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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet  des collèges}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{septembre 2006}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Antilles-Guyane  septembre 2006~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{ Activités numériques} \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Calculer le nombre A. (On donnera le résultat sous la forme d'une fraction irréductible.)

\[\text{A} = \dfrac{13}{10} - \dfrac{2}{5} \times \dfrac{3}{8}.\]

\item  Simplifier la fraction suivante pour la rendre irréductible

\[\text{B} = \dfrac{280}{448}.\]

\item  Résoudre le système suivant :

\[\left\{\begin{array}{l c r}
3x+ 5y&=& -19\\
4x-y&=& 13\\
\end{array}\right.\]
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip
 
$C= (x  + 3) (5x - 4) + (x + 3)^2$.
\begin{enumerate}
\item  Développer puis réduire $C$.
\item  Factoriser $C$.
\item  Résoudre l'équation $(x + 3) (6x - 1) = 0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

On désigne par $x$ la longueur des côtés d'un carré.

L'aire de ce carré est 32 cm$^2$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Traduire la phrase ci-dessus par une équation. 
\item  Calculer la longueur exacte des côtés du carré. 
\item  Écrire le résultat de la question 2  sous  la forme $a\sqrt{b}$ où $a$ et $b$ sont des nombres entiers et où $b$ est le plus petit possible.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Activités géométriques} \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Sur cette figure, on a les longueurs suivantes :
\begin{center}AB = 5,4~cm ; BC = 7,2~cm; AC = 9~cm ; AD = 2,6~cm.\end{center}
Les droites (AE) et (BC) sont parallèles.

\emph{La figure n'est pas à refaire. Elle n'est pas donnée en vraie grandeur.}

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(5,4)
\psline(4,0)(0.2,3.5)(0.2,0)(4,0)(0.2,2.3)%CDBCA
\psline(-0.2,2.3)(4.8,2.3)%AE
\uput[ul](0.2,2.3){A}  \uput[dl](0.2,0){B}  \uput[dr](4,0){C}  \uput[u](0.2,3.5){D}  \uput[ur](1.5,2.3){E}  
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item  Montrer que le triangle ABC est un triangle rectangle en B.
\item  Calculer la tangente de l'angle $\widehat{\text{ACB}}$, puis en déduire la mesure de
l'angle $\widehat{\text{ACB}}$ (valeur arrondie au degré près).
\item  Calculer AE.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Construire FGH sur le schéma ci-dessous, l'image du triangle SEL, par la translation de vecteur $\vect{\text{AB}}$.
\item  Construire UVW sur le schéma ci-dessous, l'image du triangle SEL par la rotation de centre A, d'angle $90$\degres, dans le sens des aiguilles d'une montre.
\end{enumerate}

\medskip

\psset{unit=0.5454cm}
\begin{pspicture}(22,19)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1](0,0)(22,19) 
\pspolygon(4,15)(9,13)(7,18) %SLE
\uput[ul](4,15){S}   \uput[ur](7,18){E}  \uput[dr](9,13){L}  \uput[dr](10,7){A}  \uput[dr](7,1){B}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45] (10,7)(7,1) 
\end{pspicture}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\parbox{0.4\textwidth}{ABS est un triangle rectangle en A tel que BS =  9,5~cm et \\AB = 7,6~cm. On obtient un cône en faisant tourner le triangle ABS autour de son côté [SA].
\begin{enumerate}
\item  Calculer SA. 
\item Calculer le volume de ce cône au cm$^3$ près.	
\end{enumerate}} \hfill
\parbox{0.52\textwidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6,3)
\psline(0,0.5)(3,2.4)(6,0.5)
\uput[ul](0,0.5){B}  \uput[dr](3,0.5){A}  \uput[u](3,2.4){S}
\psline[linestyle=dashed](0,0.5)(3,0.5)(3,2.4)
\scalebox{1}[0.2]{\psarc[linewidth=1.5pt](3,2){3}{180}{0}}%
\scalebox{1}[0.2]{\psarc[linestyle=dashed,linewidth=1.5pt](3,2){3}{0}{180}}%  
\end{pspicture}}

\newpage

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points}

\bigskip

Un cinéma propose deux tarifs :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~$]  \textbf{tarif 1 :} 7,50 \euro{} la place;
\item[$\bullet~$]  \textbf{tarif 2 :} 5,25 \euro{} la place sur présentation d'une carte d'abonnement de 27~\euro{} valable un an.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Remplir le tableau suivant :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{4cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
Nombre de places achetées en un an 	&4	&20	&36\\ \hline
Prix en \euro{} avec le tarif 1		&	&	&  \\ \hline
Prix en \euro{} avec le tarif 2		&	&	&  \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item  On désigne par $x$ le nombre de places achetées au cours d'une année.

On note P$_{1}$ le prix pavé avec le tarif 1,

P$_{2}$ le prix payé avec le tarif 2.

Exprimer P$_{1}$ et P$_{2}$ en fonction  de $x$.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  En dépensant 52,50~\euro{} avec le tarif 1,  combien de places a-t-on achetée ?

Justifier la réponse par un calcul. 
		\item  En dépensant 84,75~\euro{} avec le tarif 2, combien de places a-t-on achetée ?

Justifier la réponse par un calcul. 
	\end{enumerate} 
\item  Construire dans un même repère :

\begin{itemize}
\item  la droite $\mathcal{D}_{1}$ représentant la fonction P$_{1} : x \longmapsto 7,5x$ ;
\item  la droite $\mathcal{D}_{2}$ représentant la fonction P$_{2} : x \longmapsto 5,25x + 27$.
\end{itemize}

L'origine du repère sera placée en bas et à gauche de la feuille de papier millimétré.

On prendra 1~cm pour 2 places en abscisse.

On prendra 1~cm pour $10$~\euro{} en ordonnée.
\item  Par lecture graphique, donner le nombre de places pour lequel les tarifs 1 et 2 sont égaux.
\item  Retrouver le résultat par le calcul.
\item  Pour combien de séances, le tarif 1 est-il plus avantageux que le
	tarif 2 ?	
\end{enumerate}
\end{document}