage de la calculatrice est autorisé

\end{center} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Activités numériques }\hfill 12 points} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{Exercice 1 \hfill 3 points}
 
\medskip
 
Au stand d'une fête foraine, un jeu consiste à tirer au hasard un billet de loterie dans un sac contenant exactement  180 billets.

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item 4 de ces billets permettent de gagner un lecteur MP3. 
\item 12 permettent de gagner une grosse peluche. 
\item 36 permettent de gagner une petite peluche. 
\item 68 permettent de gagner un porte-clés. 
\item Les autres billets sont des billets perdants. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
Quelle est la probabilité pour un participant : 
\begin{enumerate}
\item de gagner un lecteur MP3 ? 
\item de gagner une peluche (grande ou petite) ? 
\item de ne rien gagner ? 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm} 

\textbf{Exercice 2 \hfill 6 points}

Les 3 questions de cet exercice sont indépendantes

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Soit A $= \dfrac{3 
\times  10^5 \times  4 \times  \left(10^{-3}\right)^2} {16 \times  10^{-4}}$.
 
Donner l'écriture décimale de A puis son écriture scientifique. 
\item  On pose $E = 16 - (5x - 3)^2$.  
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la valeur de $E$ pour $x = -1$. 
		\item Développer et réduire $E$. 
		\item Factoriser $E$.
	\end{enumerate} 
\item Les phrases suivantes sont-elles vraies ou fausses ?  Justifier  vos réponses.  
	\begin{enumerate}
		\item La somme de deux multiples de 5 est un multiple de 5. 
		\item Si 2 et 3 sont deux diviseurs d'un nombre entier, leur somme 5 est un diviseur de ce nombre.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm} 

\textbf{Exercice 3 \hfill 3 points}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer le PGCD de \np{1394} et de 255.  
\item Un artisan dispose de \np{1394} graines d'açaï et de 255 graines de palmier pêche.
 
Il veut réaliser des colliers identiques, c'est-à-dire contenant chacun le même nombre de graines d'açaï et le même nombre de graines de palmier pêche.  
	\begin{enumerate}
		\item Combien peut-il réaliser au maximum de colliers en utilisant toutes ses graines ?  
		\item  Dans ce cas, combien chaque collier contient-il de graines d'açaï et de graines de palmier pêche ?
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm} 

 \textbf{\textsc{Activités géométriques}\hfill 12 points} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{Exercice 1 \hfill 6 points}

\medskip
 
Voir ANNEXE 1. 
 
\vspace{0,5cm} 

\textbf{Exercice 2 \hfill 6 points}

\medskip

JKL est un triangle tel que : JK = 6~cm ;  JL = 3,6~cm et KL = 4,8~cm.
 
J est un point du segment [IK] et IJ = 9~cm.
 
$\mathcal{C}$ est le cercle de diamètre [IJ].
 
La droite (JL) coupe le cercle $\mathcal{C}$ en M 

\begin{center}
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(11,7.5)

\psline(0,4)(10.4,4)(7.7,6)(3.4,0.4)
\uput[l](0,4){I}\uput[dr](6.2,4){J}\uput[dr](4,1){M}\uput[r](10.4,4){K}
\uput[ul](7.7,6){L}\uput[ur](5,6.4){$\mathcal{C}$}
\psline(0,4)(3.9,1)
\pscircle(3.1,4){3.1}
\end{pspicture}
\end{center}
 
\emph{La figure n'est pas en vraie grandeur et il n'est pas demandé de la reproduire} 
 
\begin{enumerate}
\item Démontrer que le triangle JKL est rectangle.  
\item Justifier que le triangle IJM est rectangle. 
\item Déterminer la longueur JM. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Problème}\hfill 12 points} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie A}

\medskip 
 
Julien dispose de 15 jours de vacances. Il contacte l'agence de voyages \og ALAVOILE \fg{}   pour préparer une croisière en voilier au départ de Fort de France. L'agence lui propose deux formules :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] Formule A : 75~\euro{} par jour de croisière. 
\item[$\bullet~$] Formule B : un forfait de 450~\euro{} puis 25~\euro{} par journée de croisière.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm} 

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter le tableau suivant :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{4.2cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline  
Nombre de jours						&5		&8	&14	&$x$\\ \hline% 
Prix (en \euro) avec la formule A	&375 	&	&	&\\ \hline%   
Prix (en \euro) avec la formule B	&575 	&	&	&\\ \hline%
\end{tabularx}

\medskip   
 
\item Avec 750~\euro, combien de jours Julien peut-il partir avec la formule B ? Justifier votre réponse.  
 
\item On note $f$ et $g$ les fonctions définies par :
 
\[f(x) = 25x + 450 \quad   \text{et} \quad   g(x) = 75x.\]
 
Dans le repère de l'ANNEXE 2 (à remettre avec la copie), représenter graphiquement les fonctions $f$ et $g$ pour $x$ compris entre 0 et 15.
 
Les unités choisies sont :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item 1~cm pour un jour sur l'axe des abscisses. 
\item 1~cm  pour 50~\euro{} sur l'axe des ordonnées. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
\item Par lecture graphique, déterminer à partir de combien de jours la formule B devient plus avantageuse que la formule A. 

\textbf{(On laissera apparents les pointillés permettant la lecture).}  
 
\item Julien décide finalement de faire une croisière de 7 jours.  
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer, par lecture graphique, la formule la plus intéressante pour lui et le prix correspondant.
		 
\textbf{(On laissera apparents les pointillés permettant la lecture)} 
		\item Par son comité d'entreprise, Julien obtient une réduction de 5\:\% sur le prix de cette croisière.
 
Combien vont lui coûter finalement ses vacances ?
	\end{enumerate}  
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip 
 
Le départ de la croisière choisie par Julien a lieu le 10~juillet (entre 0~h et 12~h).
 
Le graphique ci-dessous décrit les variations de la hauteur de la mer dans le port de Fort de France selon l'heure de la matinée (entre 0~h et 12~h) du 10 juillet.

\medskip 
 
\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=2.5cm}
\begin{pspicture}(0,1)(12,4.2)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Ox=0,Dx=6,Oy=1,Dy=1]{->}(0,1)(12,4.2)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Ox=0,Dx=6,Oy=1,Dy=1](0,1)(12,4.2)
\multido{\n=0+0.5}{25}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=lightgray](\n,1)(\n,4.2)}
\multido{\n=0+1}{13}{\psline[linewidth=0.5pt](\n,1)(\n,4.2)}
\multido{\n=1+0.2}{17}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=lightgray](0,\n)(12,\n)}
\multido{\n=1+1}{4}{\psline[linewidth=0.5pt](0,\n)(12,\n)}
\uput[r](0,4.25){Hauteur d'eau (en m)}
\uput[u](11,1){Heure (en h)}
\pscurve[linewidth=1pt,linecolor=blue](0,3.44)(1,3.4)(2,3)(3,2.42)(4,2)(5,1.8)(6,1.97)(7,2.7)(8,3.42)(9,3.78)(10,3.95)(10.5,4)(11,3.95)(12,3.8) 
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Le voilier ne peut sortir du port que si la hauteur d'eau dépasse 3,20 mètres. Quels sont les tranches 
horaires de départs possibles pour ce voilier ?  
\item Finalement, le skipper du voilier décide de partir lorsque la hauteur d'eau est maximale. À quelle heure va partir Julien ?  
\end{enumerate} 

\newpage

\textbf{LE CANDIDAT REPONDRA DIRECTEMENT SUR LES FEUILLES ANNEXE 1 et 2}

\medskip

\begin{center} \textbf{ANNEXE 1 (à rendre avec la copie) }\end{center}

\medskip

\textbf{Exercice 1 \qquad   6 points}

\medskip
 
\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Aucune justification n'est demandée.\\ 
Pour chacune des questions, quatre réponses} (A, B, C \emph{et} D) \emph{sont proposées et une seule est exacte.}
 
Écrire dans la dernière colonne la lettre correspondant à la bonne réponse.

\medskip 

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|p{4.7cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}\cline{3-7}
\multicolumn{2}{c|}{}&\multicolumn{4}{|c|}{Réponses proposées}& \\ \cline{3-6}
\multicolumn{2}{c|}{}&A &B &C &D& \\ \hline%
\textbf{1.}&  \begin{tabular}{p{2.2cm} p{2.2cm}} 
\textbf{a.} SABCD est une pyramide à base carrée ABCD et de sommet S.\\  
 Le triangle ABC est :& 
\psset{unit=0.5cm}\begin{pspicture}(4.4,4.4)
\psline(2,3.7)(0.2,0.6)(3,0.3)(3.9,1.05)(2,3.7)(3,0.3)%SABCSB
\psline[linestyle=dashed](2,3.7)(1.1,1.35)(0.2,0.6)%SDA
\psline[linestyle=dashed](1.1,1.35)(3.9,1.05)%DC
\uput[u](2,3.7){\footnotesize  S}\uput[d](0.2,0.6){\footnotesize  A}\uput[dr](3,0.3){\footnotesize B}\uput[d](3.9,1.05){\footnotesize C}\uput[ur](1.1,1.35){\footnotesize D}
\end{pspicture}\\ \end{tabular}&\footnotesize Ni rectangle, ni isocèle&\footnotesize Rectangle et isocèle&\footnotesize Rectangle, non isocèle&\footnotesize Isocèle, non rectangle& \\ \hline  
&\textbf{b.}  On coupe cette pyramide par un plan parallèle à sa base.
 
La section obtenue est un :&\footnotesize parallé\-logramme non rectangle& 
\footnotesize triangle isocèle&\footnotesize  rectangle non carré&\footnotesize carré& \\ \hline  
\textbf{2.}& Un cylindre de révolution a pour rayon 3~cm et pour 
hauteur 10~cm.
  
Le volume de ce cylindre, exprimé en cm$^3$, est :&   
$10\pi$& $20\pi$& $30\pi$& $90\pi$& \\ \hline  
\textbf{3.}& Un rectangle A$'$B$'$C$'$D$'$ d'aire 24~cm$^2$ est 
l'agrandissement à l'échelle 1,25 d'un rectangle ABCD.
 
L'aire du rectangle ABCD, exprimée en cm$^2$, est :&  15,36& 19,2& 30& 37,5& \\ \hline  
\textbf{4.}& \psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(4,2)
\pspolygon(1,1.8)(0.3,0.4)(4,0.4) 
\uput[l](1,1.8){E} \uput[ul](0.3,0.4){F} \uput[ur](4,0.4){G} \uput[d](2,0.4){5} \uput[l](0.7,1.2){$\sqrt{7}$}
\rput{-25}(1,1.8){\psframe(0.3,-0.3)} 
\end{pspicture}  
 
La valeur exacte de EG est : & $2\sqrt{3}$& $3\sqrt{2}$& $4\sqrt{2}$& 18& \\ \hline  
\textbf{5.}&  \psset{unit=0.8cm}\begin{pspicture}(4.5,2.6)
\pspolygon(0.2,2)(4.4,2)(3.1,0)
\uput[u](0.2,2){D} \uput[u](4.4,2){N} \uput[r](3.1,0){B} \uput[u](2.5,2){7,8~cm} \uput[l](1.8,0.7){5,2~cm}
\rput{56}(3.1,0){\psframe(0.3,0.3)} 
\psarc(4.4,2){2mm}{180}{232}
\end{pspicture}  
 
L'arrondi au degré de la mesure de l'angle $\widehat{\text{DNB}}$ est :  &34\degres & 41\degres& 42\degres& 48\degres&\\ \hline
\end{tabularx}

\newpage

\begin{center}
\textbf{ANNEXE 2 (à rendre avec la copie)}

\vspace{1.5cm}

\psset{xunit=0.75cm,yunit=0.015cm}
\begin{pspicture}(16,1200)

\uput[d](14.3,0){Nombre de jours}
\uput[r](-0.2,1225){Prix (en \euro)}
\uput[d](1,0){1} \uput[l](0,50){50}\uput[dl](0,0){0}
\multido{\n=0+0.5}{33}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=lightgray](\n,0)(\n,1200)}
\multido{\n=0+1}{17}{\psline[linewidth=0.5pt](\n,0)(\n,1200)}
\multido{\n=0+25}{49}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=lightgray](0,\n)(16,\n)}
\multido{\n=0+50}{25}{\psline[linewidth=0.5pt](0,\n)(16,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=20,Dy=1500]{->}(0,0)(16,1200)
\end{pspicture}
\end{center}  
\end{document}