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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small{septembre 2009}}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
    
{\Large\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Antilles--Guyane~\decofourright\\ septembre 2009}}
    
\vspace{0,25cm}
    
\textbf{Durée : 2 heures} \end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill 12 points}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 4 points}

\medskip

QCM : Questionnaire à choix multiple. \textbf{Voir Annexe 1}.

\medskip
 
\textbf{Exercice 2 \hfill 6 points}

\medskip

Lors d'un contrôle, une classe de 3\up{e} a obtenu les notes suivantes :

8 - 7 - 8 - 4 - 13 - 13 - 13 - 10 - 4 - 17 - 18 - 4 - 13 - 11 -

9 - 15 - 5 - 7 - 11 - 18 - 6 - 9 - 2 - 19 - 12 - 12 - 6 - 15. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Reproduire et compléter le tableau suivant en rangeant toutes les notes par ordre croissant.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}*{5}{>{\centering \arraybackslash}X}|}\hline
Notes		&2	&4	&	&	&\ldots	&	&  \\ \hline
Effectifs 	&1 	&3	&	&	&\ldots &	&  \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
\item  Quel est l'effectif total de ce groupe ? 
\item  Quelle est la moyenne des notes de cette classe ? Arrondir le résultat à $0,1$ près. 
\item  Donner la médiane de ces notes. 
\item  On choisit au hasard une copie.
 
Quelle est la probabilité pour que la note de cette copie soit supérieure ou égale à 10 ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3 \hfill 2 points}

\medskip
 
Soustraire 3 à un nombre ou le diviser par 3 donne le même résultat. Quel est ce nombre. Justifier votre réponse.
 
\vspace{0,5cm}
 
\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1 \hfill 3 points}

\medskip

QCM : Questionnaire à choix multiple. \textbf{Voir Annexe 2}.

\bigskip
 
\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\medskip

\parbox{0.451\linewidth}{Soit la figure suivante où :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] ABC est un triangle rectangle en B
\item[$\bullet~$] AC = 13~cm et BC = 12~cm  
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm} 

\emph{La figure ci-contre n'est pas en vraie grandeur}.}  
\hfill
\parbox{0.47\linewidth}{\psset{unit=0.7cm}\begin{pspicture}(8,2.5)
\pspolygon(1,0)(7.7,0)(1,2.3)
\uput[l](1,2.3){A} \uput[l](1,0){B} \uput[ur](7.7,0){C} 
\end{pspicture}}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer la mesure de l'angle $\widehat{\text{BAC}}$. (On arrondira au degré).
\item  O désigne le milieu de [AC]. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la longueur OB. 
		\item Déterminer la mesure de l'angle $\widehat{\text{BOA}}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Exercice 3 \hfill 4 points}

\medskip

\parbox{0.48\linewidth}{On donne :
 
AI = 8 cm ; IB = 10 cm ; IC = 14 cm ;

ID = 11,2 cm et AB = 6 cm.
 
\emph{La figure ci-contre n'est pas en vraie grandeur.} 
 
\begin{enumerate}
\item  Montrer que le triangle IAB est rectangle en A. 
\item  Montrer que les droites (AB) et (CD) sont parallèles. 
\item  Quelle est la nature du triangle IDC ? Justifier votre réponse. 
\end{enumerate}} \hfill
\parbox{0.48\linewidth}{\psset{unit=0.75cm} \begin{pspicture}(8,5.75)
\pspolygon(1,2.4)(7.4,2.4)(7.4,0.4)(1,5.1)
\uput[l](1,2.4){D} \uput[l](1,5.1){C} \uput[r](7.4,0.4){B} \uput[r](7.4,2.4){A} \uput[u](4.6,2.4){I} 
\end{pspicture}}

\medskip

\vspace{0,5cm}

\textbf{PROBLÈME \hfill 12 points}

\bigskip
 
\parbox{0.48\linewidth}{ABC est un triangle rectangle en A tel que AB = 3~cm et AC = 4~cm.
 
M est un point de [BC].
 
La perpendiculaire à (AB) passant par M coupe (AB) en P.
 
La perpendiculaire à (AC) passant par M coupe (AC) en Q.}\hfill
\parbox{0.48\linewidth}{\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(7,4.2)
\pspolygon(1,0.5)(6.9,0.5)(1,3.8)
\psline(2.65,0.5)(2.65,2.9)(1,2.9)
\uput[l](1,0.5){A} \uput[l](1,2.9){P} \uput[l](1,3.8){B}
\uput[ur](2.7,2.9){M} \uput[d](2.7,0.5){Q} \uput[dr](6.9,0.5){C}  
\end{pspicture}}

\bigskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
Justifier que :

\begin{enumerate}
\item  BC = 5cm. 
\item Le quadrilatère APMQ est un rectangle. 
\item $\dfrac{\text{BP}}{3} = \dfrac{\text{BM}}{5} = \dfrac{\text{PM}}{4}$. 
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
On suppose dans cette partie que BM = 2 cm.

\begin{enumerate}
\item Calculer BP, PM puis en déduire AP. 
\item  Calculer l'aire du rectangle APMQ.
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{Partie C}

\medskip
 
On suppose dans cette partie que BM $= x$~cm avec $0 < x < 5$.
 
\begin{enumerate}
\item  En utilisant la question 3  de la Partie A, exprimer BP et PM en fonction de $x$.
\item  En déduire AP en fonction de $x$. 
\item  Pour quelle valeur de $x$, APMQ est-il un carré? 
\item  On note $\mathcal{A}(x)$ l'aire, en cm$^2$ du rectangle APMQ.
 
Justifier que $\mathcal{A}(x) = 2,4x - 0,48x^2$. 
\item  On donne la représentation graphique de la fonction $\mathcal{A}$ ci-dessous: 
\end{enumerate}

\medskip

\parbox{0.55\linewidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(-0.5,-0.50)(5,5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(5,5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.25pt](0,0)(5,5)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{5}{2.4 x mul x dup mul 0.48 mul sub}
\end{pspicture}}\hfill
\parbox{0.45\linewidth}{\textbf{a.} En s'aidant du graphique, trouver le(s) valeur(s) de $x$ pour lesquelles l'aire du rectangle APMQ est de 1~cm$^2$.\par

\textbf{b.} Déterminer graphiquement la valeur de $x$ pour laquelle l'aire de APMQ est maximale. Donner cette aire maximale. }


\newpage

\begin{center}
\textbf{ANNEXE 1 (à rendre avec la copie)}

\vspace{0,5cm}
 
LE CANDIDAT RÉPONDRA DIRECTEMENT SUR LES FEUILLES ANNEXE 1 et 2.

\medskip

CES FEUILLES ANNEXES SERONT REMISES AVEC LA COPIE.

\medskip 
\begin{flushleft} Exercice 1 \hfill  4 points \end{flushleft}

\medskip

Pour chaque ligne du tableau, 3 réponses (A, B et C) sont proposées.

Écrire dans la dernière colonne la lettre correspondant à la bonne réponse.

\medskip

\renewcommand\arraystretch{1.7}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.9cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}\hline 
Énoncé 	&Réponse A 	&Réponse B 	&Réponse C 	&Réponse \\ \hline
Le PGCD de 364 et 156 est :		& 26 		&78 		&52	& \\ \hline
L'écriture scientifique de $\dfrac{15 \times  10^8 \times 10^{-3}}{10^2}$\rule[-3mm]{0mm}{9mm} est:& $1,5 \times 10^4$&$1,5 \times 10^3$&$1,5 \times 10^2$ & \\ \hline
Les solutions de l'inéquation $-3x + 7 \geqslant 5$ sont les nombres 
$x$ vérifiant :&$x \geqslant \dfrac{2}{3}$&$x \leqslant \dfrac{2}{3}$&$x \leqslant -\dfrac{2}{3}$& \\ \hline
On donne la fonction $f$ définie par : $f(x) = 3x^2 - 5$.  
$f\left(\dfrac{2}{3}\right)=$	&$- \dfrac{11}{3}$&$-1$&$\dfrac{7}{9}$&  \\ \hline
\end{tabularx} 

\newpage

\textbf{ANNEXE 2 (à rendre avec la copie) }

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1  \hfill 3 points}

\vspace{1cm}
 
\begin{flushleft}Pour chaque ligne du tableau, 3 réponses (A, B et C) sont proposées.

Écrire dans la dernière colonne la lettre correspondant à la bonne réponse.

\medskip
 
On a une sphère S de centre O et de rayon $r$.
 
Le plan P coupe la sphère en formant un cercle $C$ de centre H.\end{flushleft}

\vspace{1cm}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.5cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Énoncé &Réponse A &Réponse B &Réponse C &Réponse \\ \hline 
Le rayon du cercle $C$ est égal à :& $r - \text{OH}$&$\sqrt{r^2 + \text{OH}^2}$& $\sqrt{r^2 - \text{OH}^2}$&  \\ \hline
\rule[-4mm]{0mm}{12mm}L'aire de la sphère S est:&$\dfrac{4}{3}\times \pi \times r^2$&$4 \times \pi \times r^2$& $2 \times \pi \times r$ &  \\ \hline
Le volume de la boule de rayon $r$ est :&$\dfrac{4}{3}\times \pi \times r^3$&$4 \times \pi \times r^2$& $2 \times \pi \times r$ &  \\ \hline 
\end{tabularx}
\end{center}
\end{document}