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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\rfoot{\small{Groupement Bordeaux}}
\lfoot{\small{juin 2002}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center} 
{\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet - Bordeaux  juin 2002~\decofourright}}} 
 \end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\Large{Activités numériques}\hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire l'expression  P =$ (x + 12) (x + 2)$. 
\item Factoriser l'expression : Q = $(x + 7)^2 - 25$. 
\item ABC est un triangle rectangle en A ; $x$ désigne un
 nombre positif ; BC = $x + 7$ ;  AB = 5.

Faire un schéma et montrer que : AC$^2 = x^2 + 14x + 24$.  
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2} 

\medskip
 
Résoudre chacune des deux équations 

\[3(5 + 3x) - (x - 3) = 0 \qquad ; \qquad 3(5 + 3x) (x - 3) = 0.\] 

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Sur la couverture d'un livre de géométrie sont dessinées des figures ;
 celles-ci sont des triangles ou des rectangles qui n'ont aucun sommet commun.

\begin{enumerate}
\item Combien de sommets compterait-on s'il y avait 4
 triangles  et 6 rectangles, soit 10 figures en tout ? 
\item En fait, 18 figures sont dessinées et on peut compter
 65 sommets en tout. Combien y a t-il de triangles et de rectangles sur cette couverture de livre ? 
\end{enumerate} 

\bigskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

En indiquant les calculs intermédiaires, écrire A sous la forme
 d'un nombre entier et B sous la forme $a\sqrt{3}$ (avec $a$ entier).

\[\text{A} = \left(3\sqrt{2} - 1\right) \left(\sqrt{2} + 1\right) - 
2\sqrt{2}\]

\[\text{B} = 5\sqrt{27} + \sqrt{75}.\]

\vspace{0,5cm}

\textbf{\Large{Activités géométriques}\hfill 11 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Pour traiter cet exercice, utiliser du papier millimétré.

Le plan est muni d'un repère orthonormal (0, I, J). L'unité de longueur est le centimètre.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item   
	\begin{enumerate}
		\item Placer les points : A$(3 ~;~ -5)$ et B$(-2~ ;~ 5)$. 
		\item Donner les coordonnées du vecteur $\vect{\text{AB}}$.
 (Aucune justification n'est demandée.) 
		\item Calculer la valeur exacte de la longueur AB.  
	\end{enumerate}
\item   
	\begin{enumerate} 
		\item Placer le point C$(-2~ ;~ -4)$ et le point D, image
 du point C par la translation de vecteur $\vect{\text{AB}}$. 
		\item Quelles sont les coordonnées du point D ? (aucune justification n'est demandée). 
		\item Quelle est la nature du quadrilatère ABDC et quelles sont les  coordonnées du point M intersection des droites (AD) et (BC) ? (Justifier  ces deux réponses). 
  	\end{enumerate}   
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Dans une boîte cubique dont l'arête mesure 7 cm, on place une boule de 7~cm de diamètre (voir le schéma).
 
\bigskip

\parbox[c]{0.45\textwidth}{
\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(6,5)
\pscircle[fillstyle=gradient,gradangle=90,gradbegin=black,gradmidpoint=0.5,
gradend=white](2.9,2.5){1.9}
\psframe(0,0)(3.8,3.8)
\psline(3.8,0)(5.9,1.2)(5.9,5)(2.1,5)(0,3.8)
\psline(3.8,3.8)(5.9,5)
\psline[linestyle=dashed](2.1,5)(2.1,4.2)
\psline[linestyle=dashed](0,0)(1.7,0.95)
\psline[linestyle=dashed](4.3,1.2)(5.8,1.2)

\end{pspicture}} \hfill \parbox[c]{0.45\textwidth}{
Le volume de la boule correspond à un certain
pourcentage du  volume de la boîte. On appelle ce 
pourcentage « taux de remplissage de la boîte ».

\medskip

Calculer ce taux de remplissage de la boîte. Arrondir ce pourcentage à l'entier le plus proche.}
 
\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

[AC] et [EF] sont deux segments sécants en B.
On connaît 	AB = 6 \text{cm} et	BC =  10 \text{cm} ; EB = 4,8 \text{cm}
 et	BF =  8 \text{cm}.

\begin{enumerate} 
\item Faire un dessin en vraie grandeur. 
\item Les droites (AE) et (FC) sont-elles parallèles ?
 Justifier.
\item Les droites (AF) et (EC) sont-elles parallèles ?
 Justifier.
 \end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\Large{Questions enchaînées}\hfill 12 points}

\bigskip

Construire un triangle MNP tel que

\begin{center} PN = 13 \text{cm} \qquad ; \qquad PM = 5 \text{cm} \qquad ; \qquad MN = 12 \text{cm}. \end{center}
  
\bigskip

\textbf{Partie A }

\medskip

\begin{enumerate}
\item Prouver que ce triangle MNP est rectangle en M. 
\item Calculer son périmètre et son aire. 
\item Tracer le cercle circonscrit au triangle MNP ;
 préciser la position de son centre O et la mesure de  son rayon. 
\item Calculer la tangente de l'angle $\widehat{\text{PNM}}$ ; en déduire une mesure approchée de cet angle à $1\up{o}$ près.
\end{enumerate}
  
\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

$A$ est un point quelconque du côté [PM].

On pose : $A$M = $x.~ (x$ est donc un nombre compris entre 0 et 5).

La parallèle à (PN) passant par $A$ coupe le segment [MN] en $B$.

\begin{enumerate} 
\item En précisant la propriété utilisée, exprimer M$B$ 
et $AB$ en fonction de $x$. 
\item Exprimer, en fonction de $x$, le périmètre du triangle
 $A$M$B$. 
\item Résoudre l'équation : $ x + \dfrac{12x}{5} + 
\dfrac{13x}{5} = 18$. 
\item 
	  \begin{enumerate}
	  	 \item Faire une nouvelle figure en plaçant le point $A$ de 
façon que le périmètre du triangle $A$M$B$ soit 18 cm.
		\item Quelle est alors l'aire du triangle $A$M$B$ ? 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\end{document}