\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
\usepackage{textcomp}
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pstricks,pst-plot}
\usepackage{pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\setlength{\textheight}{23,5cm}
\setlength{\voffset}{-1,5cm}
\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Brevet des collèges},
pdftitle = {Asie   juin 2002},
allbordercolors = white}  
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges }
\lfoot{\small{juin 2002}}
\rfoot{\small{Asie}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet - Asie du Sud-Est
juin 2002~\decofourright}}}

\vspace{0,15cm}

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Calculer et donner les résultats :

\begin{itemize}
\item sous forme de fraction irréductible pour $Q$ ;
\item en écriture scientifique pour $S$.

\[Q=\dfrac{2\times \dfrac{3}{7}}{\dfrac{5}{3}-1} \qquad
S=\dfrac{2\times10^{-5}\times1,2\times10^{2}}{3 \times 10^{-7}}\]

\end{itemize}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Ecrire sous la forme $a\sqrt{7}$ avec $a$ entier :
\[R=\sqrt{63}+3\sqrt{28}-\sqrt{700}. \]
\item Montrer, par un calcul, que le nombre $U$ est un entier :
\[U=\left(2-\sqrt{3} \right) \times \left(2+\sqrt{3} \right).\]
\item Déterminer avec votre calculatrice des valeurs approchées
(arrondies au millième) des nombres :
\[5 - 4\sqrt2\quad et \quad \frac{1}{\sqrt5-2}\]
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

On considère les expressions :

\[E = 4x(x + 3)\quad  \text{et}\quad F = x^2 + 6x + 9.\]
\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation $E = 0$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la valeur de $F$ pour $x = -2$.
		\item Vérifier que $F = (x + 3)^2$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Développer $E$.
		\item Réduire $E - F$.
		\item Factoriser $E + F$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\parbox{0.4\linewidth}{Pour consolider un bâtiment, on a construit un contrefort en bois (dessin ci-contre).

On donne :

BS = 6 m ; BN = 1,8 m ;

AM = 1,95 m ; AB = 2,5m.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item En considérant que le montant [BS] est perpendiculaire au sol,
calculer la longueur AS.
\item Calculer les longueurs SM et SN.
\item Démontrer que la traverse [MN] est bien parallèle au sol.
\end{enumerate}} \hfill
\parbox{0.55\linewidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(6,6)
%A(0.9,0))  B(3.15,0)  M(1.6,1.6)  N(3.2,1.6)  S(3.2,5.4)
\psline(0,0)(3.15,0)%OB
\psline(0.9,0)(3.2,5.4)%AS
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](3.15,0)(5.4,6)
\psline(1.6,1.6)(3.2,1.6) %MN
\psline[linewidth=0.3pt]{<->}(3.3,0)(3.3,5.4)
\psline[linewidth=0.3pt]{<->}(0.8,-0.3)(3.15,-0.3)
\psline[linewidth=0.3pt]{<->}(0.7,0.05)(1.4,1.57)
\rput{90}(3.5,2.8){6 m} \uput[d](2.025,-0.2){2,5 m}
\rput{67}(0.8,0.8){1,95 m}
\uput[dl](0.9,0){A}  \uput[dr](3.15,0){B}  \uput[ul](1.6,1.6){M}  \uput[ur](3.2,1.6){N}  \uput[ul](3.2,5.4){S}  
\end{pspicture}}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Soit [IJ] un segment et M un point du cercle de diamètre
[IJ]. Faire une figure.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Que dire de l'angle $\widehat{\text{IMJ}}$ ? Justifier.
\item Construire le point K tel que $\vect{\text{MK}}=\vect{\text{IM}}$.
\item Construire le point L tel que
$\vect{\text{JL}}=\vect{\text{JI}}+\vect{\text{JK}}$.
\item Déterminer la nature du quadrilatère IJKL.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\emph{La figure n'est pas à l'échelle}

\begin{center}
\begin{pspicture}(9,3)
\psline(0.9,0)(9,2)
\pscircle(6.5,1.4){1.4}
\psline(0,0)(9,0) \psline(6.5,1.4)(6.5,0)
\psline(6.3,0)(6.3,0.2)(6.5,0.2)
\psarc(0.9,0){1.2cm}{0}{15}
\uput[u](6.5,1.4){O} \uput[u](8.8,1.9){$y$}
\rput(2.5,0.2){29 \up{o}} \uput[d](6.5,0){T} 
\uput[ul](0.9,0){A} \uput[ul](5.2,1.8){$\mathcal{C}$}
\end{pspicture} \end{center}

\bigskip

On considère le cercle $(\mathcal{C})$ de centre O, point de la
demi-droite [Ay). La demi-droite $[Ax)$ est tangente à $(\mathcal{C})$
en T. On donne AT = 9~cm.
\begin{enumerate}
\item Calculer une valeur approchée au millimètre près du rayon du cercle $(\mathcal{C})$.
\item A quelle distance de A faut-il placer un point B sur [AT]
pour que l'angle $\widehat{\text{OBT}}$ mesure 30\up{o} ?
\\(Donner une valeur approchée arrondie au millimètre.)
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{PROBLÈME \hfill 12 points}

\begin{center}
\textbf{\Large{Partie A}}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Construire un triangle EFG, de base [FG] et tel que :
\begin{center}
EF = 5,4 cm ; EG = 7,2 cm ; FG = 9 cm.
\end{center}
		\item Soit M le point du segment EF] tel que EM = $\dfrac{2}{3}\times $ EF.

Calculer la longueur EM puis placer le point M.
		\item Par M on mène la parallèle à la base [FG] ; elle coupe le côté [EG] en N.  

Compléter la figure.

Calculer EN.
\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que le triangle EFG est rectangle en E.
		\item En déduire l'aire du triangle EMN.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\textbf{\Large{Partie B}}
\end{center}

Dans cette partie le point M n'est plus fixe mais \textbf{mobile}
sur le segment [EF].

On pose EM $= x$ et ce nombre $x$ représente alors une
\textbf{longueur variable}.

(Il n'est pas demandé de nouvelle figure.)

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Entre quelles valeurs extrêmes peut varier le nombre $x$ ?
Soit N le point de [EG] défini comme dans la partie A.

Exprimer la longueur EN en fonction de $x$.
		\item Montrer que l'aire $\mathcal{A}(x)$ du triangle EMN est :
$\mathcal{A}(x) = \dfrac{2}{3}x^{2}$.

Sur le graphique ci-après, on a porté la longueur $x$ en abscisses
et l'aire $\mathcal{A}(x)$ du triangle EMN en ordonnée. \textbf{Ce graphique est à compléter}.
\end{enumerate}
\item Après avoir effectué les tracés nécessaires sur le graphique :
	\begin{enumerate}
		\item Lire une valeur approchée de l'aire du triangle EMN lorsque
$x=3,5cm$.
		\item Déterminer la valeur approximative de $x$ pour laquelle l'aire du triangle EMN est égale à 12 cm$^2$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,75cm}

\psset{xunit=2.6667cm,yunit=0.5333cm}
\begin{pspicture}(4.4,20)
\multido{\n=0.0+0.2}{23}{\psline[linewidth=0.3pt](\n,0)(\n,20)}
\multido{\n=0+1}{21}{\psline[linewidth=0.3pt](0,\n)(4.4,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=10]{->}(0,0)(4.4,20)
\uput[d](3.9,-1.5){Longueur $x$ en cm}
\rput(1,21){Aire du triangle EMN $ = \mathcal{A}(x)$}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{4.4}{x dup  mul  2  mul 3 div}
\end{pspicture}
\end{document}