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% Sujet aimablement fourni par Arnaud Crouzet
% Tapuscrit : Denis Vergès
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\rfoot{juin 2010}
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\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Asie juin 2010~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Activités numériques} \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Exercice 1 \hfill 4 points}

\medskip

On donne les nombres suivants : 
	  	 
A $= \dfrac{3}{4} - \dfrac{2}{3} \div \dfrac{8}{15} \quad \text{B} = \dfrac{6 \times  10^{-2} \times 5 \times 10^2}{1,5 \times  10^{-4}}\quad \text{et} \quad  \text{C} = \sqrt{12} -  5\sqrt{3}  + 2\sqrt{48}$.

\medskip
 
\emph{Pour les trois questions suivantes, on écrira au moins une étape de calcul.}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer A et donner le résultat sous la forme d'une fraction irréductible. 
\item Calculer B et donner le résultat sous forme scientifique. 
\item Écrire C sous la forme $a\sqrt{3}$ où $a$ est un nombre entier.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Exercice 2}

\medskip
 
\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Aucune justification n'est demandée.\\ Pour chaque question, trois réponses sont proposées et une seule est exacte.}

\medskip
 
Pour chacune des quatre questions, indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse exacte. 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|p{4.15cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{3-5}
\multicolumn{2}{c|}{}&Proposition 1 &Proposition 2 &Proposition 3\\ \hline 
1&\begin{tabular}{l} L'expression $(2x - 5)^2$\\
a pour forme développée :\\
\end{tabular}&$4x^2 -25$& $4x^2 - 20x - 25$&$4x^2 - 20x + 25$\\ \hline
2 &\begin{tabular}{l}L'expression $9x^2 - 144$\\
a pour forme factorisée :\\ \end{tabular}&$(3x - 12)(3x + 12)$ &$(3x -12)^2$ &$(9x - 12)(9x + 12)$ \\ \hline
3&\begin{tabular}{l}L'équation $- 3x + 7 = 0$\\
a pour solution :\\
\end{tabular}&$\dfrac{- 7}{3}$&$\dfrac{7}{3}$&$\dfrac{- 3}{7}$\\ \hline 
4&\begin{tabular}{l}La partie en gras représente\\
 les solutions de l'inéquation\\
$5x + 3 \geqslant 2x + 9$\\ \hline
\end{tabular}&\psset{unit=0.5cm}\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(4,0.5)
\psline(-0.5,0)(4,0)\psline[linewidth=1.5pt]{[-}(2,0)(4,0)\uput[d](0,0){0}\uput[d](2,0){2}\multirput(-0.5,0)(0.25,0){10}{\psline(0.15,0.15)(-0.154,-0.15)}
\end{pspicture}&\psset{unit=0.5cm} \begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(4,0.5)
\psline(-0.5,0)(4,0)\psline[linewidth=1.5pt]{-]}(-0.5,0)(2,0)\uput[d](0,0){0}\uput[d](2,0){2}\multirput(2,0)(0.25,0){8}{\psline(0.15,0.15)(-0.154,-0.15)}
\end{pspicture}&\psset{unit=0.5cm}\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(4,0.5)
\psline(-0.5,0)(4,0)\psline[linewidth=1.5pt]{]-}(1,0)(4,0)\uput[d](0,0){0}\uput[d](1,0){1}\multirput(-0.5,0)(0.25,0){6}{\psline(0.15,0.15)(-0.154,-0.15)}
\end{pspicture}\\ \hline
\end{tabularx}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip
 
Dans un magasin, tous les articles d'une même catégorie sont au même prix. 

Pierre et Clothilde décident d'y acheter des DVD et des bandes dessinées.

Ils possèdent chacun 75~\euro. Pierre achète un DVD et 4 bandes dessinées; il lui reste 14,50~\euro.
 
Clothilde dépense 73,50~\euro{} pour l'achat de 2 DVD et 3 bandes dessinées.
 
Calculer le prix de chaque article. 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Activités géométriques} \hfill 12 points}

\medskip
 
\textbf{Exercice 1}

\medskip

\parbox{0.55\linewidth}{On considère la figure ci-contre :
 \begin{enumerate}
\item Montrer que le triangle ABO est rectangle. 
\item Montrer que les droites (AB) et (CD) sont parallèles. 
\item Le triangle OCD est-il rectangle? Justifier.
\end{enumerate}}\hfill
\parbox{0.4\linewidth}{\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(7,6)
\pspolygon(0,4)(6.3,2)(5.7,0)(0.5,5.7)
\uput[dl](0,4){A} \uput[ur](6.3,2){C} \uput[dr](5.7,0){D} \uput[ur](0.5,5.7){B} \uput[ur](2.9,3){O}
\rput(-0.1,4.9){3,6}\rput(1.8,4.6){6}\rput(4.6,2.8){6}\rput(4.05,1.3){7,5}\rput(1.4,3.2){4,8} 
\end{pspicture}}

\medskip
 
\textbf{Exercice 2}

\medskip
 
Lors d'une intervention, les pompiers doivent atteindre une fenêtre F située à 18 mètres au-dessus du sol en utilisant leur grande échelle [PF]. Ils doivent prévoir les réglages de l'échelle.
 
Le pied P de l'échelle est situé sur le camion à 1,5~m du sol et à 10~m de l'immeuble. 

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(15,5)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.5,0)(2,4.6)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=gray](4.3,0.3)(8.1,0.3)(8.1,0.7)(5.1,0.7)(5.1,1.4)(4.3,1.4)
\uput[d](2,0){S}\uput[dr](2,0.6){R}\uput[ur](7.3,0.7){P}\uput[ur](2,3.9){F}
\psline(0,0)(15,0)
\pscircle(4.8,0.2){0.2}\pscircle(6.9,0.2){0.2}\pscircle(7.5,0.2){0.2}
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.75pt](2,0.7)(7.3,0.7)
\psline[linewidth=1.75pt](7.3,0.7)(2,3.9)
\uput[r](9,4.5){\emph{Le dessin n'est pas réalisé à l'échelle.}}
\uput[r](9,1.5){FS = 18 m}
\uput[r](9,2.5){RS = 1,5 m}
\uput[r](9,3.5){RP = 10~m}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item D'après les informations ci-dessus, déterminer la longueur RF.  
\item Déterminer l'angle que fait l'échelle avec l'horizontale, c'est-à-dire $\widehat{\text{FPR}}$, arrondi à l'unité. 
\item L'échelle a une longueur maximale de 25 mètres.
 
Sera-t-elle assez longue pour atteindre la fenêtre F ? 
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Problème \hfill 12 points}

\medskip
  
\emph{On rappelle les formules suivantes :}
 
\emph{Périmètre d'un cercle de rayon} $R$ :  $2\pi R$ 

\emph{Aire d'un disque de rayon} $R$ :  $\pi R^2$
 
\emph{Volume d'un cône :}  $\dfrac{\text{aire de la base} \times \text{hauteur}}{3}$.

\medskip

\textbf{Partie 1}

\medskip
 
Un cocktail sans alcool est préparé avec 8~cL de jus d'abricot, 6~cL de jus d'ananas, 2~cL de jus de citron vert et 2~cL de sirop de cerise.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Quelle est la proportion de jus d'abricot dans ce cocktail ? 
\item Pour préparer un pichet contenant 2,7~litres de ce cocktail, quelle quantité de jus d'abricot faut-il prévoir ? 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie 2}

\medskip
 
\parbox{0.6\linewidth}{Lors d'une fête, une personne sert ce cocktail dans des verres qui ont la forme d'un cône de révolution.
 
Le bord du verre est un cercle de rayon OC = 5,9 cm. 

Ce cercle est situé dans un plan horizontal.
 
La droite (OS), axe du cône, est verticale et OS = 6,8 cm. 

\emph{La figure donnée n'est pas réalisée à l'échelle.}}\hfill
\parbox{0.35\linewidth}{\psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(5,4.5)
\psellipse(2.5,0.2)(1.15,0.2)
\psellipse(2.5,3.7)(2.45,0.55)
\psellipse[linestyle=dashed](2.5,2.7)(1.25,0.3)
\psline(0.2,3.5)(2.5,1.7)(4.8,3.5)
\psline(2.5,1.7)(3.8,3.22)(2.5,3.7)
\psline[linestyle=dashed](2.5,1.7)(3.18,2.45)(2.5,2.7)
\uput[dl](2.5,1.7){S}\uput[u](2.5,3.7){O}\uput[ur](3.7,3.3){C}
\uput[l](2.5,2.7){O$'$}\uput[u](3.15,2.4){C$'$}
\psline(2.5,0.2)(2.5,3.7)
\end{pspicture}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer, en cm$^3$, le volume de ce verre, arrondi à l'unité.
		\item En déduire que la contenance de ce verre est d'environ 25~cL.		 
	\end{enumerate}
	\emph{On utilisera cette valeur dans la suite du problème.}  
\item
	\begin{enumerate}
		\item Dans cette question, le serveur remplit les verres aux quatre cinquièmes de leur hauteur.
		 
On admet que le liquide occupe un cône de hauteur SO$'$ dont la base est le disque de rayon O$'$C$'$. On considère que ce disque est horizontal comme le bord du verre.
 
Calculer le volume de cocktail contenu dans chaque verre. On donnera le résultat au centilitre près. 
		\item 43 personnes sont attendues à cette fête. Sachant qu'en moyenne, chacune d'elles consommera 3~verres, 20~litres de cocktail suffiront-ils ?
	\end{enumerate} 
\item Le graphique fourni en annexe  représente les variations du volume de cocktail contenu dans le verre en fonction de la hauteur de liquide. 
	\begin{enumerate}
		\item Le volume est-il proportionnel à la hauteur de liquide ? Justifier la réponse. 
		\item Par lecture graphique, en faisant apparaître les tracés utiles, déterminer : 
		
\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] Le volume de cocktail si la hauteur de liquide atteint 3~cm. 
\item[$\bullet~$] La hauteur de liquide si le volume servi est 17~cL.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{Annexe}

\bigskip

\textbf{DOCUMENT RÉPONSE À RENDRE AVEC LA COPIE}

\bigskip

\textbf{Problème : partie 2  : question 3}

\medskip

\psset{xunit=1.5cm,yunit=0.75cm}
\begin{pspicture}(8,26)
\uput[d](8,0){$h$ (cm)} \uput[r](0,26){Volume en cL}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{6.8}{0.08 x 3 exp mul}
\multido{\n=0+1}{9}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,26)}
\multido{\n=0+1}{27}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(8,\n,26)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=2]{->}(0,0)(8,26)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}