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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\rfoot{\small{Bordeaux }}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 2 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Bordeaux~\decofourright\\septembre 2004}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

On donne les nombres A $= \dfrac{2}{9} + \dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{2}$  et B $= \dfrac{\dfrac{8}{3} - 2}{\dfrac{3}{5}}$.

écrire A et B sous forme de fractions irréductibles, en détaillant les calculs.

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On donne le nombre C $= 3\sqrt{15}  + \sqrt{60}$.

Écrire C sous la forme $a\sqrt{b}$, où $a$ et $b$ sont des nombres entiers.

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

On donne l'expression $E = (3x - 4)^2 - 4x^2$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $E$. 
\item Factoriser $E$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $E$ pour $x =  0$. 
		\item Calculer $E$ pour $x = - 1$.
	\end{enumerate}
\item Résoudre l'équation $(5x - 4)(x - 4) = 0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre le système : $\left\{\begin{array}{l c l}
x-y & = &	8\\
7x+5y &=& 104\\
\end{array}\right.$
\item Une bibliothèque achète 7 DVD et 5 livres. Le prix total est de 104 euros.\\
 Un livre coûte 8 euros de moins qu'un DVD. 
	\begin{enumerate}
		\item Quel est le prix d'un DVD ? 
		\item Quel est le prix d'un livre ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans un repère orthonormé (O ;  I, J), l'unité étant de centimètre, placer les points suivants A$(2~;~- 1)$, B$(-2~;~3)$ et C$(-4~ ;~ -3)$.

\medskip

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer AC et BC. 
		\item En déduire que le triangle ABC est isocèle.
	\end{enumerate}
\item Démontrer que J est le milieu du segment [AB].
\item Démontrer que la droite (CJ) est la médiatrice du segment [AB].
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\parbox{0.4\textwidth}{La famille Hoarau possède un terrain ABCD dont la forme est un trapèze rectangle comme le montre le schéma ci-contre.

On donne :

AB =  l5m ;

AD = 20 m ;

DC = 25 m.} \hfill \parbox{0.55\textwidth}{\begin{pspicture}(6,5)
\psframe(0,0)(4,4) \pspolygon(4,0)(6,0)(4,4)
\uput[u](0,4){A} \uput[u](4,4){B} 
\uput[d](4,0){H}\uput[d](0,0){D} 
\uput[r](6,0){C}	
\psframe(0,0)(0.15,0.15) 
\psframe(4,0)(4.15,0.15)
\end{pspicture}}

\vspace{0,3cm}

\begin{enumerate}
\item Montrer que l'aire du terrain est égale \`a 400 m$^2$.
\item Calculer BC. On arrondira au dixième de mètre.
\item M. Hoarau aura-t-il assez de 90 mètres de grillage pour cl\^oturer son
terrain ?

Justifier la réponse.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Dans cet exercice, l'unité est le centimètre.

On considère le triangle ABC tel que : AB = 4, AC = 6 et BC = 3.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire le triangle en vraie grandeur.
\item On désigne par I le milieu du segment [AC]. 
	\begin{enumerate}
		\item Sur la figure précédente, construire le symétrique D du point B par rapport au point I. 
		\item Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ? Justifier.
	\end{enumerate}
\item On désigne par F le symétrique de B par rapport \`a la droite (AC). Démontrer que les droites (DF) et (AC) sont parallèles.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{PROBL\`EME \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Première partie}

\medskip

Un professeur d'éducation physique et sportive fait courir ses élèves
autour dun stade rectangulaire mesurant 90 m de long et 60 m de large.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer, en mètres, la longueur d'un tour de stade.
\item Pour effectuer 15 tours en 24 minutes \`a vitesse constante, combien
de temps un élève doit-il mettre pour faire un tour ? On donnera la
réponse en minutes et secondes.
\item Un élève parcourt 6 tours en 9 minutes.
	Calculer sa vitesse en m/min, puis en km/h.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Deuxième partie}

\medskip

On a relevé le nombre de pulsations par minute de 32 élèves avant qu'ils
n'effectuent leurs tours de stade. Les résultats obtenus sont les suivants :

\begin{center}\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{16}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
57& 61& 55& 67& 59& 52& 59& 63& 62& 65& 59& 54& 59& 57& 62& 54\\ \hline
60& 65& 63& 61& 63& 55& 66& 63& 60& 59& 62& 63& 58& 61& 59&63\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Montrer que le nombre moyen de pulsations par minute est égal à 60,25.
\item Recopier et compléter le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Nombre $n$ de pulsations par minute&$52 \leqslant n \leqslant  56$&$56\leqslant n\leqslant60$&$60 \leqslant n \leqslant 64$&$64 \leqslant n \leqslant 68$\\ \hline 
Effectif	&5	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item En utilisant le repère ci-après, faire l'histogramme représentant le tableau ci-dessus.

Les unités choisies sont :

$\bullet~$ sur l'axe des abscisses, 1 cm pour représenter 1 pulsation par minute ;

$\bullet~$ sur l'axe des ordonnées, 1 cm pour représenter 1 élève.
\item Combien d'élèves ont au moins 60 pulsations par minute ?
\item Quel est le pourcentage d'élèves ayant un nombre de pulsations par minute inférieur \`a 60 ?
\end{enumerate}

\psset{xunit=0.7cm,yunit=0.6cm}
\begin{pspicture}(52,0)(68,18)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Ox=52,Dx=4](52,0)(58,6)
\psaxes[Dx=20,Dy=30]{->}(52,0)(68,18)
\uput[d](60,52){Nombre de pulsations par minute}
\rput{90}(15,50){Nombre d'élèves}
\end{pspicture}
\end{document} 