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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges }
\lfoot{\small{septembre 2001}}
\rfoot{\small{Clermont-Ferrand}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet - Clermont-Ferrand 
  septembre 2001 \decofourright}}}

\vspace{0,5cm}

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Dans chaque ligne du tableau, trois affirmations sont proposées. Une seule est exacte.

 Pour chaque ligne, recopier l'affirmation exacte sur la copie.
 
\medskip
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash \footnotesize}X|}}\hline
Proposition \no 1&	Proposition \no 2&	Proposition \no 3\\ \hline
\rule[-4mm]{0mm}{10mm}$\dfrac{2}{5}+ \dfrac{5}{12} - \dfrac{1}{15} = \dfrac{23}{30}$&$\dfrac{2}{5}+ \dfrac{5}{12} - \dfrac{1}{15} = 3$&$\dfrac{2}{5}+ \dfrac{5}{12} - \dfrac{1}{15} = 0,75$\\ \hline
\rule[-4mm]{0mm}{10mm}$\dfrac{8}{25} : \dfrac{16}{75} = \dfrac{2}{3}$&$\dfrac{8}{25} : \dfrac{16}{75} = \dfrac{3}{2}$&$\dfrac{8}{25} : \dfrac{16}{75} = \dfrac{1}{6}$\\ \hline
\rule[-3mm]{0mm}{8mm}$\sqrt{16+9} = 7$&$\sqrt{16+9} = 5$&$\sqrt{16+9} = 12$\\ \hline
\rule[-3mm]{0mm}{8mm}$(2x - 5)^2 = 4x^2-14x+25$&$(2x - 5)^2 = 4x^2-20x+25$&$(2x - 5)^2 = 4x^2-25$\\ \hline
\rule[-3mm]{0mm}{8mm}$49x^2- 25 = (7x - 5)^2$&$49x^2- 25 = (7x - 5)(7x + 5)$&$49x^2- 25 = (7x - 5)(7x - 5)$\\ \hline
$(x+3)(x-5)- (x - 2) (x + 3) =-8(x+3)$&$(x + 3)(x - 5)- (x - 2) (x + 3) = (x+3) (2x-7)$&$(x+3)(x-5)- (x - 2) (x + 3) = -3(x + 3)$\\ \hline
$(-2)$ est solution de l'équation $(x-2)(2x+4)=0$&$(-2)$ est solution de l'équation $x^2+4=0$&$(-2)$ est solution de l'équation $-2x + 4 = 0$\\ \hline
102 est solution de l'inéquation $2x+1 \leqslant 3$&102 est solution de l'inéquation 
$-2x+1\leqslant 3$&102 est solution de l'inéquation $-2x + 1 > 3$\\ \hline
\end{tabularx}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Le 19 juin 1997  le taux de conversion de l'euro a été fixé à : 1 euro =  \np{6,55957} francs.
\begin{enumerate}
\item  Compléter le tableau suivant en arrondissant les réponses au centième.

\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{2,5cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Nature de l'objet	& Un réfrigérateur	&Un sèche-cheveux	&Un manteau	&Un baladeur\\ \hline
Prix en francs		&					&128				&\np{1200}	&	\\ \hline
Prix en euros		&373,50				&					&			&29,73\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item  On nous conseille une \og bonne \fg{} méthode : pour obtenir le prix (approché) en euros d'un objet qui coûte $S$ francs, ajouter $S$ à la moitié de $S$ puis diviser ce résultat par 10.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la \og bonne \fg{} méthode conseillée revient à dire que le prix en euros d'un objet qui coûte $S$ francs est à peu près $\dfrac{3S}{20}$.
		\item En remarquant que \np{6,55957} est peu différent de $\dfrac{20}{3}$, expliquer pourquoi la méthode proposée permet de convertir rapidement le prix en francs en une valeur approchée du prix en euros.
		\item Si l'on applique la « bonne » méthode conseillée, que trouvera-t-on pour les prix en euros du sèche-cheveux et du manteau de la question 1 ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\parbox{0.55\linewidth}{\psset{unit=0.9cm}\begin{pspicture}(-0.50,-0.6)(6,3)
\pspolygon(0,0)(5.3,0)(2,2.6)
\psline(2,2.6)(2,0)
\psline(0.8,1)(4.1,1) 
\uput[u](2,2.6){A} \uput[dl](0,0){B} 
\uput[dr](5.3,0){C} \uput[ur](2,1){D} 
\uput[d](2,0){H} \uput[ul](0.8,1){M} 
\uput[ur](4.1,1){N} 
\end{pspicture}} \hfill
\parbox{0.4\linewidth}{On donne la figure ci-contre dans laquelle les dimensions ne sont pas respectées.

Les longueurs réelles sont :
 
AM = 9 cm, MB = 6 cm
  
BH = 9 cm,  HC =  16 cm
   
AC =  20 cm}

\medskip

Les droites (MN) et (AH) sont perpendiculaires, ainsi que les droites (BC) et (AH).

\medskip

Les questions sont indépendantes.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Reproduire la figure à l'échelle 1/2 en tenant compte des dimensions réelles.
\item   Calculer la longueur AH en justifiant ce calcul.
\item  Calculer le cosinus de l'angle $\widehat{\text{ABH}}$ ; en déduire une valeur approchée au degré près de la mesure en degrés de l'angle $\widehat{\text{ABH}}$.
\item   Justifier que les droites (MN) et (BC) sont parallèles. Calculer la longueur MD en justifiant ce calcul.
\item   Le triangle ABC est-il rectangle en A ? Justifier la réponse.
\end{enumerate}
  
\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Dans un plan muni du repère orthonormé (O, I, J),  placer les points :
\[\text{A}(8~;~1) \qquad  \text{B}(4~;~8) \quad\text{et} \quad \text{C}(- 4~;~7)\]

\begin{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  Donner sans justifier les coordonnées du vecteur 
		$\vect{\text{OC}}$ et les coordonnées du vecteur $\vect{\text{AB}}$.
		\item  Que peut-on en déduire pour le quadrilatère OABC ?
	\end{enumerate}
\item   Démontrer que OABC est un losange.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{PROBLÈME \hfill 12 points}

\bigskip

Les salaires mensuels de trois commerciaux, Ernest, Gilbert et Henri, sont calculés de la manière suivante.

\begin{itemize}
\item[$\bullet~$]  Pour Ernest t 40\:\%
du bénéfice réalisé grâce à ses ventes mensuelles.
\item[$\bullet~$] Pour Gilbert \np{6000}~F auxquels s'ajoutent 15\:\% 
du montant du bénéfice réalisé grâce à ses ventes mensuelles.
\item[$\bullet~$] Pour Henri : \np{12000}~F (sans tenir compte de ses ventes).
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Si le bénéfice réalisé grâce à ses ventes mensuelles est de \np{16000}~francs, montrer que le salaire de Gilbert est alors de \np{8400}~francs.
		\item Au cours d'un mois, Ernest, Gilbert et Henri remarquent que pour chacun d'eux le bénéfice réalisé grâce à ses ventes a été de \np{28000}~F. Calculer le salaire mensuel de chacun d'eux.
		\item Quel est le montant du bénéfice qu'Ernest doit réaliser sur ses ventes s'il veut obtenir \np{12000}~F à la fin du mois ?
	\end{enumerate}
\item  On désigne par $x$ le montant, en francs, du bénéfice réalisé grâce aux ventes mensuelles d'un commercial.
	\begin{enumerate}
		\item  Exprimer, en fonction de $x$, le salaire mensuel de chacun des commerciaux.
		\item  On a tracé ci-après, dans un repère, la représentation graphique de la fonction $e$ définie par : $e~ :~ x \mapsto  0,40x$ pour les valeurs positive de $x$.
		
De quel commercial a-t-on ainsi représenté le salaire ? Que représente la graduation sur l'axe des abscisses ? Sur l'axe des ordonnées ?
		\item  Dans le même repère, tracer la représentation graphique de la fonction $g$ définie par $g~:~ x \mapsto  0,15x + \np{6000}$ pour les valeurs positives de $x$.
		\item Représenter graphiquement le salaire de Henri dans ce même repère.
\end{enumerate}

\emph{Pour répondre aux questions} 3. a \emph{et} 3. b., \emph{laisser les traits nécessaires à la lecture apparents sur le graphique et rédiger la réponse sur la copie.}

\item  
	\begin{enumerate}
		\item  Au cours d'un mois, Ernest, Gilbert et Henri ont remarqué que le bénéfice réalisé grâce à leurs ventes a été identique pour chacun d'eux et d'un montant de \np{32000}~F. En utilisant le graphique, donner une valeur approchée du salaire de chacun d'eux.
		\item  Déterminer graphiquement une estimation du montant du bénéfice réalisé grâce à leurs ventes mensuelles pour lequel Gilbert et Henri obtiendraient le même salaire à la fin du mois.
		\item  Trouver la valeur exacte de ce montant en résolvant une équation.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip
 
\psset{unit=0.000218cm}
\begin{pspicture}(-5000,0)(50000,22500)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=50000,Dy=50000]{->}(0,0)(50000,22500)
\multido{\n=0+2500}{21}{\psline[linewidth=0.3pt](\n,0)(\n,22500) }
\multido{\n=0+5000}{11}{\uput[d](\n,0){\np{\n}}}
\multido{\n=0+2500}{10}{\psline[linewidth=0.3pt](0,\n)(50000,\n)}
\multido{\n=0+5000}{5}{\uput[l](0,\n){\np{\n}}}
\psline(0,0)(50000,20000)
\end{pspicture}
\end{document}