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\begin{document}
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\lhead{\small A. P. M. E. P.}
\rhead{\small Brevet des collèges }%tapez un titre
\lfoot{\small{septembre 2004}}
\rfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 2 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\gray Brevet des collèges Antilles--Guyane\\septembre 2004}}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill 12 points}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1}

\emph{Dans tout cet exercice, les étapes des calculs doivent être détaillées.}

\begin{enumerate}
\item A $= \dfrac{\dfrac{4}{3}- \dfrac{2}{5}}{\dfrac{5}{2} + \dfrac{3}{10}}$.

 Calculer A et donner le résultat sous forme d'une fraction irréductible.

\item B $= \dfrac{ 4,5\times 10^{-5} \times 13\times 10^{-3}}{0,9 \times10^{-12}}$.

Donner l'écriture scientifique de B.

\item  C $= 2\sqrt{45} + 3\sqrt{20} - \sqrt{80}$.\\
Écrire C sous la forme $a\sqrt{5}$ où $a$ est un entier.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2}

$D = (2x - 3)^2 - (5x - 7)(2x - 3)$.
\begin{enumerate}
\item Développer puis réduire $D$.
\item Factoriser $D$.
\item Calculer $D$ pour $x = 0$, puis pour $x = \dfrac{3}{2}$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre l'inéquation suivante :
\[ 7x - 2 > 3x +6.\]
		\item Représenter les solutions sur une droite graduée en hachurant la partie de la droite qui ne représente pas les solutions.
	\end{enumerate}
\item Résoudre l'équation : 
\[3(5x - 7)(x - 2) = 0.\]
\end{enumerate}

\newpage

\vspace*{-1.25cm}

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1}

\parbox{0.7\textwidth}{
Un solide est constitué d'un cone surmonté d'une demi-boule selon la figure ci-contre.

 La boule a pour rayon OB = 4 cm et les
génératrices du cône ont pour longueur
	10,4 cm (AB = AC = 10,4 cm).
\begin{enumerate}
\item Calculer la hauteur AO du cône.
\item Calculer la mesure de l'angle $\widehat{\text{BAO}}$
	arrondie au degré près. En déduire $\widehat{\text{BAC}}$.
\item Quel est le volume en cm$^3$ du solide (arrondi au dixième)
 \end{enumerate}}\hfill \parbox{0.28\textwidth}{\begin{pspicture}(3,6.5)
 \pspolygon(0.2,5)(2.8,5)(1.5,0.7)
 \pswedge(1.5,5){1.3}{0}{180}
 \psline[linestyle=dashed](1.5,5)(1.5,0.7)
 \uput[d](1.5,0.7){A} \uput[l](0.2,5){B} \uput[r](2.8,5){C}\uput[u](1.5,5){O}
 \end{pspicture}}
 
Rappels :

$\bullet~$ Volume d'un cône de surface de base B et de hauteur $h : \dfrac{1}{3}\text{B} \times h$.

$\bullet~$ Volume d'une sphère de rayon $r  :  \dfrac{4}{3}\pi r^3$.

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2}

Sur la figure ci-dessous, les droites (MN) et (BU) sont parallèles.

 L'unité de longueur étant le cm, on donne les longueurs suivantes :
 
 MN = 10, OM = 6, ON = 8 et OU = 3.
 
\parbox{0.4\textwidth}{\begin{enumerate}
\item Reproduire la figure
en dimensions réelles.
\item Calculer les longueurs BU et BO.
\item S est un point du segment [MN] et T un point du segment [ON] tel que	
NS = 8 et NT = 6,4.\end{enumerate}}\hfill \parbox{0.55\textwidth}{
 \begin{pspicture}(7,3)
 \psline(0.8,0.2)(5.8,2.6) \psline(1,3)(5,0.1)
 \psline(0.1,2.4)(6.4,2.4) \psline(0.2,0.6)(6.3,0.6)
 \uput[u](3.2,1.4){O} \uput[ur](1.8,2.4){N} \uput[ul](5.4,2.4){M}
 \uput[dr](1.6,0.6){U} \uput[dl](4.3,0.6){B}
 \end{pspicture}}
 
Les droites (TS) et (OM) sont-elles parallèles ? Justifier la réponse.

\vspace{0,5cm}

\textbf{PROBLÈME \hfill 12 points}

Le plan est muni d'un repère orthonomé (O ; I, J). L'unité de longueur est le centimètre.

Placer les points A(3 ; 4),  B(5 ; 0) et C$(3~;~- 1)$.

\vspace{0,5cm}

\textbf{Première partie}

\begin{enumerate}
\item Vérifier que la droite (AB) est la représentation graphique de la fonction affine $f$ définie par $f :  x  \longmapsto  y =  - 2x + 10$.
\item Déterminer la fonction affine $g$ dont (BC) est la représentation graphique.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Deuxième partie}

\begin{enumerate}
\item Montrer que AB $= \sqrt{20}$,~  AC $= 5$ et BC $= \sqrt{5}$.
\item Calculer les coordonnées du vecteur $\vect{\text{BA}}$. 
\item Placer le point D tel que $\vect{\text{CD}} =  \vect{\text{BA}}$. 
\item Montrer que le quadrilatère ABCD est un rectangle.

Calculer l'aire de ce rectangle.
\end{enumerate}

\end{document} 