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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\rfoot{\small{juin 2006}}
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\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Bordeaux juin 2006~\decofourright\\}}
 \end{center}
%\begin{pspicture}(0.1,0.1) 
%\rput{45}(5,-8){\bigghv\lightgray BREVET DES COLLÈGES}
%\end{pspicture}
\vspace{0,5cm}

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill 12 points}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Toutes les étapes de calculs devront figurer sur la copie.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Calculer A et donner le résultat sous la forme d'une fraction irréductible.

\[\text{A} =  \dfrac{1}{9} - \dfrac{15}{9} \times \dfrac{1}{6}\]

\item Écrire B sous la forme $a\sqrt{3}$ où $a$ est un entier.

\[\text{B} =  \sqrt{48} - 3\sqrt{12}  + 7\sqrt{3}\]

\item Donner les écritures décimale et scientifique de C :

\[\text{C} = \dfrac{ 3\times 10^2 \times 1,2\times \left(10^{-3}\right)^4}{0,2 \times10^{-7}}\]

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On considère l'expression : $E = (3x +1)^2 - 4$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $E$.
\item Factoriser $E$.
\item Résoudre l'équation $(3x + 3)(3x - 1) =  0$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3}

Le tableau ci-dessous donne la répartition des notes obtenues à un contrôle de mathématiques par les 27 élèves d'une classe de troisième.

\[
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\text{Notes}	&6	&8	&10	&13	&14 &17\\ \hline
\text{Effectifs}&3	&5	&6	&7	&5	&1\\ \hline
\end{tabularx}\]

\begin{enumerate}
\item Calculer la note moyenne de la classe à  ce contrôle. Arrondir le résultat à l'unité.
\item Calculer le pourcentage d'élèves ayant eu une note supérieure ou égale à 10. Arrondir le résultat au dixième.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

On considère un repère orthonormé (O, I, J). L'unité est le centimètre.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans ce repère, placer les points :
\[\text{A}(1~;~2) \qquad  \text{B}(-2~;~1) \qquad \text{C}(-3~;~-2)\]
\item Calculer les distances AB et BC.
\item Calculer les coordonnées du vecteur $\vect{\text{BC}}$.
\item Construire le point D, image du point A par la translation qui transforme B en C.
\item Démontrer que le quadrilatère ABCD est un losange.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\parbox{0.55\textwidth}{
\textbf{Dans cet exercice, les réponses seront données sans justification.}

ABCDEF est un hexagone régulier de centre O.
\begin{enumerate}
\item Quel est le symétrique du triangle OCD par rapport au point O ?
\item Quel est le symétrique du triangle EFO par rapport à la droite (EO) ?
\item Quelle est l'image du triangle OCD par la rotation de centre O, d'angle $60 \degres$ dans le sens des aiguilles d'une montre ?
\end{enumerate}} \hfill 
\parbox{0.4\textwidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(-2,-2)(2,2)
\SpecialCoor
\uput[d](0;0){O}  \uput[ul](2;120){A}  \uput[ur](2;60){B}  \uput[r](2;0){C}  
\uput[dr](2;-60){D}  \uput[dl](2;-120){E}  \uput[l](2;180){F} 
\pspolygon(2;0)(2;60)(2;120)(2;180)(2;-120)(2;-60)%CBAFED
\psline[linewidth=2pt,linestyle=dotted](2;120)(2;-60)
\psline[linewidth=2pt,linestyle=dotted](2;60)(2;-120)
\psline[linewidth=2pt,linestyle=dotted](2;0)(2;180)
\end{pspicture}}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\parbox{0.5\textwidth}{\textbf{La figure ci-contre n'est pas en vraie grandeur.}

\textbf{On ne demande pas de la reproduire.}

Les points A, C et E sont alignés, ainsi que les points B, C et D.

Le triangle ABC est rectangle en B.
 
Les longueurs suivantes sont exprimées en centimètres.

BC = 12 ; CD = 9,6 ; DE = 4 ; CE = 10,4.} \hfill
\parbox{0.45\textwidth}{\psset{unit=0.65cm}\begin{pspicture}(7.2,3.5)
\uput[ul](0,3.5){A} \uput[l](0,1.3){B} \uput[ur](4.5,1.3){C} 
\uput[ur](7.3,1.3){D} \uput[dr](7.3,0){E} 
\pspolygon(0,3.5)(0,1.3)(7.3,1.3)(7.3,0)
\psline(0.3,1.3)(0.3,1.6)(0,1.6)
\end{pspicture}}  

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que le triangle CDE est rectangle en D.
\item En déduire que les droites (AB) et (DE) sont parallèles.
\item Calculer la longueur AB.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{PROBLÈME \hfill 12 points}

\bigskip

Dans un magasin, une cartouche d'encre pour imprimante coûte 15 \euro. Sur un site internet, cette même cartouche coûte 10 \euro, avec des frais de livraison fixes de 40~\euro{} quel que soit le nombre de cartouches achetées.
\begin{enumerate}
\item  Reproduire et compléter le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|m{5cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Nombre de cartouches achetées		&2	&5	&11	&14\\ \hline
Prix à payer en magasin en euros	&	&75	&	&	\\ \hline
Prix à payer par internet en euros	&	&90	&	&	\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item Le nombre de cartouches achetées est noté $x$.
	\begin{enumerate}
		\item On note $P_{\text{A}}$ le prix à payer pour l'achat de $x$ cartouches en magasin. Exprimer $P_{\text{A}}$ en fonction de $x$.
		\item	On note $P_{\text{B}}$ le prix à payer, en comptant la livraison, pour l'achat de $x$ cartouches par internet. Exprimer $P_{\text{B}}$ en fonction de $x$.
	\end{enumerate}
\item Dans le repère orthogonal figurant en annexe, que l'on rendra avec la copie, tracer les droites $d$ et $d'$ définies par :

\begin{itemize}
\item $d$ représente la fonction $x \longmapsto  15x$
\item	$d'$ représente la fonction	$x \longmapsto  10x+40$
\end{itemize}

\item En utilisant le graphique précédent :
	\begin{enumerate}
		\item déterminer le prix le plus avantageux pour l'achat de 6 cartouches. Vous laisserez apparents
	les traits de constructions.
		\item Sonia dispose de 80 euros pour acheter des cartouches. Est-il est plus avantageux pour elle
d'acheter des cartouches en magasin ou sur internet ? Vous laisserez apparents les traits de
constructions.
	\end{enumerate}
\item À partir de quel nombre de cartouches le prix sur Internet est-il inférieur ou égal à celui du magasin ? Expliquer votre réponse.
\end{enumerate}
\end{document}
 