\documentclass[10pt]{article} 
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%Tapuscrit Denis Vergès
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{Groupement Bordeaux}} 
\rfoot{\small{juin 2004}} 
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty} 

\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Diplôme national du brevet juin 2004~\decofourright\\ 
Bordeaux}} \end{center} 

\vspace{0,5cm} 

Calculatrice autorisée \hfill 2 heures 

\vspace{0,25cm} 

\begin{center} 

\textbf{Il sera tenu compte de la qualité de la rédaction et de la 
présentation (4 points)} 

\end{center} 

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill 12 points} 

\bigskip 

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Calculer les expressions suivantes. On donnera le résultat sous la forme 
d'un nombre entier.

Les calculs intermédiaires figureront sur la copie. 

A = $\dfrac{ 96\times 10^{-4} \times 5\times10^{-2}}{3\times 10^{-1} 
\times 2 \times 10^{-6}}$ 

B = $11 : \left(\dfrac{2}{3} - \dfrac{5}{2}\right)$ 

C = $\left(2\sqrt{3} - 3\right)\left(2\sqrt{3} +3\right)$. 

\bigskip 

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On considère l'expression $D = (x - 2 )^2 - 2(x - 2)$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Factoriser $D$. 
\item Résoudre l'équation $(x - 2 ) (x -4 ) = 0$. 
\item Développer et réduire $D$. 
\item Calculer $D$ pour $x =1$. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm} 

\textbf{Exercice 3} 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre le système suivant : $\left\{\begin{array}{l c r} 
5x + 2y &=&12\\ 
x+2y&=&8\\ 
\end{array}\right.$ 

\item Montrer que le couple (1 ; 3,5) est solution du système 
suivant : 

\[\left\{\begin{array}{l c r} 
10x + 4y &=& 24\\ 
3x+6y&=&24\\ 
\end{array}\right.\] 

\item Un artisan fabrique des perles noires et des perles dorées. Un sac 
contenant 10 perles noires et 4 perles dorées est vendu 24 euros. Un 
sac contenant 3 perles noires et 6 perles dorées est vendu également 
24 euros. Combien serait vendu un sac contenant 4 perles noires et 3 
perles dorées ? 
\end{enumerate}

\bigskip 

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points} 

\bigskip 

\textbf{Exercice 1} 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire le triangle EFG tel que EF = 12 cm, EG = 5 cm et 
FG = 13 cm. 
\item Prouver que le triangle EFG est rectangle en E. 

\item Calculer la mesure de l'angle $\widehat{\text{F}}$. Le résultat sera arrondi 
au degré près. 
\item Placer le point B sur le segment [EF] tel que EB = 7 cm. 

Tracer la droite passant par B et parallèle au côté [FG]. Elle coupe 
le côté [EG] en $M$. 
\item Calculer la valeur exacte de B$M$, puis en donner l'arrondi 
au mm près. 
\end{enumerate}

\bigskip  

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On considère la pyramide régulière OABCD. La base ABCD est un carré. 
H est le point d'intersection des diagonales [BD] et [AC]. On sait que 
la hauteur [OH] mesure 4 cm. 

\begin{center} \begin{pspicture}(7,5) 
\uput[dl](0,0){A} \uput[dr](4.3,0){B} 
\uput[ur](6.5,1.3){C} \uput[ul](2.2,1.2){D} 
\uput[d](3.3,0.6){H} \uput[u](3.3,4.8){O} 
\psline(0,0)(4.3,0)(6.5,1.3)(3.3,4.8)(4.3,0)%ABCOB 
\psline(0,0)(3.3,4.8)%AO 
\psline[linestyle=dashed](6.5,1.3)(2.2,1.2)%CD 
\psline[linestyle=dashed](0,0)(6.5,1.3)%AC 
\psline[linestyle=dashed](0,0)(2.2,1.2)(3.3,4.8)(3.3,0.6)%ADOH 
\psline[linestyle=dashed](4.3,0)(2.2,1.2)%BD 
\psline[linestyle=dashed](3.2,1)(2.7,0.9)(2.7,0.55) 
\end{pspicture} 
\end{center} 

\begin{enumerate}
\item Sachant que le volume de la pyramide est égal à 24 cm$^3$, montrer 
que l'aire de la base est égale à 18 cm$^2$. 
\item En déduire que le côté [AB] du carré ABCD mesure $3\sqrt{2}$ cm. 
\item Calculer la longueur de la diagonale [AC] du carré ABCD. 
\item Calculer l'aire du triangle AOC.
\end{enumerate} 

\bigskip 

\textbf{Exercice 3}

\medskip

On considère un repère orthonormé (O, I, J). L'unité choisie est le 
centimètre. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer les points A(2 ; 2), B$(-4~;~ 5)$ et C$(-4 ~;~ -2)$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que AC est égale à $\sqrt{52}$ cm. 
		\item Calculer BC. 
		\item Le triangle ABC est-il isocèle en C ? Justifier. 
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Construire le milieu K du segment [AB]. 
		\item La droite (CK) est-elle la médiatrice du segment [AB] ? Justifier. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm} 

\textbf{PROBLÈME \hfill 12 points}

\bigskip

On considère un trapèze ABCE rectangle en B et C. On donne AB = 5 cm et BC = 6 cm. La figure ci-dessous n'est pas réalisée en vraie grandeur.

Le point D se trouve sur le segment [EC] de telle sorte que ABCD soit 
un rectangle. 

\begin{center}
\begin{pspicture}(6.5,5) 
\pspolygon(2.2,4.2)(5.7,4.2)(5.7,0)(0,0)%ABCE 
\psline[linestyle=dashed](2.2,4.2)(2.2,0)%AD 
\psline(2.2,0.4)(2.6,0.4)(2.6,0) 
\psline(5.3,0)(5.3,0.4)(5.7,0.4) 
\psline(5.3,4.2)(5.3,3.8)(5.7,3.8) 
\uput[ul](2.2,4.2){A} \uput[ur](5.7,4.2){B} 
\uput[dr](5.7,0){C} \uput[dl](0,0){E} 
\uput[d](2.2,0){D} 
\uput[u](3.95,4.2){5 cm} 
\rput{90}(5.9,2.1){6 cm} 
\end{pspicture}
\end{center} 

\bigskip 

\textbf{Partie A}

\medskip

\textbf{Dans cette partie, ED = 3 cm.} 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Faire une figure aux dimensions exactes. 
\item Calculer l'aire du rectangle ABCD. 
\item Calculer l'aire du triangle rectangle ADE. 
\item Montrer que l'aire du trapèze ABCE est égale à 39 
cm$^2$. 
\end{enumerate}

\bigskip 

\textbf{Partie B} 

\medskip

\textbf{Dans cette partie, on ne connaît pas la longueur ED. 
On note ED = } \boldmath $x$ \unboldmath \textbf{(en cm). On 
rappelle que AB = 5 cm et BC = 6 cm.} 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que l'aire du trapèze ABCE, en cm$^2$, peut s'écrire $3x + 30$. 
\item Sur le repère en annexe, représenter la fonction affine $x \longmapsto 3x + 30$. 
\item Par lecture graphique, trouver la valeur de $x$ pour laquelle l'aire 
du trapèze ABCE est égale à 36 cm$^2$. Faire apparaître les traits justificatifs en pointillés 
sur le graphique. 
\item Retrouver ce résultat en résolvant une équation.
\end{enumerate}
 
\newpage

\begin{center}
 \textbf{Annexe au problème, à rendre avec la copie}
  
\end{center} 

\vspace{2cm}

\psset{xunit=1.46cm,yunit=0.26cm} \begin{pspicture}(8,72) 
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(8,0) 
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(0,72) 
\multido{\n=0+0.5}{17}{\psline(\n,0)(\n,72)} 
\multido{\n=0+3}{25}{\psline(0,\n)(8,\n)} 
\uput[d](0.5,0){0,5} \uput[d](1,0){1} \uput[d](7.75,0){$x$} 
\uput[l](0,3){3} \uput[l](0,71.5){$y$} 
\end{pspicture}
\end{document}