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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges }
\lfoot{\small{juin 2003}}
\rfoot{\small{Bordeaux}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet des collèges   juin 2003~\decofourright\\
Bordeaux, Caen, Limoges, Nantes, Orléans-Tours, Poitiers et 
Rennes}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Activités numériques \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1 }

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Écrire sous forme $a\sqrt{5}$ avec $a$ entier :

\[\text{A} = 3\sqrt{20} + \sqrt{45} \qquad \qquad	\text{B} =  \sqrt{180} - 
3 \sqrt{5}.\]

\item  En utilisant les résultats de la question 1, démontrer 
que A~$\times$ B et $\dfrac{\text{A}}{\text{B}}$ sont des nombres entiers.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Effectuer le calcul ci-dessous et donner le résultat sous forme de
 fraction irréductible :

\[1 - \left(\dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4} \times \dfrac{4}{5}\right)\]

\item  Un propriétaire terrien a vendu le quart de sa propriété en 2001 et
 les quatre cinquièmes du \textbf{reste} en 2002.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle fraction de la propriété a été vendue en 2002 ?
		\item Quelle fraction de la propriété reste invendue à l'issue des deux années ?
		\item Quelle était la superficie de la propriété sachant que la partie invendue
 au bout des deux années représente six hectares ?
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3 }

\medskip

On considère l'expression 	E = $(2x + 1)^2 - 4$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Développer et réduire l'expression E.
\item  Factoriser l'expression E sous forme d'un produit de facteurs du
 premier degré.
\item  Résoudre l'équation : $(2x + 3)(2x - 1) = 0$.
\item  Calculer E lorsque $x$ vaut $- \dfrac{3}{2}$ , puis 
lorsque $x$ vaut $0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 4 }

\medskip

Un commerçant augmente les prix de tous ses articles de 8\:\%. Un objet coûte $x$ euros.
 Après avoir subi cette augmentation, il coûte $y$ euros.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Exprimer $y$ en fonction de $x$.
\item  Un lecteur de DVD coûte, avant augmentation, 329 euros.
 Combien coûtera-t-il après ?
\item  Un téléviseur coûte, après augmentation, 540 euros. Combien coûtait-il avant ?
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{Activités géométriques \hfill 12 points} 

\bigskip

\textbf{Exercice 1 }

\medskip

\textbf{Pour cet exercice, utiliser la feuille annexe, page 4/5, que l'on rendra avec la copie.}

Sur un quadrillage constitué de carrés, on a placé une droite (d), trois points (nommés A, B et M),
 une figure qui est en forme de fanion et est numérotée 1.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Construire l'image de la figure 1 par la symétrie d'axe (d) ; numéroter 2 la
 figure obtenue.
		\item Construire l'image de la figure 1 par la rotation de centre M et 
d'angle 90\degres dans le sens des aiguilles d'une montre ; numéroter 3 la figure obtenue.
		\item Construire l'image de la figure 1 par la symétrie de centre A ; numéroter 4 la
 figure obtenue.
		\item Construire l'image de la figure 4 par la symétrie de centre B ; numéroter 5 la
 figure obtenue.
	\end{enumerate}
\item	Par quelle transformation géométrique peut-on passer directement  de la figure 1 à la figure 5 ?

Préciser l'élément caractéristique de cette transformation.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2 }

\medskip

\textbf{Pour cet exercice, utiliser la feuille annexe, page 5/5, que l'on rendra
 avec la copie.}

Dans un repère orthonormé (O , I , J) on considère les points :

\[\text{A}(-2~;~1) \qquad	\text{B}(-1 ~;~3)\qquad 	\text{C}(5~;~0).\]

\begin{enumerate}
\item Placer ces points dans le repère (O, I , J ) représenté sur la feuille annexe.
\item Démontrer que la valeur exacte de AB est $\sqrt{5}$.
\item On admet dans la suite de l'exercice que :	
AC = $ 
5\sqrt{2}$	et	$\text{BC} = 3\sqrt{5}$.

Démontrer que le triangle ABC est rectangle en B.
\item On appelle K le milieu de [AC] . Calculer les coordonnées de K.
\item On appelle D le point tel que le quadrilatère ABCD est un rectangle. Placer D
 dans le repère, puis calculer ses coordonnées.
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{Questions enchaînées \hfill 12 points}

\medskip

\parbox[l]{0.45\textwidth}{On donne :

-	un cercle (C) de centre O et de rayon 6 cm ;

-	un diamètre [AB] de ce cercle (C) ;

-	le point N du segment [OB] tel que : BN = 4 cm ;

-	le point M situé à 3,2 cm de B et tel que le
triangle BMN est rectangle en M.} 
\hfill\parbox[l]{0.45\textwidth}{\psset{unit=0.5cm}\begin{pspicture}(0,-4.5)(8,4)
\pscircle(4,0){4} \uput[d](5.333,0){N}
\psline(4,-0.1)(4,0.1) \psline(5.333,-0.1)(5.333,0.1) 
\uput[l](0,0){A}   \uput[d](4,0){O} \uput[u](6.4,1.5){M} 
\uput[r](8,0){B} \uput[d](7.5,-3){(C)}
\psline(5.333,0)(6.3,1.25)(8,0)
\psline(0,0)(8,0)
\rput(3.6,-4.3){Cette figure n'est pas en vraie grandeur}
\end{pspicture}}

\vspace{0,5cm}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer la longueur du segment [MN].
		\item  Calculer la mesure de l'angle $\widehat{\text{MBN}}$ (arrondir à un degré près).

La droite (BM) recoupe le cercle (C) en P.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que le triangle BPA est rectangle en P.
		\item  En déduire que les droites (PA) et (MN) sont parallèles.
	\end{enumerate}
\item	On sait maintenant que le triangle BPA est un agrandissement du
 triangle BMN.
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer le coefficient d'agrandissement.
		\item  Calculer BP.
		\item  Calculer l'aire du triangle BMN et en déduire l'aire du triangle BPA.
	\end{enumerate}
\item	Soit E le milieu de [BN]. Démontrer que les droites (PO) et (ME) sont parallèles.
\item	La droite (PO) recoupe le cercle (C) en K et la droite (PN) coupe la droite (BK) en I.

On sait que : lorsqu'un point appartient à une médiane d'un triangle et est situé aux deux tiers de cette médiane en partant du sommet, alors ce point est le centre de gravité du triangle.

Écrire le rapport $\dfrac{\text{BN}}{\text{BO}}$ sous forme d'une fraction irréductible,
 puis démontrer que I est le milieu du segment [BK].
\end{enumerate}

\footnote{Brevet Académie de Bordeaux juin 2003}

\newpage

\begin{center} \textbf{Annexe (à rendre avec la copie)}

\vspace{2cm}

\textbf{Activités géométriques : exercice 1}

\vspace{1cm}

\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(24,16)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,linestyle=dotted]
\psline[linewidth=2.5pt](8.8,7)(9.2,7) 
\psline[linewidth=2.5pt](9,6.8)(9,7.2) 
\psline[linewidth=2.5pt](7.8,9)(8.2,9)
\psline[linewidth=2.5pt](8,8.8)(8,9.2)
\psline[linewidth=2.5pt](13.8,7)(14.2,7) 
\psline[linewidth=2.5pt](14,6.8)(14,7.2)
\psline[linewidth=2.5pt](8.8,7)(9.2,7) 
\psline[linewidth=2.5pt](14,7)(14,11)(17,10)(14,9)
\psline[linewidth=2.5pt](8.8,7)(9.2,7) 
\psline[linewidth=2.5pt](11,0)(24,13)
\rput(23.5,11.5){(d)}
\rput(14.7,10){\textbf{\No 1}}
\uput[ul](9,7){A} \uput[ul](8,9){B} \uput[dl](14,7){M}  
\end{pspicture}

\end{center}

\newpage

\begin{center} \textbf{Annexe (à rendre avec la copie)}

\vspace{2cm}

\textbf{Activités géométriques : exercice 2}

\vspace{1cm}

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-5,-5)(5,5)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,linestyle=dotted](0,0)(-5,-5)(5,5)
\psline[linewidth=2.5pt]{->}(-5,0)(5,0) 
\psline[linewidth=2.5pt]{->}(0,-5)(0,5) 
\uput[dl](0,0){O} \uput[dr](1,0){I} \uput[ul](0,1){J} 
\end{pspicture}
\end{center}
%%%%%%%%   Fin Bordeaux juin 2003
\end{document}