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% Sujet aimablement fourni par Arnaud Crouzet
% Tapuscrit : Denis Vergès
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{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
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{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
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\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
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\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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pdfsubject = {Brevet des collèges},
pdftitle = {Asie  juin 2012},
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet  des collèges }
\lfoot{\small{Asie}}
\rfoot{juin 2012}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Asie  juin 2012~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Activités numériques} \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Exercice 1 \hfill }

\medskip

\parbox{0.46\linewidth}{\begin{tabularx}{0.95\linewidth}{|c|>{\centering \arraybackslash}X||c|>{\centering \arraybackslash}X|}\hline
Lettre 	&Fréquence	&Lettre & Fréquence\\ \hline
A		&8,40\,\%	&N		&7,13\,\%\\ \hline
B		&1,06\,\%	&O		&5,26\,\%\\ \hline
C		&3,03\,\%	&P		&3,01\,\%\\ \hline
D		&4,18\,\%	&Q		&0,99\,\%\\ \hline
E		&17,26\,\%	&R		&6,55\,\%\\ \hline
F		&1,12\,\%	&S		&8,08\,\%\\ \hline
G		&1,27\,\%	&T		&7,07\,\%\\ \hline
H		&0,92\,\%	&U		&5,74\,\%\\ \hline
I		&7,35\,\%	&V		&1,32\,\%\\ \hline
J		&0,31\,\%	&W		&0,04\,\%\\ \hline
K		&0,05\,\%	&X		&0,47\,\%\\ \hline
L		&6,01\,\%	&Y		&0,30\,\%\\ \hline
M		&2,96\,\%	&Z		&0,12\,\%\\ \hline
\end{tabularx}} 
\parbox{0.5\linewidth}{Le tableau ci-contre a été construit en comptant les fréquences des 26 lettres de l'alphabet dans un texte français de \np{100000} lettres composé de textes de Gustave Flaubert, de Jules Verne et de trois articles de l'Encyclopedia Universalis.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Quelles sont les cinq lettres les plus fréquentes ? 
\item Représenter graphiquement la répartition des voyelles et des consonnes. 
\item Si toutes les lettres avaient la même fréquence d'apparition, quelle serait cette fréquence ?
\end{enumerate}}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 (modifié)\hfill }

\medskip

Dans un jeu de société, les jetons sont des  carrés sur lesquels une lettre de l'alphabet est inscrite.
 
Il y a 100 jetons. Le tableau ci-dessous donne le nombre de jetons du jeu pour chacune des voyelles : 

\begin{center}

\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Lettres du jeu	&A	&E	&I	&O	&U	&Y\\ \hline
Effectif		&9	&15	&8	&6	&6	&1\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
On choisit au hasard une lettre de ce jeu. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité d'obtenir la lettre I ? 
\item Quelle est la probabilité d'obtenir une voyelle ? 
\item Quelle est la probabilité d'obtenir une consonne ? 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill }

\medskip

On considère la fonction $f$ définie par : $f(x) = - 5x + 1$ 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer l'image de $- 3$ par $f$. 
\item Calculer l'antécédent de $4$ par $f$. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 4 \hfill }

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chaque question. une seule réponse est exacte. Une réponse correcte rapporte $1$ point.\\ 
L'absence de réponse ou une réponse fausse ne retirera aucun point. Indiquer sur la copie, le numéro de la question et la réponse.} 

\medskip
\renewcommand\arraystretch{1.4}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\No&Question&Réponse A&Réponse B&Réponse C\\ \hline
1&$\sqrt{50}$&$5\sqrt{2}$&$25\sqrt{2}$&$2\sqrt{25}$\\ \hline
2&Pour tous les nombres $x$, on a $(2x - 1)^2 =$&$2x^2 - 1$&$4x^2 - 1$&$4x^2 - 4x + 1$\\ \hline
3&Le pgcd de 91 et de 119 est &1&7&13\\ \hline
\end{tabularx}
\renewcommand\arraystretch{1}
\medskip

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Activités géométriques} \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Exercice 1 \hfill }

\medskip 
 
Sur le schéma ci-dessous, la terrasse est représentée par le segment [DN] elle est horizontale et mesure 4~mètres de longueur. Elle est construite au-dessus d'un terrain en pente qui est représenté par le segment [DP] de longueur 4,20~m. Pour cela, il a fallu construire un mur vertical représenté par le segment [NP]. 

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(10,6)
\pspolygon(0,1.5)(0,4)(3.4,5.7)(5,4)(5,1.5)(9.2,1.5)(9.2,0)(5,1.5)
\psline(3.4,1.5)(3.4,3.2)(4.2,3.2)(4.2,1.5)
\psframe(0.9,2.)(1.8,3.2)
\uput[ur](5,1.5){D}\uput[u](9.2,1.5){N}\uput[r](9.2,0){P}
\uput[u](7.1,1.5){Terrasse}\rput{-19.65}(7.1,0.5){Terrain en pente}\uput[r](9.2,0.75){Mur}
\end{pspicture}
\end{center}
 
\begin{enumerate}
\item Quelle est la hauteur du mur ? Justifier. Donner l'arrondi au cm près. 
\item Calculer l'angle $\widehat{\text{NDP}}$ compris entre la terrasse et le terrain en pente. (Donner l'arrondi au degré près)
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill }

\medskip 
 
Soit ADU un triangle représenté ci-dessous, F un point de [AD], C un point de [AU]. 

L'unité de longueur est le centimètre.
 
On donne  AF = 3 ; FD = 1,5 ; AC = 2 ; AU = 3

\medskip
 
\emph{Sur la figure, les dimensions ne sont pas respectées.}

\medskip
 
\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(5.5,5.5)
%\psgrid
\pspolygon(1,0)(4.8,1.3)(4.3,5.2)%AUD
\psline(3.4,0.82)(3.2,3.43)%CF
\uput[l](1,0){A} \uput[dr](4.8,1.3){U} \uput[u](4.3,5.2){D} 
\uput[dr](3.4,0.82){C} \uput[ul](3.2,3.4){F} 
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Démontrer que les droites (FC) et (DU) sont parallèles.
\item Déterminer le rapport d'agrandissement permettant de passer du triangle AFC au triangle ADU.
\item La hauteur issue de C dans le triangle ACF mesure 1,6~cm. Calculer l'aire du triangle ADU.

\end{enumerate}


\newpage

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points}

\medskip 

\textsc{BIENVENUE DANS LE PARC \og D'ANI-MATH-ION \fg}
 
\medskip
 
\parbox{0.46\linewidth}{Le parc vous accueille dans  une entrée-billetterie : 
c'est un pavé droit à base carrée surmonté d'une coupole semi-sphérique, représenté ci-contre.

\medskip

\emph{Les deux parties de ce problème sont indépendantes et peuvent être traitées séparément.}}\hfill
\parbox{0.54\linewidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(8,7)
\def\coin{\pspolygon(0,0)(0.3,0)(0.47,0.2)(0.17,0.2)}
\psframe(1,1)(5.8,2.6)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](1,2.6)(5.8,2.6)(7.9,4.9)(3.2,4.9)
\psline(5.8,1)(7.9,3.2)(7.9,4.9)(5.8,2.6)
\rput{13}(4.5,3.78){\psellipticarc[fillstyle=solid,fillcolor=white](0,0)(2.66,1.03){180}{0}}
\rput{13}(4.5,3.78){\psellipticarc[fillstyle=solid,fillcolor=white,linestyle=dashed](0,0)(2.66,1.03){0}{180}}
\rput{13}(4.5,3.8){\psarc(0,0){2.64}{0}{180}}
\psline[linestyle=dashed](1,1)(3.2,3.2)(3.2,4.8)
\psline[linestyle=dashed](3.2,3.2)(7.9,3.2)
\psline[arrowsize=3pt 2]{<->}(0.8,1)(0.8,2.6)\uput[l](0.8,1.8){3,5~m}
\psline[arrowsize=3pt 2]{<->}(1,0.6)(5.8,0.6)\uput[d](3.4,0.6){7~m}
\rput(5.5,1){\coin}\rput(1,1){\coin}\rput(3,3){\coin}\rput(7.4,3){\coin}
\end{pspicture}}

\medskip

\textbf{Partie 1}

\medskip
 
Ouvert depuis quelques années, abîmé par les intempéries, ce bâtiment doit être repeint.
 
Toutes les surfaces extérieures sont repeintes, c'est-à-dire :

\setlength\parindent{6mm} 
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] les 4 faces latérales du pavé droit ;
\item[$\bullet~~$] la partie plane du toit (parties grisées sur la figure) ;
\item[$\bullet~~$] la coupole semi-sphérique.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm} 
 
\begin{enumerate}
\item Sachant que les ouvertures (portes et fenêtres, non représentées sur la figure) occupent une surface de 18 m$^2$, montrer que l'aire totale des surfaces à peindre est d'environ 168 m$^2$. 

\medskip

\emph{On rappelle que l'aire $A$ d'une sphère de rayon $R$ est donnée par la formule :} $A = 4\pi R^2$ 

\medskip

\item On trouvera en annexe  la facture correspondant aux travaux de peinture.
 
Compléter cette facture à l'aide des informations fournies ci-dessous :
 
\setlength\parindent{6mm} 
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] Un pot de 10~L de peinture permet de couvrir une surface de 40~m$^2 $ ;
\item[$\bullet~~$] Le coût d'un pot de 10~L de peinture est de 400~\euro{} ;
\item[$\bullet~~$] Un ouvrier peint une surface de 42 m$^2$ à l'heure.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie 2}

\medskip

À l'entrée du parc d'ani-math-ion figurent les informations suivantes :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{8.5cm}|X|}\hline 
\multicolumn{1}{|c|}{\textbf{Tarifs}} &\multicolumn{1}{|c|}{\textbf{Horaires}}\\ \hline
Entrée adulte: 12~\euro& Ouvert de 9~h à 18~h\\ \hline
Entrée enfant : 7~\euro& Dernières entrées à 17~h\\ \hline
Forfait famille (sur présentation du livret de famille) : 35~\euro&  Fermé le lundi\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Le forfait famille
	\begin{enumerate}
		\item Est-il intéressant pour un couple et leur enfant de 8 ans de prendre le forfait famille ? 
		\item À partir de quel nombre d'enfants, un couple a-t-il intérêt à choisir le forfait famille ?
	\end{enumerate} 
\item Au cours d'une journée, 89 forfaits famille ont été vendus pour 510 personnes. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la recette correspondante. 
		\item Quel est le prix moyen par personne ? 
	\end{enumerate}
\item Au cours de cette même journée, 380~personnes n'ont pas utilisé le forfait famille pour une recette correspondante de \np{3660}~\euro. Déterminer le nombre d'entrées adultes et le nombre d'entrées enfants vendues lors de cette journée. 
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
{\large \textbf{ANNEXE}}

\vspace{1cm}
 
\textbf{À rendre avec votre copie}

\vspace{1cm}
 
\begin{flushleft}\textbf{Partie 1 : Question 2}

\bigskip

Compléter la facture suivante :
 
\bigskip
 
\end{flushleft}
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
\textbf{Quantité}& \textbf{Désignation} &\textbf{Prix unitaire} &\textbf{Prix total}\\ \hline 
5& pots d'antirouille &500,00~\euro&\np{2500,00}~\euro\\ \hline 
\dotfill&pots de peinture&400,00~\euro &\dotfill\\ \hline
\dotfill&\small heures (main d'{\oe}uvre)&35,00~\euro &\dotfill\\ \hline
\multicolumn{3}{|l|}{Total HT (co\^ut hors taxe)}&\dotfill\\ \hline  
\multicolumn{3}{|l|}{Montant de la TVA à 19,6\,\%}&\dotfill\\ \hline 
\multicolumn{3}{|l|}{TOTAL TTC (coût toutes taxes comprises)}&\dotfill\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center} 
\end{document}