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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\lfoot{juin 2002}
\rfoot{\small{Centres étrangers Est}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet - Centres étrangers Est juin 2002~\decofourright}}}

\vspace{0,25cm}

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.

\end{center}

\vspace{0,215cm}

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

On considère les nombres suivants :

\medskip

A $=\dfrac{14}{45} \times \dfrac{27}{49}$ ;
$\quad \text{B}=\left(\dfrac{2}{3}-\dfrac{3}{2} \right) \div \dfrac{7}{11}$ ;
$\quad \text{C} = 3 - 5 \times \dfrac{1}{10}+4 \times \dfrac{1}{100}$ ;\\
$\quad \text{D} =\dfrac{18 \times 10^{7}}{0,9 \times 10^{4}}$ ;
$\quad \text{E} =\sqrt{12}+4\sqrt{75}$.

En précisant les différentes étapes du calcul :
\begin{enumerate}
\item Écrire A et B sous la forme de fractions irréductibles.
\item Écrire C sous forme décimale.
\item Écrire D sous la forme $a \times 10^n$ où $a$ est un entier
compris entre 1 et 9 et $n$ un entier relatif.
\item Écrire E sous la forme $b\sqrt{3}$ où $b$ est un entier relatif.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Recopier et compléter pour que chaque égalité soit vraie pour toutes
les valeurs de $x$ :

\begin{enumerate}
\item $(x + \cdots )^{2}= \cdots + 6x + \cdots$
\item $( \cdots - \cdots )^{2} = 4x^{2} \cdots \, \cdots +25$
\item  $\cdots - 64 = (7x- \cdots )(\cdots + \cdots )$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Un examen comporte les deux épreuves suivantes :
\begin{itemize}
\item une épreuve orale (coefficient 4) ;
\item une épreuve écrite (coefficient 6).
\end{itemize} 
Chacune des épreuves est notée de 0 à 20.

Un candidat, pour être reçu à l'examen, doit obtenir au minimum 10 de moyenne.

Le calcul de la moyenne $m$ est donnée par la formule suivante

\[m=\dfrac{4x+6y}{10}\]

 où $x$ est la note obtenue à l'oral et $y$ la note obtenue à l'écrit.
 
\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Caroline qui a obtenu 13 à l'oral et 7 à l'écrit, sera-t-elle
reçue à l'examen ? Justifier.
\item Etienne a obtenu 7 à l'oral.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle note doit avoir Etienne à l'écrit pour obtenir exactement
10 de moyenne ? Justifier.
		\item Les parents d'Etienne lui ont promis un ordinateur s'il obtenait
à son examen une moyenne supérieure ou égale à 13.

Quelle note minimale doit-il obtenir à l'écrit pour avoir son ordinateur ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\emph{L'unité de longueur est le centimètre.}

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Tracer un triangle ABC rectangle en A tel que : AB = 3 et
AC = 9.

Sur le segment [AC], placer le point I tel que CI = 5.
		\item Calculer la valeur exacte de la longueur BC, puis sa valeur arrondie au millimètre près.
	\end{enumerate}
\item La droite qui passe par I et qui est parallèle à la droite
(AB) coupe la droite (BC) en E.

En précisant la méthode utilisée, calculer la valeur exacte de la
longueur EI.
\item Calculer la valeur exacte de la tangente de l'angle
$\widehat{\text{ACB}}$, puis en déduire la valeur arrondie au degré près de la mesure de l'angle $\widehat{\text{ACB}}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\textbf{L'unité de longueur est le centimètre.}

Le plan est muni d'un repère orthonormé (O ; I, J).

Dans le repère, représenté ci-après, on a placé les points :

\[\text{A}(0~;~-2),\quad \text{B}(-3 ~;~ 2)\quad  \text{et C}.\]

\textbf{Toutes les lectures sur le repère seront justifiées par des
tracés en pointillé.}
\begin{enumerate}
\item Lire les coordonnées du point C.
\item Lire les coordonnées du vecteur $\vect{\text{AB}}$.
\item Calculer la distance AB.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Placer le point D, image du point C par la translation qui transforme A en B.
		\item Quelle est la nature du quadrilatère ABDC ?
	\end{enumerate}
\item Placer le point E, image de B par la symétrie de centre O.
\item Placer le point F, image de C par la symétrie d'axe (O$x)$.
\item Placer le point G, image de A par la rotation de centre O
et d'angle 90\up{o} dans le sens des aiguilles d'une montre.
\end{enumerate}

\medskip

\psset{unit=0.75cm}
\begin{pspicture}(-8,-5)(8,7)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=15,Dy=15]{->}(0,0)(-8,-5)(8,7)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabelcolor=white](0,0)(-8,-5)(8,7)
\uput[l](0,6.5){$y$}  \uput[l](0,2){2}  \uput[l](0,1){J}  \uput[dl](0,0){O}  \uput[l](0,-2){$-2$}  
\uput[dr](0,-3){A}  \uput[d](-3,0){$-3$}  \uput[dl](-3,2){B}  \uput[dr](5,-1){C}  \uput[d](7.8,0){$x$}\uput[dr](1,0){I}
\psarc{<-}(6,5){1cm}{-30}{30}  \rput(5,5){sens de la rotation} 
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45](0,-3)(-3,2)(5,-1)
\end{pspicture}

\vspace{0,5cm}

\textbf{PROBLÈME \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Toutes les lectures sur le graphique doivent être justifiées
par des tracés en pointillé.}

\begin{center}
\textbf{\Large{Partie A}}
\end{center}

Nicolas désire louer des cassettes vidéo chez Vidéomaths qui lui
propose les deux possibilités suivantes pour une location à la journée :

\textbf{Option A} : Tarif à 3 \euro{} par cassette louée.

\textbf{Option B} : une carte d'abonnement de 15 \euro{} pour 6 mois avec un tarif de 1,50 \euro{} par cassette louée.

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Reproduire et compléter le tableau suivant :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\backslashbox{Prix payé en \\euros avec}{Nombre de cassettes\\ louées en 6 mois} &4&8&10&12\\\hline
 l'option A &&&&\\\hline
 l'option B &&&&\\ \hline
\end{tabularx} 
\medskip

		\item Préciser dans chaque cas l'option la plus avantageuse.
	\end{enumerate}
\item On appelle $x$ le nombre de cassettes louées par Nicolas pendant 6 mois.
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer en fonction de $x$ la somme $A(x)$ payée avec l'option A.
		\item Exprimer en fonction de $x$ la somme $B(x)$ payée avec l'option B.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\textbf{\Large{Partie B}}
\end{center}

On considère les fonctions définies par :

\[f(x) = 3x\quad  \text{et} \quad  g(x) = 1,5x + 15.\]

Dans toute la suite du problème, on admettra que la fonction $f$ est
associée à l'option A et que la fonction $g$ est associée à l'option
B.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire, dans un repère (O, I, J) orthogonal les
représentations graphiques des fonctions $f$ et $g$ ; on placera
l'origine en bas à gauche.

En abscisse, 1 cm représente 1 cassette ; en ordonnée 1 cm représente 2 \euro.
\item Les représentations graphiques de $f$ et $g$ se coupent en E.
	\begin{enumerate}
		\item Lire sur le graphique les coordonnées de E.
		\item Que représente les coordonnées de E pour les options A et B ?
	\end{enumerate}
\item Lire sur le graphique, la somme dépensée par Nicolas avec
l'option A s'il loue 11 cassettes.
\item Nicolas dispose de 24 \euro. Lire sur le graphique,
le nombre de cassettes qu'il peur louer en 6 mois avec l'option B.
\item Déterminer par le calcul à partir de quelle valeur de $x$
l'option B est plus avantageuse que l'option A pour 6 mois.
\end{enumerate}

\begin{center}
\textbf{\Large{Partie C}}
\end{center}

Nicolas ne veut dépenser que 36 \euro{} en 6 mois pour louer
des cassettes.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Lire sur le graphique de la \textbf{partie B} le nombre maximum
de cassettes qu'il peut louer chez Vidéomaths avec chaque option, avec
36 \euro{} en 6 mois.
\item Il se renseigne auprès de la société Cinémaths qui lui propose
un abonnement de 7,50 \euro{} pour 6 mois permettant de louer
chaque cassette à la journée pour 2,50 \euro.

L'objectif de cette partie est de déterminer parmi les trois tarifs,
l'offre la plus avantageuse pour Nicolas.

Soit $x$ le nombre de cassettes louées par Nicolas en 6 mois.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que le prix payé par Nicolas chez Cinémaths est donné
par l'expression  

\[h(x) = 2,5x + 7,5.\]

		\item Calculer le nombre maximum de cassettes que Nicolas peut louer
en 6 mois avec 36 \euro{} chez Cinémaths.
		\item En déduire l'offre la plus avantageuse pour Nicolas.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}