\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc} 
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet} 
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt} 
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{ulem}
\usepackage{dcolumn}
% Sujet aimablement fourni par Arnaud Crouzet
% Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pifont}
\usepackage{textcomp}
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage[dvips]{color}
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-node}
\setlength\paperheight{297mm}
\setlength\paperwidth{210mm}
\usepackage[a4paper,body=150mm,textheight=235mm]{geometry}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Brevet des collèges},
pdftitle = {Asie  juin 2011},
allbordercolors = white} 
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet  des collèges}
\lfoot{\small{Asie}}
\rfoot{23 juin 2011}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Asie 23 juin 2011~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Activités numériques} \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Exercice 1 \hfill }

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM), Aucune justification n'est demandée. Pour chaque question, une seule réponse est exacte.\\ 
Une réponse correcte rapportera $1$ point. L'absence de réponse ou une réponse fausse ne retirera aucun point.\\ 
Indiquer, sur la copie, le numéro de la question et la réponse.}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{5cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
N° &Questions &Réponse A &RéponseB &Réponse C\\ \hline 
\textbf{1.} &Le PGCD de 170 et 238 est: &17 &2 &34\\ \hline  
\textbf{2.} &Si une quantité est diminuée de 5\,\%, elle est multipliée par :&0,95 &0,05 &$-0,05$\\ \hline  
\textbf{3.} &$3^{-2}  \times 3^3 - 3 = $&0 &$3^0$ &$3^{-5}$\rule[-3mm]{0mm}{8mm}\\ \hline  
\textbf{4.} &L'équation $x^2 - 4 = 0$ admet pour solution(s) : &$- 4$ et 4 &2 &$-2$ et $2$\\ \hline 
\end{tabularx} 

\bigskip

\textbf{Exercice 2 }

\medskip

Les quatre couleurs d'un jeu de cartes sont : C{\oe}ur, Carreau, Trèfle et Pique.
 
Le joueur A pioche dans un jeu de 32 cartes (chaque couleur comporte les cartes : 7, 8, 9, 10, Valet, Dame, Roi et As).
 
Le joueur B pioche dans un jeu de 52 cartes (chaque couleur comporte les cartes : 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, Valet, Dame, Roi et As).

\smallskip
 
Chaque joueur tire une carte au hasard.

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité qu'a chaque joueur de tirer le 5 de Carreau. 
\item Chaque joueur a-t-il la même probabilité de tirer un C{\oe}ur ? Justifier. 
\item Qui a la plus grande probabilité de tirer une Dame ? Justifier.
\end{enumerate}  

\bigskip
 
\textbf{Exercice 3}

\medskip
 
On donne le programme de calcul suivant : 

\setlength\parindent{10mm}
\begin{itemize}
\item Choisir un nombre.
\item Ajouter 1. 
\item Calculer le carré du résultat obtenu.
\item Soustraire le carré du nombre de départ. 
\item Soustraire 1.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Effectuer ce programme lorsque le nombre choisi est $10$ et montrer qu'on obtient $20$. 
		\item Effectuer ce programme lorsque le nombre choisi est $- 3$ et montrer qu'on obtient $- 6$. 
		\item Effectuer ce programme lorsque le nombre choisi est $1,5$.
	\end{enumerate} 
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

\smallskip
 
Quelle conjecture peut-on faire à propos du résultat fourni par ce programme de calcul ? Démontrer cette conjecture. 

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Activités géométriques} \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Exercice 1 \hfill }

\medskip

Un propriétaire souhaite aménager le grenier de sa ferme. Voici le croquis de son grenier.

\medskip

\psset{unit=0.7cm}

\begin{center}
\begin{pspicture}(17,5)
\pspolygon(1,1)(8.3,1)(4.7,4)
\pspolygon(1.8,1.2)(7.5,1.2)(4.7,3.6)
\pspolygon(1.6,1.2)(7.7,1.2)(4.7,3.7)
\pspolygon(1.4,1.2)(7.9,1.2)(4.7,3.8)
\pspolygon(3.2,2.3)(6.2,2.3)(6,2.45)(3.4,2.45)
\pspolygon(4.6,3.5)(4.6,1.2)(4.8,1.2)(4.8,3.5)
\pspolygon(9.7,1)(16.6,1)(13,5)%BCA
\psline(13,1)(13,5)%IA
\psline(12,3.8)(14.1,3.8)%KM
\psframe(13,3.8)(12.8,4)\psframe(13,1)(12.8,1.2)
\rput(9.4,4){Schéma simplifié}
\psline[linewidth=0.3pt,arrowsize=2pt 3]{<->}(9.7,0.6)(16.6,0.6)\uput[d](13.35,0.6){7,2~m}
\psline[linewidth=0.3pt,arrowsize=2pt 3]{<->}(12,3.6)(13,3.6)
\uput[d](12.5,3.6){2~m}
\uput[u](13,5){A} \uput[dl](9.7,1){B} \uput[dr](16.6,1){C} \uput[ur](13,1){I} \uput[ur](13,3.8){J} \uput[ul](12,3.8){K} \uput[ur](14.1,3.8){M}
\psarc(9.7,1){4mm}{0}{48}\rput(10.58,1.4){48\degres} 
\end{pspicture}
\end{center} 

\medskip

Ce propriétaire mesurant 1,75~m souhaite savoir s'il peut rester debout sans se cogner la tête sur une des poutres représentée par le segment [KM]. I est le milieu du segment [BC]. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la longueur du segment [AI]. On donnera une valeur approchée par défaut au centimètre près. 
\item Calculer la longueur du segment [AJ]. On donnera une valeur approchée par excès au centimètre près. 
\item Le propriétaire peut-il se tenir debout sans se cogner la tête?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2 \hfill }

\medskip
 
Dans la figure ci-dessous, le triangle ABC un triangle isocèle en A tel que AB = 5~cm et $\widehat{\text{ABC}} = 75$\degres{} et le triangle ACE est équilatéral.

\smallskip
 
\emph{La figure ci-dessous n'est pas en vraie grandeur.}

\smallskip 
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(5,5)
\pspolygon(2.7,1.4)(0.8,0.7)(0.5,4.7)(2.7,1.4)(4.3,5)(0.5,4.7)%CBACEA
\uput[ul](0.5,4.7){A} \uput[dl](0.8,0.7){B} \uput[dr](2.7,1.4){C} \uput[dr](4.3,5){E} 
\end{pspicture}
\end{center}
\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Construire la figure en vraie grandeur. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la mesure de l'angle $\widehat{\text{BAC}}$. 
		\item Quelle est la nature du triangle ABE ?
	\end{enumerate} 
\item Calculer la longueur exacte du segment [BE]. Donner la valeur arrondie au millimètre près. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3 \hfill }

\medskip

\emph{La figure ci-dessous n'est pas réalisée en vraie grandeur, elle n'est pas à reproduire}


\medskip
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(9,5)
\pspolygon(0,1)(8.4,1)(7.9,0.2)(2.3,4.5)%GYPT
\uput[ul](0,1){G} \uput[ur](8.4,1){Y} \uput[u](2.3,4.5){P} \uput[d](7.9,0.2){T} \uput[ur](6.9,1){I} 
\end{pspicture}
\end{center}
\medskip
 
Les droites (TP) et (YG) sont sécantes en I.

On donne les longueurs : IP = 5 cm ; IG = 7 cm ; IY = 1,4 cm ; YT = 0,8 cm et TI = 1 cm.

\medskip
  
\begin{enumerate}
\item Montrer que les droites (PG) et (YT) sont parallèles. 
\item Calculer le périmètre du triangle IGP. 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Probl\`eme} \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\emph{En physique, la tension \emph{U} aux bornes d'une \og résistance \fg{} est proportionnelle à l'intensité \emph{I} du courant qui la traverse, c'est-à-dire : $\emph{U} = \emph{R} \, \times \,\emph{I}$, où \emph{R} (valeur de la résistance) est le coefficient de proportionnalité.}
 
\emph{On rappelle que l'unité d'intensité est l'ampère et que l'unité de tension est le volt.}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
L'intensité I (en ampères) &0,02 &0,03 &0,04 &0,08\\ \hline
Tension U (en volts) &3 &4,5 &6 &12\\ \hline
\end{tabularx} 

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que ce tableau est un tableau de proportionnalité. 
		\item Quel est le coefficient de proportionnalité ? 
		\item Calculer la tension U si l'intensité I vaut 0,07 ampère.
		
\smallskip
		 
On nomme $f$ la fonction qui donne la tension U en fonction de l'intensité I.

\smallskip
	\end{enumerate} 
\item Préciser la nature de la fonction $f$ et donner l'expression algébrique de $f(\text{I})$. 
\item Dans le repère en annexe, tracer la représentation graphique de la fonction $f$. 
\item Lire graphiquement l'intensité quand U = 10~volts (donner une valeur approchée avec la précision permise par le graphique).
 
Déterminer par un calcul la valeur exacte de l'intensité quand U = 10 volts.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip

\emph{En physique, la puissance \emph{P} de la \og résistance \fg{} est le produit de la tension \text{U} à ses bornes et de l'intensité \text{I} qui la traverse, c'est à dire $\emph{P} = \emph{U} \,\times$\, \emph{I}.\\
 On rappelle que l'unité de puissance est le watt.}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item En utilisant l'expression obtenue à la question 3 de la partie A, justifier que : 
\[
\text{P} = 150 \times \text{I}^2\]
 
On nomme $g$ la fonction qui donne la puissance P en fonction de l'intensité I.
\smallskip

\item Calculer l'image de 7,5 par la fonction $g$.

\smallskip
 
En annexe, on donne la courbe représentative de la fonction $g$.
 \item Lire graphiquement la puissance P quand I = 5 ampères (on fera apparaître sur le graphique les traits de construction ayant permis la lecture). 
\item Lire graphiquement un antécédent de \np{2500} par la fonction $g$ (on fera apparaître sur le graphique les traits de construction ayant permis la lecture). 
\item La puissance P est-elle proportionnelle à l'intensité I ? Justifier la réponse. 
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}

\textbf{\large ANNEXE}

\vspace{1cm}

\textbf{Partie A : représentation de la fonction }\boldmath $f$ \unboldmath

\vspace{1cm}

\psset{xunit=110cm,yunit=0.275cm}
\begin{pspicture}(-0.002,-1)(0.102,17)
\multido{\n=0.0000+0.0025}{42}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,17)}
\multido{\n=0+1}{18}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0.000,\n)(0.102,\n)}\uput[u](0.102,0){I}
\psaxes[linewidth=1.2pt,Dx=0.01,comma=true,Ox=0,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(0.102,17)
\psaxes[linewidth=1.2pt,Dx=0.01,comma=true,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(0.102,17)\uput[r](0,17){U}\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture}

\vspace{3cm}


\textbf{Partie B : représentation de la fonction }\boldmath $g$ \unboldmath

\vspace{1cm}

\psset{xunit=1.2cm,yunit=0.0006cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-500)(10.25,9000)
\multido{\n=0+0.25}{41}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,9000)}
\multido{\n=0+500}{19}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(10,\n)}
\psaxes[linewidth=1.2pt,Dy=10000]{->}(0,0)(10.25,9000)
\psaxes[linewidth=1.2pt,Dy=10000](0,0)(10.25,9000)
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{7.5}{x dup mul 150 mul}
\uput[u](10.25,0){I} \uput[r](0,9000){P}
\multido{\n=0+1000}{10}{\uput[l](0,\n){\np{\n}}}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}