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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges }
\lfoot{\small{juin 2003}}
\rfoot{\small{Asie du Sud-Est, Madagascar}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges  Asie du Sud-Est juin 2003~\decofourright}}

\vspace{0,5cm}

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{TRAVAUX NUMÉRIQUES \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Développer et réduire :
$A = (2x - 1)^{2}- 4(2 - x)$.
\item Factoriser :
$B = \left(x - 1\right)^{2}+\left(3x + 5\right)\left(x - 1\right)$.
\item Résoudre l'équation
$\left(x - 1\right) \left(4x + 4\right)=0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le PGCD de \nombre{1820} et \nombre{2730}.
\item Trouver la fraction irréductible égale à $\dfrac{\nombre{1820}}{\nombre{2730}}$.
\end{enumerate} 

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Trouver deux nombres, connaissant leur somme $2003$ et leur différence $51$.

\bigskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

On a mesuré lors d'un stage de jeunes basketteurs. Les tailles, en
cm, sont les suivantes :

\[\begin{tabular}{ccccc}
165&175&187&165&170\\
181&174&184&171&166\\
178&177&176&174&176\\
\end{tabular}
\]

\begin{enumerate}
\item Calculer la taille moyenne de ces basketteurs.
\item Quelle est la taille médiane de ces sportifs ? Justifier.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{TRAVAUX GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{center}\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(9,7)
\def\los{\pspolygon(0,0)(2.1,0)(2.8,0.7)(0.7,0.7)}
\rput(0.7,4.2){\los} %P1
\rput{-135}(8.5,5){\los}% P4
\rput(2.2,0.7){\los}% P5 
\rput(5.7,4.3){\los}% P3
\pspolygon(0,1.5)(0,3.6)(0.7,4.2)(0.7,2.1)% P2
\psline(0,4.9)(5.1,0)
\psline(0.7,0.4)(6.5,6.5)
\qdisk(3,2.8){1.5pt}
\uput[l](0.7,4.2){A} \uput[dr](3,2.8){B}
\uput[ur](8.5,5){C}  \uput[dl](5.6,4.3){E}
\uput[u](5,0.2){(D)} \uput[dr](6.3,6.1){(D$'$)}
\rput(2.1,4.6){P$_{1}$} \rput(0.4,2.8){P$_{2}$} 
\rput(6.8,4.8){P$_{3}$} \rput(7.7,3.8){P$_{4}$} 
\rput(3.4,1.15){P$_{5}$}
\psarc(8.5,5){3mm}{180}{225}
\psarc(8.5,5){3mm}{225}{270}
\end{pspicture} \end{center}

Préciser en donnant dans chaque cas ses éléments caractéristiques, la
transformation permettant de passer :

\medskip

\begin{enumerate}
\item de P$_{1}$ à P$_{2}$;
\item de P$_{1}$ à P$_{3}$;
\item de P$_{3}$ à P$_{4}$;
\item de P$_{1}$ à P$_{5}$;
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire un triangle ABC rectangle en B et tel que
AB = 5~cm et $\widehat{\text{BAC}} = 60 \degres$.
\item Calculer AC.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Tracer la médiatrice de [AC] : elle coupe [AC] en I et
[BC] en J.
		\item Calculer l'angle $\widehat{\text{IJB}}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\emph{La figure ci-contre n'est pas en vraie grandeur : elle est
donnée à titre indicatif.}

\vspace{0,5cm}

\parbox[l]{0,65\linewidth}{SABCD est une pyramide à base
carrée ; sa hauteur est l'arête [SA].

On donne SA = 4 cm et AB = 3 cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer SB.
\item Représenter en vraie grandeur les faces SAB et SBC, toutes
deux des triangles rectangles.
\item Calculer le volume de cette pyramide.
\end{enumerate}} \hfill
\parbox[l]{0,3\linewidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(3,3)
\pspolygon(0,0)(2.1,0)(2.8,0.8)(0,2.7)
\psline(2.1,0)(0,2.7)
\psline(0.2,0)(0.2,0.2)(0,0.2)
\psline[linestyle=dotted](0,0)(0.7,0.8)(0,2.7)
\psline[linestyle=dotted](0.7,0.8)(2.8,0.8)
\uput[dl](0,0){A} \uput[dr](2.1,0){B} \uput[r](2.8,0.8){C} 
\uput[l](0.7,0.8){D} \uput[l](0,2.7){S} 
\end{pspicture}}

\vspace{0,5cm}

\textbf{PROBLÈME \hfill 12 points}

\bigskip

\emph{Dans ce problème, l'unité de longueur est le centimètre et
l'unité d'aire est le cm$^2$. On pourra utiliser une feuille de
papier millimétré.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item (O, I, J) est un repère orthonormé, avec OI = OJ = 1 cm.
	\begin{enumerate}
		\item Placer les points suivants :
		
\[\text{A}(-2~;~-1) \qquad \text{B}(-5~;~3) \qquad \text{C}(3~;~9)\]

		\item Donner les coordonnées des vecteurs $\vect{\text{AB}}$ et
$\vect{\text{BC}}$ puis vérifier par un calcul que AB = 5 et
BC=10.
	\end{enumerate}
\item Calculer les coordonnées du vecteur $\vect{\text{AC}}$ et en
déduire la longueur AC (on l'écrira sous la forme $a\sqrt{5}$ où $a$
est un entier).
\item Démontrer que ABC est un triangle rectangle en B.
\item Calculer les coordonnées du milieu K du segment [AC].
\item
	\begin{enumerate}
		\item Placer le point D symétrique de B par rapport au point K.
		\item Démontrer que ABCD est un rectangle.
		\item Calculer son aire, puis celle du triangle ABC.
	\end{enumerate}
\item La droite perpendiculaire à (AC) passant par B coupe (AC)
en H et (AD) en L.

Utiliser l'aire du triangle ABC pour vérifier que BH $=2\sqrt{5}$.
\item On donne la valeur de AH : AH $=\sqrt{5}$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer HC (l'écrire sous la forme $a\sqrt{5}$ où $a$ est un entier).
		\item Utiliser le théorème de Thalès pour calculer AL.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
%%%%%  Fin Asie du Sud-Est juin 2003
\end{document}