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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges }
\lfoot{\small{septembre 2002}}
\rfoot{\small{Antilles-Guyane}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 2 heures}

\vspace{0,25cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Antilles-Guyane~\decofourright\\septembre 2002 }}

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES} \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1}}

\medskip

Calculer et donner le résultat sous forme de fraction irréductible : 

\[\text{A} = \dfrac{26}{7} - \dfrac{22}{7}  \times \dfrac{10}{33} \qquad \text{B} = \dfrac{7 \times 10^{35}}{49 \times 10^{34}}.\]

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2}}

\medskip

Écrire sous la forme	$a\sqrt{b}$	avec $a$ et $b$ entiers, $b$ le plus petit possible :

\[\text{C} = \sqrt{50} - 3\sqrt{8} + 2\sqrt{18}.\]

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3}}

\medskip

On donne : $D = (5x -  3)^2 - 81$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Développer et réduire $D$.
\item  Factoriser $D$.
\item  Résoudre l'équation : $(5x - 12) (5x + 6) = 0$.
 \end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 4}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Résoudre le système suivant :

\[\left\{\begin{array}{l c r}
3x+2y &=&47\\ 
x+3y& =&32\\
\end{array}\right.\]

\item  À la pépinière, un client achète 3 plants de manguier et 2 plants de goyavier pour 47 ~\euro.

Un autre client paye 32~\euro{} pour un plant de manguier et 3 plants de goyavier.

Déterminer le prix d'un plant de manguier et le prix d'un plant de goyavier.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES} \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Construire un triangle RAS tel que :

RA = 8 cm,  RS = 6,4 cm et AS = 4,8 cm.
\item Prouver que le triangle RAS est rectangle. 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Placer le point M du segment [RS] tel que RM = 4,8~cm et le point N du segment [RA] tel que RN = 6~cm.
		\item Prouver que les droites (MN) et (AS) sont parallèles.
		\item Calculer MN.
	 \end{enumerate}
 \end{enumerate} 
 
\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2}}

\medskip

\parbox{0.6\textwidth}{Le quadrilatère EURO est un losange de centre I.\\L'angle $\widehat{\text{IEU}}$ vaut 25\up{o} et la diagonale [ER] mesure 10~cm.
\begin{enumerate}
\item  Prouver que le triangle EIU est rectangle en I.
\item  Calculer la valeur arrondie au centième de cm 	de la longueur lU.
\end{enumerate}} \hfill \parbox{0.35\textwidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(3,5)
\pspolygon(0,2.5)(1.5,5)(3,2.5)(1.5,0)
\psline(1.5,5)(1.5,0) \psline(0,2.5)(3,2.5)
\uput[l](0,2.5){O} \uput[u](1.5,5){E} \uput[r](3,2.5){U} \uput[d](1.5,0){R}
\uput[ur](1.5,2.5){I}
\psarc(1.5,5){3mm}{-90}{-65} \rput(1.75,4.2){25\up{o}}
\end{pspicture}} 

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3}}

\medskip

\parbox{0.5\textwidth}{La maquette de maison représentée ci-contre est composée d'un pavé droit de dimensions :

AS = 30 cm, AE = 20 cm et AD = 5 cm.

Ce pavé est surmonté d'une pyramide de hauteur 6 cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Calculer le volume V$_{1}$ de cette maquette.
\item  Sachant que cette maquette est une réduction de coefficient 1/50 de la maison réelle, déduire de la première question le volume V$_{2}$ en m$^3$ de la liaison. \\
\emph{Rappel} : Le volume d'une pyramide est :
$\dfrac{1}{3} \times  \text{aire de la base}  \times  \text{hauteur}$.
\end{enumerate}} \hfill
\parbox{0.45\textwidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(5,5)
\pspolygon(0,0)(0,1.3)(3.8,1.3)(5,2.2)(5,0.9)(3.8,0)%DABFGCD
\psline(3.8,1.3)(3.8,0)% BC
 \psline(0,1.3)(2.2,3.2)(5,2.2)% AS
\psline(0,1.3)(1.2,2.2)(5,2.2)(2.2,3.2) \psline(2.2,3.2)(3.8,1.3)
\psline[linestyle=dotted](0,1.3)(1.2,2.2)(2.2,3.2)(5,2.2)(5,0.9)(1.2,0.9)(0,0)
\psline[linestyle=dotted](1.2,0.9)(1.2,2.2)
\uput[l](0,1.3){A} \uput[dr](3.8,1.3){B} \uput[dr](3.8,0){C} 
\uput[dl](0,0){D} \uput[ul](1.2,2.2){E} \uput[ur](5,2.2){F} 
\uput[r](5,0.9){G} \uput[ul](1.2,0.9){H} \uput[u](2.2,3.2){S} 
\end{pspicture}}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{PROBLÈME} \hfill 12 points}

\bigskip

\emph{Le plan est muni d'un repère orthonormal} (O, J, J). \emph{L'unité de longueur
est le centimètre.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer les points :

\[\text{A}(2~;~-2) \quad;\quad  \text{B}(6~;~0)\quad ;\quad   \text{C}(4~;~4)\quad \text{et \quad D}(0~;~2).\]

\medskip

\item  Calculer les coordonnées des vecteurs $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{DC}}$. 

Que peut-on dire de ces vecteurs ?
\item  Montrer par le calcul que AC =  DB.
\item  Montrer par le calcul que AB = AD.
\item  Déduire des trois questions précédentes que le quadrilatère 

ABCD est un carré.

On justifiera la réponse.
\item  On considère les fonctions affines suivantes :
\[f~:~x \longmapsto 3x - 8 \quad  \text{et} \quad  g~:~x \longmapsto - \dfrac{1}{3}x + 2.\]

	\begin{enumerate}
		\item  Calculer $f(2)~;~ f(4)~;~ g(6)~;~g(0)$.
		\item  En déduire que la représentation graphique de $f$ est la droite (AC) et que celle de $g$ est la droite (BD).
		\item  Résoudre alors graphiquement le système suivant :
\[\left\{\begin{array}{l c r}
y&=& 3x -8\\
y& =& - \dfrac{1}{3}x + 2\\
\end{array}\right.\]
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}