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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges }
\lfoot{\small{septembre 2002}}
\rfoot{\small{Groupe Sud-Ouest }}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 2 heures}

\vspace{0,25cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Groupe Sud-Ouest~\decofourright\\septembre 2002 }}

\vspace{0,15cm}

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES} \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1}}

\medskip

\emph{Les calculs intermédiaires doivent figurer sur la copie.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Écrire sous la forme $a\sqrt{3},~a$ étant un entier, le nombre : A $ = \sqrt{75} + 4\sqrt{12}$.
\item Prouver que :

\[ \dfrac{2 + \dfrac{3}{4}}{\dfrac{3}{4} - 5} = - \dfrac{11}{17} \qquad \dfrac{35 \times 10^{22}  \times 2 \times \left(10^{-2}\right)^6}{42 \times 10^{10} }=\dfrac{5}{3}.\]

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2}}

\medskip

\emph{Dans cet exercice, seuls les résultats finaux sont attendus et la calculatrice peut être utilisée.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner une valeur décimale approchée à $0,001$ près du nombre : 

B $= 3 + \dfrac{1}{7 + \dfrac{1}{16}}$.	
\item Donner l'écriture scientifique du nombre : 

C $= \dfrac{10^{-4} \times 4 \times 10^{6} \times 5^2}{2 \times 10^{-10}}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3}}

\medskip

ABCD est un rectangle :  DC = 5~cm et BC =  2,5~cm.

 N est le point du segment [AD] tel que : AN =  1,5~cm. M est un point du segment [AB].
 
On note $x$ la longueur du segment [AM] exprimée en centimètres ($x$ est compris entre $0$ et $5$).
  
AMPN et MBCR sont des rectangles notés respectivement R$_{1}$ et R$_{2}$.

\begin{center}
\begin{pspicture}(-1,-1)(6,3.5)
\psframe(5,2.5)%ABCD
\psline(0,1)(2,1)%NP
 \psline(2,0)(2,2.5)%RM
\psline[linewidth=0.3pt]{<->}(-0.3,1)(-0.3,2.5)
\psline[linewidth=0.3pt]{<->}(0,-0.3)(5,-0.3)
\psline[linewidth=0.3pt]{<->}(5.3,0)(5.3,2.5)
\psline[linewidth=0.3pt]{<->}(0,2.8)(2,2.8)
\uput[u](1,2.8){$x$}
\uput[ul](0,2.5){A} \uput[ur](5,2.5){B} \uput[dr](5,0){C} \uput[dl](0,0){D} 
\uput[ur](2,2.5){M} \uput[r](2,1){P} \uput[d](2,0){R} \uput[d](1,2){R$_{1}$} 
\uput[d](3.5,1.45){R$_{2}$} \uput[dl](0,1){N} \rput{90}(5.6,1.25){2,5 cm} 
\rput{90}(-0.6,1.75){1,5 cm}  \uput[d](2.5,-0.3){5 cm}  
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Exprimer, en fonction de $x$, le périmètre de R$_{1}$.
		\item  Exprimer, en fonction de $x$, le périmètre de R$_{2}$.
	\end{enumerate}
\item  Résoudre l'équation :  $2x + 3 =  - 2x + 15$.
\item  Sur le repère suivant, représenter graphiquement les deux fonctions affines :

$x \mapsto 2x+3$ \quad 	et \quad 	$x \mapsto -2x + 15$
pour $0 \leqslant  x \leqslant  5$.

\vspace{0,25cm}

\item\parbox{0.45\linewidth}{Quelles sont les valeurs de AM pour lesquelles le périmètre de R$_{2}$ est supérieur ou égal au périmètre de R$_{1}$ ? (Aucune justification n'est attendue.)} \hfill
\parbox{0.5\linewidth}{
\psset{unit=4.25mm}
\begin{pspicture}(-2,0)(10,18)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1](0,0)(10,18)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=20]{->}(0,0)(-2,0)(10,18)
\uput[d](1,0){$1$} \uput[l](0,1){$1$} \uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture}}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES} \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1}}

\medskip

Le dessin ci-après représente la coupe d'une maison.

Le triangle MAI est isocèle, de sommet principal M.

La droite perpendiculaire à la droite (AI), passant par M, coupe (AI) en S.

L'unité de longueur est le mètre.

 On sait que : MS = 2,5 et AI = 11.
 
\begin{center}
\begin{pspicture}(6,5)
\psframe(6,3) \psline(6,3)(3,5)(0,3) 
\psline(2.4,3)(2.4,4.6) \psline(3,3)(3,5)
\uput[ul](0,3){A}  \uput[ul](2.4,4.6){N}  \uput[d](2.4,3){O}  
\uput[u](3,5){M}  \uput[d](3,3){S}  \uput[ur](6,3){I}  
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Calculer AS. (Justifier.) 
		\item Calculer la valeur arrondie à $0,1$ degré près de la mesure de l'angle $\widehat{\text{AMS}}$.
	 \end{enumerate}
\item  Dans le toit, il y a une fuite en N qui fait une tâche en O, sur le plafond. La droite (NO) est perpendiculaire à la droite (AI). AO = 4,5.

Pour effectuer les calculs, on prendra : $\widehat{\text{OAN}} = 24~\degres$.

 Calculer AN. On donnera la valeur arrondie à $0,1$ près.
 \end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2}}

\medskip

ABCDEFGH est un cube.

Les points J, K, M et N sont les milieux respectifs des segments [AE], [FB], [AD] et [BC].
 
JKNM est une section du cube par un plan parallèle à l'arête [AB].

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Donner, sans justifier, la nature de la section JKNM.
\item  Sur le schéma ci-après, la face FGCB a été dessinée en vraie grandeur. 
\begin{enumerate}
\item  Placer les points K et N sur cette face. 
\item  À côté, dessiner la section JKNM en vraie grandeur.

\begin{center}
\begin{pspicture}(10.5,5.2)
\psline(0,0.4)(3,0)(4.2,0.95)(4.2,4.05)(1.2,4.45)(0,3.5)(3,3.1)(3,0)%ABCGHEFB
\psline(0,0.4)(0,3.5)%AE
\psline(0,1.95)(3,1.55)(3.6,0.475)%JKN
\psline[linestyle=dotted](0,0.4)(1.2,1.35)(4.2,0.95)%ADC
\psline[linestyle=dotted](0,1.95)(0.6,0.8775)(3.6,0.475)%JMN
\psline[linestyle=dotted](1.2,1.35)(1.2,4.45)%DH
\psline(4.2,4.05)(3,3.1)
\psframe(5.6,0.4)(9.6,4.4)
\uput[dl](0,0.4){A}  \uput[d](3,0){B}  \uput[r](4.2,0.95){C} 
\uput[ul](1.2,1.35){D}  \uput[l](0,3.5){E}    \uput[u](3,3.1){F}
\uput[r](4.2,4.05){G}    \uput[u](1.2,4.45){H}    \uput[l](0,1.95){J}    \uput[u](0.6,0.8775){M}
\uput[dr](3.6,0.475){N}  \uput[r](3,1.55){K}  
\end{pspicture}\end{center}
\end{enumerate}

\bigskip

\item  Quelle est la nature du solide AJMBKN ? (Aucune justification n'est demandée.)
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3}}

\medskip

Sur la figure ci-dessous, les droites (SF) et (TE) sont parallèles.

Les points R, S et T sont alignés dans cet ordre.

Les points R, F, E et G sont alignés dans cet ordre.

SR = 2~cm et ST = 4~cm

RF = 1,5~cm et EG = 9~cm

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que : RE = 4,5~cm.
\item Les droites (ES) et (TG) sont-elles parallèles ? Justifier.
\end{enumerate}
 
\begin{center}
\begin{pspicture}(10,3.5)
\pspolygon(0,0)(9.6,0.8)(5.8,2.9)%GRT
\psline(5.8,2.9)(6.4,0.5)(8.4,1.47)(8.6,0.7)%TESF
\uput[ul](0,0){G}  \uput[d](6.4,0.5){E}  \uput[r](9.6,0.8){R} 
\uput[ur](8.4,1.47){S}  \uput[ul](5.8,2.9){T}    \uput[d](8.6,0.7){F}
\rput{6}(3.2,0.15){\small 9 cm}    \rput{6}(9.25,0.6){\small 1,5 cm}    \rput{-32}(9.2,1.4){2 cm}    \rput{-32}(7,2.6){4 cm}  
\end{pspicture}\end{center}

Les dimensions ne sont pas respectées sur cette figure.

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{PROBLÈME} \hfill 12 points}

\bigskip

\emph{Le plan est muni d'un repère orthonormal} (O, I, J).

La figure ci-après est à compléter au fur et à mesure de la progression de ce problème.

\begin{center}
\psset{unit=0.75cm}
\begin{pspicture}(-5.5,-4.5)(10.5,7)
\psaxes[linewidth=1.75pt,Dx=20,Dy=20]{->}(0,0)(-5.5,-4.5)(10.5,7)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=2](-5.,-4.)(10.,7)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45](-4,3)(-1,-1)(7,5)
\uput[ul](-4,3){A}  \uput[dl](-1,-1){B}  \uput[ur](7,5){C} 
\uput[dl](0,0){O} 
\end{pspicture}
\end{center}

On donne les points
A$(-4~;~3)$, B$(-1~;~- 1)$ et C(7~;~5)

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner les coordonnées du vecteur $\vect{\text{AB}}$, puis calculer la longueur du segment [AB]. Pour la suite du problème, on admettra que BC = 10 et AC = $5\sqrt{5}$.
\item Démontrer que le triangle ABC est rectangle.
\item Calculer les coordonnées du milieu M de [AC] et placer le point M sur la figure.
\item Démontrer que MB = MC.
\item Sur la figure, placer le point N, image du point M par la translation
de vecteur $\vect{\text{AB}}$. Quelles sont les coordonnées de N ? (Aucune justification n'est demandée.)
\item Démontrer que les vecteurs $\vect{\text{AB}},~\vect{\text{BN}}$  et	$\vect{\text{MC}}$ sont égaux.
\item Démontrer que le quadrilatère BMCN est un losange.
\item Démontrer que le triangle ABC et le losange BMCN ont la même
aire.
\end{enumerate}
\end{document}