\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc} 
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{ulem}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{pifont}
\usepackage{textcomp}
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage{pstricks,pst-plot}
\setlength\paperheight{297mm}
\setlength\paperwidth{210mm}
\setlength{\textheight}{23,5cm}
\setlength{\voffset}{-2,5cm}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Brevet des collèges},
pdftitle = {Antilles-Guyane    juin 2006},
allbordercolors = white}  
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet  des collèges}
\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{juin 2006}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Antilles-Guyane juin 2006~\decofourright}}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Activités numériques} \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Les calculs seront détaillés.

\begin{enumerate}
\item  A $= \dfrac{-\dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{2}}{\dfrac{2}{5} - \dfrac{5}{2}}$. Écrire A sous forme de fraction irréductible.
\item  B $= \dfrac{3 \times 10^3 \times 2 \times 10^{-1}}{12 \times 10^{-2}}$.
Écrire B sous la forme $a \times 10^n,~ a$ désignant un entier.
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On considère l'expression $C = (x - 1)(2x+ 5) - (x - 1)^2$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Développer et réduire C.  
\item Factoriser C.
\item Résoudre l'équation $(x - 1)(x + 6) = 0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Répondre aux questions en utilisant le tableau statistique ci-après sur la population. Les effectifs de ce tableau sont arrondis au millier.

\medskip

\begin{enumerate}
\item La population martiniquaise a-t-elle augmenté de 2001 à 2002 ?

Et celle de femmes martiniquaises ?
\item Combien y avait-il de femmes de moins de 20 ans en Martinique en 2002 ?

Combien y avait-il d'hommes de moins de 60 ans en Martinique en 2001?
\item Quel pourcentage de la population martiniquaise représentaient les personnes de 75 ans et plus en 2001 ? (Arrondir le résultat au dixième.)
\item Peut-on dire que, en 2002, la population métropolitaine est plus de 150 fois plus importante que celle de la Martinique ?
\end{enumerate}

\medskip
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3|}{>{\centering \arraybackslash}X|}c}
\multicolumn{4}{c}{\textbf{Estimations de population par sexe et par âge au 1\up{er} janvier}}\\
		&Martinique&	Martinique&	France métropolitaine\\ \hline
		&2001&	2002&	2002\\ \hline
\textbf{Ensemble}&	\textbf{386}	&	\textbf{388}	&	\textbf{\np{59342}}\\ \hline
0-19 ans	&	118	&	118	&	\np{14988}\\ \hline
20-39 ans&	112	&	110	&	\np{16371}\\ \hline
40-59 ans&	93	&	96	&	\np{15758}\\ \hline
60-74 ans&	42	&	43	&	\np{7 727}\\ \hline
75 ans et plus&	21&	22	&	\np{4 499}\\ \hline
\textbf{Hommes}	&	\textbf{180}	&	\textbf{183}	&	\textbf{\np{28 830}}\\ \hline
0-19 ans	&	57	&	59	&	\np{7666}\\ \hline
20-39 ans&	53	&	51	&	\np{8 191}\\ \hline
40-59 ans&	43	&	45	&	\np{7796}\\ \hline
60-74 ans&	19	&	19	&	\np{3 564}\\ \hline
75 ans et plus&	8	&	8		&	\np{1 613}\\ \hline
\textbf{Femmes	}&	\textbf{206}	&	\textbf{205}	&	\textbf{\np{30512}}\\ \hline
0-19 ans	&	61	&	58	&	\np{7322}\\ \hline
20-39 ans&	59	&	58	&	\np{8 179}\\ \hline
40-59 ans&	50	&	52	&	\np{7 692}\\ \hline
60-74 ans&	23	&	23	&	\np{4163}\\ \hline
75 ans et plus&	13&	13	&	\np{2886}\\ \hline
\multicolumn{4}{r}{Source : INSEE - Estimations localisées de population}
\end{tabularx}

\medskip

\textsl{Les effectifs de ce tableau sont arrondis au millier.}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Activités géométriques} \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

(\textsl{Construction à faire sur du papier millimétré.})

Le plan est muni d'un repère orthonormé (O,  I, J). OI = OJ = 1 cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer les points A$(-2~;~1)$ et B(1~;~2).

Lire sur le graphique les coordonnées du vecteur $\vect{\text{AB}}$.
\item  Placer les points R et C images respectives des points O et B dans la translation de vecteur $\vect{\text{AB}}$. Préciser les coordonnées de R et C.
\item  Citer deux vecteurs égaux a $\vect{\text{AB}}$.

Justifier que BCRO est un parallélogramme.
\item  Recopier et compléter sans justification les égalités :

\[\vect{\text{OA}}+ \vect{\text{AB}} = ...\quad ; \quad \vect{\text{CB}}+ \vect{\text{CR}} = ...\]

\item  Soit K le centre du parallélogramme BCRO.

Calculer les coordonnées de K.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On considère la figure ci-dessous (\textsl{les unités ne sont pas  respectées})

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6,5)
\pspolygon(3.6,4)(0,2)(5.8,0.7)%OAB
\psline(1.5,2.8)(4.85,2.1)%MP
\uput[u](3.6,4){O} \uput[l](0,2){A} \uput[r](5.8,0.7){B} \uput[ul](1.5,2.8){M} \uput[ur](4.85,2.1){P} 
\uput[ul](2.4,3.4){3,9} \uput[ul](0.9,2.5){2,1} \uput[ur](4.2,3.1){5,2} 
\uput[ur](5.4,1.3){2,8} \uput[dl](3.2,2.4){6,5} 
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Montrer que les droites (MP) et (AB) sont parallèles.
\item  Calculer la longueur AB.
\item  Montrer que le triangle OAB est rectangle en O.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\textsl{Sur la figure ci-contre les mesures ne sont pas respectées.}

\medskip

\parbox{0.55\textwidth}{On considère un cercle $\mathcal{C}$ de diamètre 

HA = 9 cm.

Soit $M$ un point du cercle $\mathcal{C}$ tel que MA = 5,3 cm et T un autre point du cercle $\mathcal{C}$} \hfill
\parbox{0.38\textwidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(4,4)
\pspolygon(0,2)(3.35,2)(2.65,3.35)%HAM
\psline[linestyle=dashed](0,2)(2.9,0.9)(2.65,3.35)%HTM
\pscircle(1.675,2){1.675}
\uput[u](0.9,3.4){$\mathcal{C}$} \uput[l](0,2){H} \uput[ur](2.65,3.35){M} \uput[r](3.35,2){A} \uput[dr](2.9,0.9){T} 
\end{pspicture}}

\medskip
	
\begin{enumerate}
\item Justifier que MAH est un triangle rectangle.
\item Calculer la mesure de l'angle $\widehat{\text{MHA}}$, arrondie à l'unité.
\item Déterminer la mesure de l'angle $\widehat{\text{HTM}}$ (arrondie à l'unité).
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points}

\bigskip

Onagre est un opérateur de téléphonie mobile qui propose les abonnements suivants :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet$]  Abonnement A : abonnement 19 euros, puis 0,30 euro la minute de communication
\item[$\bullet$]  Abonnement B : abonnement 29 euros, puis 0,20 euro la minute de communication.
 \end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Recopier puis compléter le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tabular}{l|*{3}{c|}c}\hline
Durée  (en minutes)&30&45&60&90\\ \hline
Abonnement A en euro& & & & \\ \hline
Abonnement B en euro& & & & \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

\medskip
\item  Soit $x$ le nombre de minutes et $y$ le prix de la communication à payer en fonction du temps.

On note $y_{\text{A}}$ le prix pour l'abonnement A et $y_{\text{B}}$ le prix pour l'abonnement B.
 
Exprimer $y_{\text{A}}$ et $y_{\text{B}}$ en fonction de $x$.
\item  Déterminer le nombre de minutes correspondant à un montant de $151$ euros pour l'abonnement A.
\item  (Sur papier millimétré)

Dans un repère orthonormé, représenter graphiquement les fonctions
affines définies par :
\[f(x) = 	0,3x+19\quad  \text{et}\quad  g(x) = 0,2 x + 29.\]
On choisira pour unités :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet$]  en abscisse, 1 cm pour 10 minutes
\item[$\bullet$] en ordonnée, 1 cm pour 5 euros.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\item  
	\begin{enumerate}
		\item  Résoudre l'équation $19 + 0,3x =  29 + 0,2x$.

 En déduire le nombre de minutes pour lequel les deux tarifs sont égaux.
		\item Quel est le tarif le plus avantageux si l'on consomme moins d'une heure de communication par mois ?
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer graphiquement le nombre de minutes dont on disposera pour un montant de $70$~euros, si l'on a choisi l'abonnement A. 
		\item Retrouver ce résultat par le calcul.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document} 