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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{Centres étrangers}}
\rfoot{\small{juin 2012}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
\textbf{Durée : 2 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Centres étrangers~\decofourright\\juin 2012}}

\vspace{0,25cm}

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.

\end{center}
 
\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Activités numériques} \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $\dfrac{1}{4} + \dfrac{2}{3} \times \dfrac{3}{4}.$ 
\item Au goûter, Lise mange $\dfrac{1}{4}$ du paquet de gâteaux qu'elle vient d'ouvrir.
 
De retour du collège, sa s{\oe}ur Agathe mange les $\dfrac{2}{3}$ des gâteaux restants dans le paquet entamé par Lise. Il reste alors 5 gâteaux.
 
Quel était le nombre initial de gâteaux dans le paquet ?
 
\emph{Si le travail n'est pas terminé, laisser tout de même une trace de la recherche. Elle sera prise en compte dans la notation.}
\end{enumerate}
 
\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip 

\parbox{0.48\linewidth}{Une usine doit fabriquer des boîtes cylindriques de 
contenance 250 cm$^3$ dont une représentation est donnée ci-contre.
 
\textbf{1.} On suppose que $x = 3$ cm. 
 
\hspace{0.35cm}\textbf{a.} Montrer que $h \approx 8,8$ cm.
 
\emph{Rappel : volume d'un cylindre : $\pi \times r^2 \times h$ ($r$ rayon de la base, $h$ hauteur du cylindre)}. 

\hspace{0.4cm}\textbf{b.} Voici le patron de cette boîte (le dessin n'est pas à l'échelle).
 
Calculer une valeur approchée de $L$ au mm près.} \hfill
\parbox{0.43\linewidth}{\psset{unit=0.75cm}
\begin{pspicture}(6.5,12)
\pscircle(4.2,0.8){0.8} \pscircle(1.5,4){0.8}
\psframe(0,1.6)(5,3.2)
\psline{<->}(1.5,4)(2.3,4)
\uput[u](1.9,4){$x = 3$}
\psline{<->}(0,1.8)(5,1.8)
\uput[u](2.5,1.8){$L$}
\psline{<->}(5.2,1.6)(5.2,3.2)
\uput[r](5.2,2.4){8,8}
\psellipse(3.8,11.8)(1.7,0.9)
\rput(3.8,6.7){\pstEllipse[linestyle=dashed]{1.7}{0.9}{0}{180}}
\rput(3.8,6.7){\pstEllipse{1.7}{0.9}{0}{-180}}
\psline(2.1,11.8)(2.1,6.7)
\psline(5.5,11.8)(5.5,6.7)
\psline[linestyle=dashed,linewidth=1.5pt]{<->}(3.8,6.7)(3.8,11.8)
\psline(3.8,6.7)(2.45,6.2) \uput[u](3.,6.3){$x$}
\uput[r](3.8,9.25){$h$} 
\end{pspicture}}
 
\medskip

\textbf{2.} On a représenté ci-dessous la hauteur de la boîte en fonction du rayon.

\begin{center}
\psset{unit=0.7cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(14,10)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange](0,0)(14,10)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(14,10)
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{2.85}{14}{81 x dup mul div}
\uput[u](12,0){Rayon en cm}\rput{90}(-0.9,5){hauteur en cm}
\end{pspicture}
\end{center} 

\hspace{0.35cm}\textbf{a.} La fonction représentée est-elle une fonction affine ? Justifier.
 
\hspace{0.35cm}\textbf{b.} Par lecture graphique, indiquer :
 
\hspace{0.35cm} $\bullet~~$ quel est approximativement le rayon correspondant à une hauteur de 2 cm.
 
\hspace{0.35cm} $\bullet~~$ quelle est approximativement la hauteur correspondant à un rayon de 4 cm.
 
\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip  

On considère les programmes de calcul suivants: 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X |p{0,5cm}|X|}\cline{1-1}\cline{3-3}
\multicolumn{1}{|c|}{Programme A}&&\multicolumn{1}{|c|}{Programme B}\\ \cline{1-1}\cline{3-3}
$\bullet~~$On choisit 5 comme nombre de départ.&&$\bullet~~$Choisir un nombre\\ 
$\bullet~~$Lui ajouter 1&&$\bullet~~$Ajoute 1 au double de ce nombre\\
$\bullet~~$Calculer le carré de la somme obtenue&&\\
$\bullet~~$Soustraire au résultat le carré du nombre de départ.&&\\ \cline{1-1}\cline{3-3}
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On choisit 5 comme nombre de départ.

Quel résultat obtient-on avec chacun des deux programmes ? 
\item Démontrer que quel que soit le nombre choisi, les résultats obtenus avec les deux programmes sont toujours égaux. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Activités géométriques} \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\emph{Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiples). Aucune justification n'est demandée. Pour chacune des questions, trois réponses sont proposées, une seule est exacte. Une réponse correcte rapporte $1,5$ point. Une réponse fausse ou l'absence de réponse ne retire aucun point.}

\medskip
 
\emph{Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse correcte.}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4.6cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
\multicolumn{4}{|c|}{\emph{L'échelle des figures n'est pas respectée.}} \\ \hline
\textbf{1.}

\psset{unit=0.9cm}
\begin{pspicture}(-0.5,0)(4.5,3)
\pspolygon(0,0)(3.5,0)(0,2.7)
\uput[l](0,0){N}\uput[r](3.5,0){P}\uput[l](0,2.7){M}
\psframe(0,0)(0.25,0.25)
\end{pspicture}

MN = 5 cm ; MP = 12 cm. L'angle $\widehat{\text{MPN}}$ vaut environ : &22,6\,\degres&65,4\,\degres&24,6\,\degres\\ \hline
\textbf{2.}

\psset{unit=0.9cm}
\begin{pspicture}(0,0)(4.7,2)
\psframe(0.8,0)(1.6,0.8)
\psline(1.6,0.8)(1.2,1)(0.4,1)(0.8,0.8) 
\psline(0.4,1)(0.4,0.2)(0.8,0)
\psline{<->}(0.2,0.2)(0.2,1) \uput[l](0.2,0.6){$c$}
\psframe(3.4,0)(4.6,1.2) 
\psline(4.6,1.2)(4,1.6)(2.8,1.6)(3.4,1.2)
\psline(2.8,1.6)(2.8,0.4)(3.4,0)
\psline{<->}(2.6,0.4)(2.6,1.6) \uput[l](2.6,1){$2c$}
\end{pspicture}

$V$ étant le volume du petit cube et $V'$ étant le volume du grand cube, on a :&$V'= 4V$ &$V' = 8 V$ &$V' =2V$\\ \hline
\textbf{3.}

\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(4.5,3)
\pspolygon(0,0)(3.5,0)(0,2.7)
\uput[d](1.75,0){3}\uput[ur](1.75,1.35){7}\uput[l](0,1.75){?}
\psframe(0,0)(0.25,0.25)
\end{pspicture}

La mesure manquante est :&$2\sqrt{10}$&$\sqrt{58}$&$4$\\ \hline
\textbf{4.}

\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(0,-0.5)(5,4)
\pspolygon(4.8,0.4)(3.6,3.5)(0.6,1.5)%NKM
\uput[dr](4.8,0.4){N}\uput[u](3.6,3.5){K}\uput[l](0.6,1.5){M}
\uput[l](2.2,2.88){L}\uput[r](4.1,2.2){P}
\uput[d](2.5,0.5){(MN) // (LP)}
\psline(2.4,2.72)(4.1,2.2)
\psline{<-}(0.52,1.24)(2.5,0.76)
\psline{->}(2.7,0.72)(4.7,0.2)\rput(2.55,0.7){?}
\psline{<-}(2.17,2.6)(3,2.35)
\psline{->}(3.37,2.25)(4.1,2.)
\psline{<->}(0.5,1.73)(2.3,2.9)\rput(1.12,2.4){4}\rput(2.7,3.4){2}
\psline{<->}(2.3,2.9)(3.48,3.65) \rput(3.2,2.33){3}
\end{pspicture}

La mesure de [MN] est :&égale à 6 cm&égale à 9 cm&environ 6 cm\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip
 
Lors de sa sortie au Mont Saint Michel, un élève achète un souvenir  dans une boutique.
 
Cet objet est assimilé à un solide composé d'une calotte sphérique de rayon 4,5 cm posée sur un cylindre de hauteur 3,8~cm.
 
Voici ci-dessous une représentation en perspective de cet objet: 

\medskip

\parbox{0.45\linewidth}{\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(-3.5,0)(3.5,9)
\rput(0,3.2){\pstEllipse[linestyle=dashed]{2.4}{0.85}{0}{180}}
\rput(0,3.2){\pstEllipse{2.4}{0.85}{0}{-180}}
\rput(0,5.5){\pstEllipse[linestyle=dashed]{3.4}{1.2}{0}{180}}
\rput(0,5.5){\pstEllipse{3.4}{1.2}{0}{-180}}
\psline[linestyle=dashed](-3.4,5.5)(3.4,5.5)
\psline[linestyle=dashed](0,3.2)(0,8.8)
\psline[linestyle=dashed](-2.4,3.2)(2.4,3.2)
\psarc(0,5.5){3.4}{-47}{227}
\psline(-2.4,1)(-2.4,3.2)
\psline(2.4,1)(2.4,3.2)
\rput(0,1){\pstEllipse{2.4}{0.85}{0}{-180}}
\uput[ul](0,5.5){O}\uput[dl](0,3.2){O$_{1}$}\rput(1,2.8){$\mathcal{D}$}
\uput[l](-2.4,3.2){A}
\psline{<->}(0.4,3.2)(0.4,5.5)\uput[r](0.4,4.35){$h$}
\end{pspicture}}\hfill \parbox{0.52\linewidth}{O est le centre de la calotte sphérique et 
O$_{1}$ est le centre d'une des bases du cylindre.

A est un point de la section du cylindre avec la sphère de centre O et O$_{1}$A = 3,6~cm.}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la distance $\text{OO}_{1} = 2,7~$cm. 
		\item Quelle est la hauteur totale de l'objet ?
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item La maquette du Mont Saint Michel qui est à l'intérieur de la calotte sphérique est assimilée à un cône de hauteur 4,7~cm dont la base a pour rayon 3,6 cm.
		 
Montrer qu'une valeur approchée du volume de cette maquette est 64 cm$^3$. 

(\emph{Rappel :  volume d'un cône : $\dfrac{1}{3} \times$ aire  de base $\times$ hauteur}). 
		\item On admet que la calotte sphérique a un volume d'environ 342 cm$^3$. 
		
Est-il vrai que le volume de la maquette représente moins de 20\,\% du volume de cette calotte sphérique ? \emph{Justifier le réponse}.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points}

\medskip

Dans le cadre d'un projet pédagogique, des professeurs préparent une sortie au Mont Saint Michel avec les 48 élèves de 3\up{e}.
 
Deux activités sont au programme : 

$\bullet~~$la visite du Mont et de son abbaye ;
 
$\bullet~~$la traversée à pied de la baie du Mont Saint Michel. 

\bigskip

\textbf{Partie 1 : Financement de la sortie}

\medskip
 
Le coût total de cette sortie (bus, hébergement et nourriture, activités, ... ) s'élève à 120~\euro{} par élève.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Le FSE (foyer socio-éducatif) du collège propose de prendre en charge 15\,\% du coût total de cette sortie.
 
Quelle est la somme prise en charge par le FSE ? 
\item Pour réduire encore le coût, les professeurs décident d'organiser une tombola.
 
Chaque élève dispose d'une carte contenant 20 cases qu'il doit vendre à 2~\euro{} la case.
 
En décembre, les professeurs font le point avec les 48 élèves sur le nombre de cases vendues par chacun d'entre eux.
 
Voici les résultats obtenus : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Nombre de cases vendues&10 &12 &14 &15 &16 &18 &20\\ \hline 
Nombre d'élèves &5 &12 &9 &7 &5 &6 &4\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
	\begin{enumerate}
		\item Quel est le nombre total de cases déjà vendues en décembre? 
		\item Quelle somme d'argent cela représente-t-il ? 
		\item Quel est le pourcentage d'élèves ayant vendu 15 cases ou moins ? (arrondir à l'unité). 
		\item Quel est le nombre moyen de cases vendues par élève ? (arrondir à l'unité).
	\end{enumerate} 
\item Les 92 lots à gagner sont les suivants :

\setlength\parindent{10mm} 
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] un vélo ; 
\item[$\bullet~~$] un lecteur DVD ; 
\item[$\bullet~~$] 20 DVD ; 
\item[$\bullet~~$] 20 clés USB de 4 GO ; 
\item[$\bullet~~$] 50 sachets de chocolats.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm} 
 
Ces lots sont fournis gratuitement par trois magasins qui ont accepté de sponsoriser le projet.

Le tirage au sort a lieu au mois de mars. Les $960$ cases ont toutes été vendues.

Une personne a acheté une case.

\medskip

	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la probabilité que cette personne gagne un lot ? (arrondir au centième)
		\item Quelle est la probabilité que cette personne gagne une clé USB ? (arrondir au centième)
	\end{enumerate}
 \end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie 2 : Travail effectué en mathématiques sur le Mont}

\medskip
 
Avant la sortie, les professeurs de mathématiques donnent ces deux exercices à leurs élèves.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 

Alexandre souhaite savoir à quelle distance il se trouve du Mont à l'aide d'un théodolite (appareil servant à mesurer des angles). Il sait que le sommet S  du Mont est à 170 m d'altitude. Son {\oe}il (O sur le dessin) étant situé à 1,60 m du sol, il obtient la mesure  suivante : $\widehat{\text{SOH}} = 25$\,\degres. (\emph{Le dessin n'est pas réalisé à l'échelle}).

\begin{center}
\psset{unit=0.6cm}
\begin{pspicture}(0,-0.5)(19,5)
\psline(0,0)(19,0)
\psline[linestyle=dashed](0.6,0.9)(16,0.9)(16,5.5)(0.6,0.9)
\psframe(0.6,0.9)(0.9,0.6) \psframe(16,0.9)(15.7,0.6)  \psframe(16,0)(15.7,0.3)
\uput[d](0.6,0){L}\uput[u](0.6,0.9){O}\uput[r](16,0.9){H}\uput[d](16,0){K}
\uput[ur](16,5.5){S}\psline(16,0.9)(16,0)
\psline(0.6,0.9)(0.6,0)
\psarc(0,0.9){1.4cm}{0}{12.5}
\end{pspicture}
\end{center} 
 
À quelle distance LK du Mont se trouve-t-il ? (Donner une valeur approchée au mètre). 
\item Sachant que le Mont est inscrit dans un rectangle de 225 m sur 285 m , on peut dire que la superficie de la partie émergée du Mont se situe :

\setlength\parindent{10mm} 
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] entre \np{10000} m$^2$ et \np{40000} m$^2$, 
\item[$\bullet~~$] entre \np{40000} m$^2$ et \np{80000} m$^2$, 
\item[$\bullet~~$] entre \np{80000} m$^2$ et \np{150000} m$^2$,
\item[$\bullet~~$] entre \np{150000} m$^2$ et \np{200000} m$^2$. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm} 

Quelle est la bonne réponse ? Justifier.
\end{enumerate}
\emph{Si la feuille annexe est utilisée pour la justification, joindre la feuille à la copie.}

\medskip
 
\textbf{Même si elle n'aboutit pas, laisser une trace de la recherche.} 

\bigskip

\textbf{Partie 3 : La traversée de la baie}

\medskip 
  
Le Mont Saint Michel est entouré par la mer qui est soumise au phénomène des marées. 

La traversée de la baie ne peut se faire qu'à marée basse.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 

Le tableau ci-dessous est extrait d'un calendrier des marées :
 
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{10}{>{\scriptsize\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&\multicolumn{6}{|c|}{Pleines mers}&\multicolumn{4}{|c|}{Basses mers}\\ \hline  
Date&Matin&haut&coef.&Soir&haut.&coef.&Matin&haut.&Soir&haut.\\ \cline{2-11}
&h~:~min&m&&h~:~min&m&&h~:~min&m&h~:~min&m\\ \hline
1 M	&3 26	&3,65&72	&15 48	&4,05 	&77	&9 26	&1,00	&22 01&0,80\\ 
2 M	&4 24	&4,00&81	&16 43	&4,25	&86	&10 22	&0,85	&22 57&0,60\\
3 J	&5 19	&4,15&90	&17 35	&4,40	&93	&11 14	&0,70	&23 50&0,45\\
4 V	&6 10	&4,20&95	&18 25	&4,45	&96	&- -	&- -	&12 03&0,65\\
5 S	&6 58	&4,15&96	&19 13	&4,45	&95	&0 40	&0,40	&12 51&0,65\\
6 D	&7 43	&4,05&93	&20 00	&4,30	&90	&1 30	&0,45	&13 57&0,70\\
7 L	&8 27	&3,90&86	&20 46	&4,15	&81	&2 16	&0,60	&14 23&0,85\\
8 M	&9 11	&3,70&76	&21 31	&3,90	&70	&3 01	&0,60	&15 09&1,05\\
9 M	&9 57	&3,55&85	&22 20	&3,65	&59	&3 46	&1,05	&15 57&1,25\\
10 J&10 49	&3,35&53	&23 16	&3,40	&48	&4,35	&1,30	&16 51&1,45\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

	\begin{enumerate}
		\item Quel jour la marée est-elle basse à 11 h 14 min ? 
		\item Le samedi 5, quelle est la durée écoulée entre les deux « pleines mers » ?
	\end{enumerate} 		 
\item Les professeurs souhaitent faire la traversée un mardi après midi. Avant de fixer une date, ils regardent le calendrier des marées.
 
Quel mardi doivent-ils choisir ? \textbf{Justifier}.
\item Le trajet prévu est long de 13 km et devra se faire en 2 h 30 min. Quelle sera la vitesse moyenne du groupe en km/h ?
\end{enumerate} 
\end{document}