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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small{décembre 2010}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 2 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Diplôme national du Brevet
 Nouvelle--Calédonie~\decofourright\\décembre 2010}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{I -- ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill 12 points}

\vspace{0.25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}}

\medskip

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM). Pour chaque ligne du tableau, trois
réponses sont proposées, mais une seule est exacte.
Indiquer sur votre copie le numéro de la question et, sans justifier, \textbf{recopier la réponse exacte} (aucun point ne sera enlevé en cas de mauvaise réponse).

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{3.5cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
1& L'expression développée de $(7x - 5)^2$ est :&$49x^2 + 25$&$49x^2 - 70x + 25$& $49x^2 - 25$\\ \hline
2& L'image de $- 5$ par la fonction $f$ telle que $f(x) = - 3x + 2$ est :&
$- 13$& $- 17$& $17$\\ \hline
3& La notation scientifique de $\np{0,00057} \times 10^{-6}$ est :&
\footnotesize \np{0,0000000000057}& $57 \times 10^{- 11}$& $5,7 \times  10^{- 10}$\\ \hline
4&Le nombre $\dfrac{5}{7} + \dfrac{1}{7} \times \dfrac{4}{3}$ est égal à :&$\dfrac{24}{21}$&$\dfrac{19}{21}$&$\dfrac{8}{7}$\\ \hline
\end{tabularx}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}}

\medskip

Au marché, un commerçant propose à ses clients diverses boissons. Il a au total 100 boissons réparties comme ceci : 22 bouteilles de thé glacé, 32 bouteilles de jus d'ananas, 18 bouteilles de soda et les autres bouteilles sont des bouteilles d'eau.

Le commerçant souhaite offrir une boisson à son premier client. Il décide de prendre au hasard une
bouteille (on suppose que toutes les bouteilles ont la même forme).

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère l'évènement E : \og prendre une bouteille d'eau \fg.
Quelle est la probabilité de l'évènement E ? Justifier votre réponse.
\item Le commerçant gère son stock grâce au tableur ci-dessous.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&A&B&C&D\\ \hline
1&Boisson		& Quantité	& \footnotesize Nombre de bouteilles vendues&Quantité restante\\ \hline
2& Thé glacé	& 22		& 4											& 18\\ \hline
3& Jus d'ananas	& 32		& 5											& 27\\ \hline
4& Soda			& 18		& 3											& 15\\ \hline
5& Eau			& 28		& 12										& 16\\ \hline
6& Total		& 100		& 24										& 76\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

	\begin{enumerate}
		\item Quelle formule a-t-il écrite dans la cellule D2 pour obtenir le résultat indiqué dans le tableur ?
		\item Pour obtenir le nombre 100 dans la cellule B6, il a été écrit : =SOMME(B2:B5).
		
Quelle formule est-il écrit en C6 pour obtenir 24 ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}}

\medskip

\emph{Tous les calculs et toute trace de recherche, même incomplète, seront pris en compte dans l'évaluation.}

Marc et Sophie se lancent des défis mathématiques. C'est au tour de Marc, il propose un programme de calcul à sa camarade :

\medskip

\begin{center}
\fbox{\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{l l}
$\bullet~~$&Choisir un nombre entier positif\\
$\bullet~~$&Élever ce nombre au carré\\
$\bullet~~$&Ajouter 3 au résultat obtenu\\
$\bullet~~$&Puis, multiplier par 2 le résultat
obtenu\\
$\bullet~~$&Soustraire 6 au résultat précédent\\
$\bullet~~$&Enfin, prendre la moitié du dernier
résultat\\
$\bullet~~$&Écrire le résultat final\\
\end{tabularx}}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Tester ce programme de calcul en choisissant comme nombre de départ 3 puis 10.
\item Marc prétend être capable de trouver rapidement le nombre de départ en connaissant le résultat final. Sophie choisit alors au hasard un nombre et applique le programme de calcul. Elle annonce à Marc le résultat final 81. Celui-ci lui répond qu'elle avait choisi le nombre 9 au départ.

Stupéfaite, Sophie lui dit : \og TU ES UN MAGICIEN ! \fg.
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier le calcul en commençant le programme avec le nombre 9.
		\item Et si le résultat du programme était 36, pourriez-vous dire le nombre choisi par Sophie ?
	\end{enumerate}
\item À votre avis, comment peut-on passer, en une seule étape, du nombre choisi au départ au nombre
final ? Démontrer votre réponse en prenant $x$ comme nombre de départ.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

 \textbf{II -- ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1}}

\medskip

Soit le triangle ABC rectangle en A tel que : AB = 5 cm et BC = 13 cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire le triangle ABC.
\item Démontrer que AC = 12 cm.
\item Soit un point M sur le segment [AC] tel que CM = 2,4 cm.

Tracer la droite parallèle à (AB) et passant par le point M.

Cette droite coupe (BC) en un point N.

Calculer alors la longueur CN.
\item Préciser la nature du triangle CMN. Justifier la réponse.
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}}

\medskip

On rappelle la formule du volume d'une boule qui est :
$\dfrac{4\times \pi \times R^3}{3}$
\medskip

\parbox{0.45\linewidth}{
\begin{enumerate}
\item Calculer la valeur, arrondie au cm$^3$, du volume d'une boule de rayon R = 7~cm.
\item On réalise la section de la sphère de centre O
et de rayon OA = 7~cm par un plan, représenté
ci-contre.

Quelle est la nature de cette section ?
\item Calculer la valeur exacte du rayon HA
de cette section sachant que OH = 4 cm.
\end{enumerate}}\hfill
\parbox{0.52\linewidth}{\psset{unit=0.66cm}
\begin{pspicture}(9,4.5)
\pscircle(4,2){2}
\psline(2.6,3.6)(1.5,3.6)(0.3,2.4)(7.5,2.4)(8.9,3.6)(5.3,3.6)
\psline[linestyle=dashed](5.3,3.6)(2.6,3.6)
\pspolygon[linestyle=dashed](4,2)(4,3.05)(5.7,2.9)
\psellipticarc(4,3.05)(1.71,0.45){180}{0}
\psellipticarc[linestyle=dashed](4,3.05)(1.71,0.45){0}{180}
\uput[d](4,2){O}\uput[ul](4,2.85){H} \uput[dr](5.7,2.9){A}
\end{pspicture}}


\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}}

\medskip

La construction de la cathédrale de Mata Utu à Wallis, date de 1951 et s'est faite sans suivre de
plan. Tout s'est fait avec les qualités visuelles et manuelles
des ouvriers.

C'est pourquoi aucune donnée \og numérique \fg{} ne reste de
cette construction (hauteur, longueur, ...).

Un jour, le jeune Paulo a voulu calculer la hauteur de la
cathédrale. Il fait alors une figure la représentant vue de
côté (voir ci-dessous) en nommant les points O, A, B et C
qui vont lui permettre de faire le calcul.

Grâce à un instrument de mesure placé en O à 1,80~m du sol, il mesure l'angle $\widehat{\text{COB}}$ qui fait 48\,\degres.

Ensuite, il trouve OB = 15m (on suppose que les murs de la cathédrale sont bien perpendiculaires au
sol).

Calculer alors la hauteur CA de la cathédrale (arrondie au dixième de mètre).

\begin{center}
\psset{unit=0.65cm}
\begin{pspicture}(19,9)
\pspolygon(0.8,1.8)(5.8,1.8)(5.8,8.4)
\pspolygon(5.8,6.3)(15.1,6.3)(16.8,4.6)(16,4.6)(16,3.4)(16.8,2.8)(16,2.8)(16,1)(5.8,1)
\psline(5.8,8.4)(6.24,8.4)(6.24,8)(6.68,8)(6.68,8.4)(7.12,8.4)(7.12,8)(7.56,8)(7.56,8.4)(8,8.4)(8,1)
\psline(5.8,4.6)(16,4.6)
\psline(5.8,2.8)(16,2.8)
\psline(8.5,4.6)(8.5,1)
\psline(8.5,3.4)(16,3.4)
\psarc(0.8,1.8){0.7}{0}{49}
\psframe(5.8,1.8)(5.4,2.2)
\psline(9.7,1)(9.7,1.7)\psline(10.4,1)(10.4,1.7)\psarc(10.05,1.7){0.35}{0}{180}
\psline(11.8,1)(11.8,1.7)\psline(12.5,1)(12.5,1.7)\psarc(12.15,1.7){0.35}{0}{180}
\psline(13.9,1)(13.9,1.7)\psline(14.6,1)(14.6,1.7)\psarc(14.25,1.7){0.35}{0}{180}
\psline(6.7,3.7)(6.7,3)(7.4,3)(7.4,3.7)\psarc(7.05,3.7){0.35}{0}{180}
\psline(6.7,5.5)(6.7,4.8)(7.4,4.8)(7.4,5.5)\psarc(7.05,5.5){0.35}{0}{180}
\psline(6.7,7.3)(6.7,6.6)(7.4,6.6)(7.4,7.3)\psarc(7.05,7.3){0.35}{0}{180}
\uput[dl](0.8,1.8){O} \uput[d](5.8,1){A} \uput[dr](5.8,2){B} \uput[ul](5.8,8.4){C}
\rput(2,2.4){48\,\degres} 
\end{pspicture}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{III -- PROBLÈME \hfill 12 points}

\bigskip

\emph{Ce problème est composé de trois parties indépendantes}

\medskip

Un vidéoclub de Nouméa propose deux tarifs annuels différents pour la location de DVD.

Tarif A : 450~F pour la location de chaque DVD.

Tarif B : \np{4500}~F en début d'année et 300~F pour la location de chaque DVD.

\medskip

\begin{center}\textbf{Partie 1} \end{center}

\begin{enumerate}
\item Compléter le premier tableau se trouvant sur l'annexe.
\item Si $x$ désigne le nombre de DVD loués, le prix payé avec le tarif A est donné par $A(x) = 450x$ et le prix payé avec le tarif B est donné par $B(x) = 300x + \np{4500}$.

Construire, sur le quadrillage de la page annexe, dans un même repère orthogonal, D$_{A}$ et D$_{B}$ les représentations graphiques respectives des fonctions $A$ et $B$. (On prendra, en plaçant l'origine en bas à gauche :

$\bullet~~$ 1 carreau pour représenter 5 DVD sur l'axe des abscisses ;

$\bullet~~$ 1 carreau pour représenter \np{3000}~F sur l'axe des ordonnées).
\item Pour quel nombre de DVD les deux tarifs sont-ils égaux ? Justifier votre réponse.
\item À l'aide du graphique, indiquer quel tarif semble être le plus avantageux selon le nombre de
DVD loués.
\end{enumerate}

\begin{center}\textbf{Partie 2} \end{center}

Hier, 20 clients sont venus au vidéoclub.

Le gérant s'est amusé à noter les âges de ces clients dont voici les résultats :
\begin{center}
21-- 33--18--46--21--21--33--46--30--15--15--18--18--46--33--30--21--15--50--50
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Compléter le deuxième tableau de la page annexe, qui représente les âges des 20 clients d'hier.
\item Calculer le pourcentage que représentent les personnes ayant plus de 20 ans.
\item Calculer l'âge moyen des abonnés.
\end{enumerate}

\begin{center}\textbf{Partie 3} \end{center}

Le patron veut se \og débarrasser \fg{} de ses vieux films DVD. Il décide d'en faire des lots pour
récompenser en fin d'année ses meilleurs abonnés. Il y a \np{2646}~films pour enfants et \np{4410} ~films divers à offrir.

Le gérant veut :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item que les lots soient tous identiques (c'est-à-dire qu'il y ait le même nombre de films pour enfants et de films divers dans chaque lot)
\item que tous les films soient utilisés dans les lots.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Combien de lots, au maximum, le gérant peut-il faire ? Expliquer votre raisonnement.
\item Donner alors la composition de chaque lot.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{ANNEXE}

\medskip

\textbf{À rendre avec la copie}
\medskip

\begin{flushleft}
\textbf{Problème / Partie 1/ 1.}\end{flushleft}

\medskip

\renewcommand\arraystretch{2}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4.5cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Nombre de DVD loués dans l'année& 20& 40& 80& $x$\\ \hline%
Prix payé avec le tarif A&&&&\\ \hline%
Prix payé avec le tarif B&&&&\\ \hline%
\end{tabularx}

\bigskip

\begin{flushleft}
\textbf{Problème / Partie 1/ 2.}\end{flushleft}

\medskip

\psset{unit=0.6cm}
\begin{pspicture}(19,13)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange,gridwidth=0.2pt]
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip

\begin{flushleft}
\textbf{Problème / Partie 2/ 1.}\end{flushleft}

\medskip

\renewcommand\arraystretch{2}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{2.5cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Âge (en années)	&15	&18	&21	&30	&33	&46	&50\\ \hline%
Effectif		&	&	&	&	&	&	&\\ \hline%
\end{tabularx}
\end{document}