\documentclass[10pt]{article} 
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc} 
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
%tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} 
\usepackage[normalem]{ulem} 
\usepackage{fancybox} 
\usepackage{tabularx}   
\usepackage{pifont} 
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}} 
\usepackage{ulem} 
\usepackage{pstricks,pstricks-add} 
\newcommand{\R}{\mathbb{R}} 
\newcommand{\N}{\mathbb{N}} 
\newcommand{\C}{\mathbb{C}} 
\setlength\paperheight{297mm} 
\setlength\paperwidth{210mm} 
\setlength{\textheight}{23,5cm}
\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\setlength{\voffset}{-1,5cm}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Brevet des collèges},
pdftitle = {Centres étrangers II  juin 2009},
allbordercolors = white}   
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des  collèges}
\lfoot{\small{Centres étrangers II}} 
\rfoot{\small{juin 2009}} 
\pagestyle{fancy} 
\thispagestyle{empty}

\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Diplôme national du brevet juin 2009 \decofourright\\ 
Centres étrangers II}} 
\end{center} 

\vspace{0,5cm} 

Calculatrice autorisée \hfill 2 heures 

\vspace{0,25cm} 

\textbf{\textsc{Activités numériques }\hfill 12 points} 

\vspace{0,25cm} 

\textbf{Exercice 1}
 
\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chaque question, une seule réponse est exacte. Une réponse correcte rapportera 1~point. L'absence de réponse ou une réponse fausse ne retirera aucun point.\\ 
Indiquer sur la copie, le numéro de la question et la réponse.}

\bigskip

\renewcommand{\arraystretch}{1.8}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{2.5cm}|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}\hline 
N°& Question& Réponse A &Réponse B &Réponse C \\ \hline
1 &$4,25 =$ &$4 + \dfrac{25}{10}$&$\dfrac{17}{4}$& $3 + 1 \times 0,25$\rule[-3mm]{0mm}{8mm}\\ \hline  
2&$\dfrac{82}{7} = $&82,7&11,714&$11 + \dfrac{5}{7}$\rule[-4mm]{0mm}{8mm}\\ \hline  
3& $\sqrt{500} - \sqrt{45} =$ &$7\sqrt{5}$& $\sqrt{455}$& 15,65\\ \hline  
4&les solutions de $(3x - 2)(x + 5) = 0$ sont :& $\dfrac{2}{3}$ et $-5$&$\dfrac{3}{2}$ et $-5$&$- \dfrac{2}{3}$ et 5\\ \hline
\end{tabularx}
\renewcommand{\arraystretch}{1}

\bigskip 

\textbf{Exercice 2}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Comment, sans calcul, peut-on justifier que la fraction $\dfrac{\np{1848}}{\np{2040}}$ n'est pas irréductible?
\item Calculer le PGCD des nombres \np{1848} et \np{2040} en indiquant la méthode.  
\item Simplifier la fraction $\dfrac{\np{1848}}{\np{2040}}$ pour la rendre irréductible.
\end{enumerate}

\bigskip 

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\emph{Dans cet exercice, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

\medskip
 
Anatole affirme :
 
\og pour tout nombre entier naturel $n$, l'expression $n^2 - 24n + 144$ est toujours différente de zéro. \fg
 
A-t-il raison ? 
 
\bigskip 

\textbf{Exercice 4}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Pierre a lancé dix fois un dé cubique (non truqué). À chaque fois, il a obtenu 6. Il lance ce dé une 11\up{e} fois.
 
Quelle est la probabilité d'obtenir 6 au 11\up{e} lancer ? 
\item Dans une classe, un sondage a été fait auprès des élèves pour connaître leur animal préféré. Les résultats sont illustrés dans le graphique ci-dessous.

\medskip

\begin{center}
\psset{yunit=1cm,xunit=1.4cm}
\begin{pspicture}(7,7)
\psframe(7,7)
\psaxes[Dx=10](0,0)(7,7)
\multido{\n=0+1}{8}{\psline(0,\n)(7,\n)}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.7,0)(1.3,6) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](1.7,0)(2.3,5) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](2.7,0)(3.3,3) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](3.7,0)(4.3,2) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](4.7,0)(5.3,1) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](5.7,0)(6.3,3)
\uput[d](1,0){chien} \uput[d](2,0){chat} \uput[d](3,0){dauphin} 
\uput[d](4,0){perroquet} \uput[d](5,0){lion} \uput[d](6,0){autres}  
\end{pspicture}
\end{center} 

\bigskip
 
Quelle est la fréquence d'apparition de la réponse \og chien \fg{}? 
\item On donne la série suivante : 3 ; 4 ; 6 ; 10 ; 13 ; 14 ; 17 ; 25 ; 26
 
Quelle est la médiane de cette série  ?
 
Quel est le premier quartile de cette série ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Activités géométriques }\hfill 12 points}

\bigskip
 
\textbf{Exercice 1}

\medskip
 
Sur la figure ci-dessous, qui n'est pas en vraie grandeur, le quadrilatère BREV est un rectangle avec BR = 13~cm et BV = 7,2~cm.
 
Le point T est sur le segment [VE] tel que VT = 9,6~cm.

N est le point d'intersection des droites (BT) et (RE). 

\bigskip

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(7,6)
%\psgrid
\psframe(0,2)(7,6) \psline(7,0)(7,2)
\psline(0,6)(7,0)
\uput[ul](0,6){B} \uput[ur](7,6){R} \uput[dr](7,2){E} 
\uput[dl](0,2){V} \uput[r](7,0){N} \uput[ur](4.62,2){T} 
\uput[u](3.5,6){13} \uput[l](0,4){7,2} \uput[d](2.31,2){9,6} 
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Démontrer que la longueur TE est égale à 3,4~cm. 
\item Calculer la longueur BT. 
\item Calculer la longueur EN. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire un triangle équilatéral FIO de 5~cm de côté. 
\item Construire le point R, symétrique de I par rapport au point O. 
\item Construire le point E, symétrique de I par rapport à la droite (OF). 
\item Construire le point U, symétrique de F par rapport au point O. 
\item Construire le point G, symétrique de F par rapport à la droite (IO). 
\item Tracer le polygone FIGURE. Quelle semble être sa nature ?
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{Exercice 3} 

\medskip

Dans la figure ci-dessous, qui n'est pas en vraie grandeur, on a :
 
E $\in $ [RD], C $\in $ [RU], RE = 3~cm, ED = 1,5~cm, RC = 2~cm et RU = 3~cm. 

\bigskip

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(5,3.5)
%\psgrid
\pspolygon(0.3,0.15)(4.3,0.6)(0,3)
\psline(2.86,0.45)(0.1,2)
\uput[dl](0.3,0.15){R} \uput[dr](4.3,0.6){U} \uput[ul](0,3){D} 
\uput[dr](2.86,0.45){C} \uput[ul](0.1,2){E}
\rput{7}(0.3,0.15){\psframe(0,0)(0.3,0.3)}  
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Démontrer que les droites (EC) et (DU) sont parallèles. 
\item Calculer le rapport d'agrandissement permettant de passer du triangle REC au triangle RDU. 
\item Montrer que l'aire du triangle RDU est égale à 2,25 fois l'aire du triangle REC.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Problème}\hfill 12 points}

\medskip
  
Une lanterne, entièrement vitrée, a la forme d'une pyramide reposant sur un parallélépipède rectangle ABCDEFGH.
 
S est le sommet de la pyramide.
 
O est le centre du rectangle ABCD.

SO est la hauteur de la pyramide. 

\psset{unit=1.25cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(3,6)
\psframe(0,0)(1.8,2.4)%EFBA
\psline(1.8,0)(2.9,1)(2.9,3.5)(1.4,5.6)(1.8,2.4)(2.9,3.5)%FGCSBC
\psline(1.4,5.6)(0,2.4)%SB
\psline[linestyle=dashed](0,0)(1.2,1)(1.2,3.5)(1.4,5.6)(1.5,2.95)
\pspolygon[linestyle=dashed](0,2.4)(2.9,3.5)(1.2,3.5)
\psline[linestyle=dashed](1.2,3.5)(1.8,2.4)
\psline[linestyle=dashed](1.2,1)(2.9,1)
\uput[dl](0,0){E} \uput[dr](1.8,0){F} \uput[r](2.9,1){G} \uput[ul](1.2,1){H} 
\uput[ul](0,2.4){A} \uput[dr](1.8,2.4){B} \uput[ur](2.9,3.5){C} \uput[ul](1.2,3.5){D} 
\uput[u](1.4,5.6){S} \uput[dl](1.5,2.95){O}
\uput[d](0.9,0){10 cm}\uput[r](2.35,0.5){10,5 cm} \uput[r](2.9,2.25){14 cm}
\end{pspicture}
\end{center} 

\textbf{Partie 1}

\medskip
 
Dans cette partie, la hauteur SO est égale à 12~cm. 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le volume du parallélépipède rectangle ABCDEFGH. 
		\item Calculer le volume de la pyramide SABCD. 
		\item En déduire le volume de la lanterne.
	\end{enumerate} 
\item Sachant que le segment [OC] mesure 7,25~cm, calculer une valeur approchée à 0,1 degré près de la mesure de l'angle $\widehat{\text{OSC}}$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie 2}

\medskip
 
Dans cette partie, on désigne par $x$ la hauteur SO en cm de la pyramide SABCD.
 
\begin{enumerate}
\item Montrer que le volume en cm$^3$ de la lanterne est donné par : 

$V(x) = \np{1470} + 35x$.
\item Calculer ce volume pour $x = 7$.
\item Pour quelle valeur de $x$ le volume de la lanterne est-il de \np{1862}~cm$^3$ ? 
\item Un tableur est utilisé pour calculer le volume de la lanterne, noté $V(x)$, pour plusieurs valeurs de $x$, hauteur de la pyramide. 

\medskip

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&A&B \\ \hline
1&$x$&$V(x)$\\ \hline
2&&\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(2.3,0.5)
\psframe(2.3,0.5)\end{pspicture}\\ \hline
3&&\\ \hline
4&&\\ \hline
5&&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

Parmi les formules ci-dessous, recopier celle que l'on  peut saisir dans la case B2 pour obtenir le calcul du volume de la lanterne :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{>{\centering \arraybackslash}X}} 
$\fbox{1470+35*A2}$&$\fbox{=1470+35/A2}$&$\fbox{=1470+35*A2}$\\ 
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\textbf{Partie 3}

\medskip

On s'intéresse à la surface vitrée de la lanterne.
 
Le graphique ci-dessous est celui de la fonction $f$ qui à $x$ associe l'aire, en cm$^2$, de cette surface vitrée.

\medskip

\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.05cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(0,780)(14.5,1020)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Oy=780,Dy=20]{->}(0,780)(14.5,1020)
\multido{\n=0+0.5}{30}{\psline[linewidth=0.25pt](\n,780)(\n,1020)}
\multido{\n=780+10}{25}{\psline[linewidth=0.25pt](0,\n)(14.5,\n)}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{14.5}{x 2 exp 27.5625 add sqrt 10 mul  x 2 exp 25 add sqrt 10.5 mul add 679 add}
\rput(12,785){hauteur de la pyramide (en cm)}
\rput(3,1025){aire de la surface vitrée $\left(\text{en cm}^2\right)$}
\end{pspicture}

\end{center} 

\bigskip

\begin{enumerate}
\item La fonction $f$ est-elle une fonction affine ?
\item Lire sur le graphique une valeur approchée de $f(11)$. 
\item Lire sur le graphique une valeur approchée de l'antécédent de $850$. 
\end{enumerate}
\end{document}