\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc} 
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
%tapuscrit : Denis Vergès 
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
%\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{ulem}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{lscape}
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage{graphics}
\usepackage{pstricks,pst-plot}
\usepackage{pst-eucl}
\usepackage{diagbox}
\setlength\paperheight{297mm}
\setlength\paperwidth{210mm}
\setlength{\textheight}{23,5cm}
\setlength{\voffset}{-2,5cm}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\overrightarrow{\imath},~\overrightarrow{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\overrightarrow{\imath},~\overrightarrow{\jmath},~\overrightarrow{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\overrightarrow{u},~\overrightarrow{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Brevet des collèges},
pdftitle = {Antilles-Guyane   juin 2004},
allbordercolors = white}   
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}} 
\rfoot{\small{juin 2004}} 
\pagestyle{fancy} 
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Diplôme national du brevet juin 2004~\decofourright\\Antilles-Guyane} }\end{center}

\vspace{0,5cm}

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.

En plus des 36 points du barème, 4 points sont réservés à la 
rédaction et à la présentation.

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Activités numériques }\hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1 \hfill	3,5 points}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Calculer $\dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{7} \times \dfrac{1}{4}$.		
\item Soit A $= 3 - \sqrt{2}$	et B $= 3 + \sqrt{2}$. Calculer le produit AB.
\item Soit C $=6\sqrt{3} - 3\sqrt{12} + 2\sqrt{27}$.

Écrire C sous la forme $a\sqrt{3}$ où $a$ est un nombre entier.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2  \hfill 5 points}

\medskip

On donne l'expression $D = (3x + 5)(6x - 1) + (3x + 5)^2$.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Développer $D$, puis réduire.
\item Factoriser $D$.
\item Résoudre l'équation $(3x + 5)(9x + 4) = 0$.
\item Calculer $D$ pour $x = - \dfrac{1}{3}$.
\end{enumerate}

\bigskip
				
\textbf{Exercice 3 \hfill 3,5 points}

\medskip

Le tableau ci-dessous donne la répartition, selon la surface en m$^2$, 
des magasins d'un centre commercial. L'effectif total est de 67.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Surface d'un magasin en m$^2$	&65	&66		&69		&74	&81\\ \hline
Effectif						&13	&22		&17		&	&6\\ \hline
Fréquence 						& 	& 		& 		& 	& \\ \hline
\end{tabularx} 
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter le tableau ci-dessus.

On donnera les fréquences en pourcentage arrondi au dixième près.
\item Quel est le pourcentage de magasins dont la superficie est 
inférieure ou égale à 69 m$^2$ ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Activités géométriques} \hfill 12 points} 

\bigskip

\textbf{Exercice 1 \hfill 6 points}

ABC est un triangle tel que AB = 12 cm ; AC = 5 cm et BC = 13 cm.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Construire la figure en vraie grandeur.
\item Démontrer que le triangle ABC est rectangle en A.
\item Calculer la tangente de l'angle $\widehat{\text{ACB}}$ et déterminer la valeur de 
cet angle au degré près.
\item M est le point de [AC] tel que AM = 3 cm et N le point de [AB] tel 
que AN~=~7,2~cm.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que les droites (MN) et (BC) sont parallèles.
		\item Calculer la distance MN.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2 \hfill 6 points}

\medskip

Le plan est muni d'un repère orthonormé (O, I, J).

\begin{center}\psset{unit=1cm}
 \psset{PtNameMath=false}
\begin{pspicture}(-7,-4)(4,3)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=2](0,0)(-7,-4)(4,3)
\psline[linewidth=1.5pt](-7,0)(4,0)
\psline[linewidth=1.5pt](0,-4)(0,3)
\pstGeonode[PointSymbol=o,PosAngle=135](0,0){O}
\pstGeonode[PointSymbol=o,PosAngle=135](1,0){I}
\pstGeonode[PointSymbol=o,PosAngle=135](0,1){J} 
\pstGeonode[PointSymbol=o,PosAngle=135](3,2){A}
\pstGeonode[PointSymbol=o,PosAngle=135](-2,2){B} 
\pstGeonode[PointSymbol=o,PosAngle=135](-6,-3){C}
\pstGeonode[PointSymbol=o,PosAngle=135](-1,-3){D}
\end{pspicture}
\end{center} 

\begin{enumerate} 
\item Déterminer graphiquement les coordonnées des points A, B, C et 
D.
\item Calculer les coordonnées du vecteur $\vect{\text{CB}}$.
\item Calculer la distance CB.
\item Calculer les coordonnées de E, milieu de [BD].
\item Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ? Justifier la réponse.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points}

\bigskip

Une société de service d'accès à internet propose deux formules

\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] Formule A  : l'accès à internet est gratuit et on ne paye que les 
communications, soit 2~\euro{} par heure.
\item[$\bullet~$] Formule B : avec un abonnement de 3,50~\euro{} par mois, le prix des 
communications est de 1,80~\euro{} par heure
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
 \item 
 	\begin{enumerate}
		 \item Recopier et compléter le tableau ci-dessous :\\

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\diagbox{Prix payé en \euro}{Nombre d'heures \\de connexion \\en un 
mois}&5 heures& 15 heures&	25 heures\\ \hline
Formule A & & & \\ \hline
Formule B & & & \\ \hline
\end{tabularx}
\medskip

		\item Déduire du tableau ci-dessus la formule la plus avantageuse :

pour 5 heures de connexion, 15 heures, puis 25 heures.
	\end{enumerate}
\item Exprimer, en fonction du nombre $x$ d'heures de connexion,
le prix (en \euro) payé en un mois :
	\begin{enumerate} 
		\item pour la formule A ;
		\item pour la formule B.
	\end{enumerate}
\item On considère les fonctions suivantes :

$\bullet~$ La fonction linéaire $f$ telle que : $f(x) = 2x$.

$\bullet~$ La fonction affine $g$ telle que : $g(x) = 1,8x+3,5$.

Sur une feuille de papier millimétré, tracer dans un repère (O, I, J), les 
droites D$_1$ et D$_2$ qui représentent respectivement les fonctions $f$ 
et $g$.

On prendra 0,5 cm pour 1 heure en abscisse et 1 cm pour 5 euros en 
ordonnées.

On se limitera à des valeurs positives de $x$.
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Résoudre le système suivant : $\left\{\begin{array}{l c l}
y&=&2x\\
y&=& 1,8x + 3,5\\
\end{array}\right.$
		\item Donner une interprétation graphique de la solution du système 
précédent.
	\end{enumerate}
\item En utilisant une lecture du graphique réalisé à la \textbf{question 3},  préciser les valeurs de $x$ pour lesquelles chacune des deux formules est la plus avantageuse.
\end{enumerate}
\end{document}