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%tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges} 
\lfoot{\small{Groupement Est}} 
\rfoot{\small{juin 2004}} 
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Diplôme national du brevet juin 2004~\decofourright\\ 
Groupe Est}} 
\end{center} 

\vspace{0,5cm} 

Calculatrice autorisée \hfill 2 heures 

\vspace{0,25cm} 

\begin{center} 

\textbf{Il sera tenu compte de la qualité de la rédaction et de la 
présentation (4 points)} 

\end{center} 

\textbf{\textsc{Activités numériques }\hfill 12 points} 

\bigskip 

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Soient les expressions 

A$ = \dfrac{9}{5} - \dfrac{2}{5} \times 
\dfrac{11}{4}$ et  B $ = 5\sqrt{3} - 4\sqrt{27} + \sqrt{75}$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer A en détaillant les étapes du calcul et écrire le résultat sous la forme d'une fraction irréductible. 
\item Calculer et écrire B sous la forme 
$a \cdot \sqrt{b}$, où $a$ et $b$ sont des entiers relatifs, $b$ étant un nombre positif le plus petit possible. 
\end{enumerate}

\bigskip 

\textbf{Exercice 2}

\medskip
 
On considère l'expression $C = (2x - 1)^2 +(2x-1)(x+5)$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire l'expression $C$. 
\item Factoriser l'expression $C$. 
\item Résoudre l'équation $(2x - 1)(3x +4) = 0$.
\end{enumerate}

\bigskip  

\textbf{Exercice 3} 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Les nombres 682 et 352 sont-ils premiers entre eux ? Justifier. 
\item Calculer le plus grand diviseur commun (PGCD) de 682 et 352. 
\item Rendre irréductible la fraction $\dfrac{682}{352}$ en indiquant 
clairement la méthode utilisée. 
\end{enumerate}

\bigskip  

\textbf{Exercice 4}

\medskip

Le diagramme en barres ci-dessous donne la répartition des notes obtenues à un 
contrôle de mathématiques par les élèves d'une classe de $3$\up{e}. 

\vspace{0,5cm} 

\begin{center} \psset{xunit=0.8cm,yunit=0.75cm}\begin{pspicture}(12,8) 
\multido{\n=0+1}{9}{\psline(0,\n)(12,\n)} 
\multido{\n=0+1}{9}{\uput[l](0,\n){\n}} 
\uput[d](1,0){8} \uput[d](2.5,0){9} \uput[d](4,0){10} 
\uput[d](5.5,0){11} \uput[d](7,0){12} \uput[d](8.5,0){13} 
\uput[d](10,0){14} \uput[d](11.5,0){15} 
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.5,0)(1.5,2) 
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](2,0)(3,5) 
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](3.5,0)(4.5,2) 
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](5,0)(6,2) 
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](6.5,0)(7.5,3) 
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](8,0)(9,2) 
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](9.5,0)(10.5,7) 
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](11,0)(12,2) 
\rput{90}(-1,4){effectifs} 
\uput[d](11.5,-1){notes} 
\psline(0,0)(0,8) 
\end{pspicture} 
\end{center} 

\vspace{0,4cm}

\begin{enumerate}
\item Combien d'élèves y a-t-il dans cette classe ? 
\item Quelle est la note moyenne de la classe à ce contrôle ? 
\item Quelle est la note médiane ? 
\item Quelle est l'étendue de cette série de notes ?
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Activités géométriques} \hfill 12 points} 

\bigskip 

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Les segments [CA] et [UI] se coupent en M.

On a : MO = 21, MA = 27, MU = 28, MI = 36, AI = 45 
(l'unité de longueur étant le millimètre).

\vspace{0,25cm} 

\parbox[l]{0.45\textwidth}{\begin{enumerate}\item Prouver que les droites (OU) et (AI) sont parallèles.\\ 
\item Calculer la longueur OU.
\item Prouver que le triangle AMI est un triangle rectangle. 
\item Déterminer, à un degré près, la mesure de l'angle 
$\widehat{\text{AIM}}$.
\item Montrer que les angles $\widehat{\text{MAI}}$ et 
$\widehat{\text{MOU}}$ ont la même mesure.
\end{enumerate}} \hfill 
\parbox{0.5\textwidth}{\begin{pspicture}(3.6,4) 
\pspolygon(0.5,0)(3.2,3.5)(0,3.5)(4.55,0)%AOUI 
\uput[r](2,2){M} 
\uput[l](0.5,0){A} \uput[u](3.2,3.5){O} 
\uput[u](0,3.5){U} \uput[r](4.55,0){I} 
\end{pspicture}} 

\bigskip  

\textbf{Exercice 2}

\medskip
 
Sur la figure annexe que vous devrez rendre avec la copie, on considère 
la figure $\mathcal{F}$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire 

	\begin{enumerate}
		\item la figure $\mathcal{F}_{1}$, image de la figure $\mathcal{F}$ par la symétrie  centrale de centre B (nommer E l'image de A). 
		\item la figure $\mathcal{F}_{2}$, image de la figure $\mathcal{F}_{1}$ par la symétrie centrale de centre C (nommer T l'image de E). On hachurera, sur le dessin, les figures $\mathcal{F}_{1}$ et $\mathcal{F}_{2}$ ainsi obtenues. 
	\end{enumerate}
\item Quelle transformation permet de passer directement de la figure $\mathcal{F}$ à 
$\mathcal{F}_{2}$ ? 
\end{enumerate}

\bigskip 

\textbf{Exercice 3}

\medskip

La balise ci-contre est formée d'une demi-boule 
surmontée d'un cône de révolution de sommet A.
 
Le segment [BC] est un diamètre de la base du cône et le point O est le centre de  cette base.

On donne AO = BC = 6 dm.

\medskip

\parbox[l]{0.42\textwidth}{
\begin{enumerate}\item Montrer que : AB = $3\sqrt{5}$ dm.
\item Dans cette question, on se propose de calculer des volumes. 
\begin{enumerate}\item Calculer en fonction de $\pi$ le volume du cône (on donnera la valeur exacte de ce volume) 
\item Calculer en fonction de $\pi$ le volume de la demi-boule (on donnera la valeur 
exacte de ce volume).
\item Calculer la valeur exacte du volume de la balise, puis en donner la valeur 
arrondie à 0,1 dm$^3$ près.
\end{enumerate}
\end{enumerate}} \hfill 
\parbox{0.5\textwidth}{\begin{pspicture}(-0.8,0)(4,7.3) 
\psarc(2,2){2cm}{180}{360} 
\psline(0,2)(2,6)(4,2) 
\psline[linestyle=dotted](0,2)(4,2) 
\psline[linestyle=dotted](2,2)(2,6) 
\psellipse(2,2)(2,0.75) 
\psline(2,2.2)(2.2,2.2)(2.2,2) 
\psline(2,6)(2,7.2) 
\psframe*(2,7.2)(3,6.8) 
\uput[ul](2,6){A} \uput[l](0,2){B} \uput[r](4,2){C} 
\uput[d](2,2){O} 
\end{pspicture}} 

\medskip

\textbf{On rappelle que} si $V$ est le volume d'une boule de rayon $R,~ V = 
\dfrac{4}{3} \times \pi \times R^3$. 

\textbf{On rappelle que} si $V$ est le volume d'un cône de hauteur $h$ et de rayon 
$r$, $V = \dfrac{\pi \times r^2 \times h}{3}$. 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points}

\bigskip 

On considère un triangle ABC rectangle en A tel que

AB = 6 cm et AC = 4 cm. 

\bigskip 

\textbf{Partie 1} 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire ce triangle. 
\item Placer le point M sur le segment [AB] tel que BM~=~3,5~cm et tracer la droite passant par le point M et perpendiculaire à la droite (AB) ; elle coupe le segment [BC] en E. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer AM 
		\item Démontrer que les droites (AC) et (ME) sont parallèles. 
		\item Calculer EM (on donnera le résultat sous la forme d'une fraction irréductible). 
		\item Le triangle AEM est-il un triangle isocèle en M ? 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip  

\textbf{Partie 2}

\medskip

On souhaite placer le point $M$ sur le segment [AB] de façon à ce que le triangle 
AE$M$ soit isocèle en $M$ comme sur la figure ci-dessous que l'on ne demande pas 
de refaire. On rappelle que : AB = 6 cm et AC = 4 cm. 
Les droites ($M$E) et (AB) sont perpendiculaires. 

\parbox[l]{0.4\textwidth}{\textbf{1.} On pose B$M = x$ (on a donc : 
$0 \leqslant x \leqslant 6$). Démontrer, en utilisant la propriété 
de Thalès, que $M$E = $\dfrac{2}{3}x$.

\textbf{2.} Première résolution du problème posé.
 
\textbf{a.} Montrer que $M$A = $6 - x$.

\textbf{b.} Calculer $x$ pour que le triangle A$M$E soit isocèle en $M$.} 
\hfill 
\parbox[l]{0.55\textwidth}{\begin{pspicture}(5,3.5) 
\pspolygon(0,0)(4.8,0)(0,3.2)(0,0)(1.4,2.3)(1.4,0)%ABCAEM 
\uput[d](0,0){A} \uput[ur](4.8,0){B} \uput[u](0,3.2){C} 
\uput[ur](1.4,2.3){E} \uput[d](1.4,0){$M$} 
\end{pspicture}} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{3.} Soit un repère orthogonal avec pour unités 2 cm sur l'axe des abscisses et 1 cm sur l'axe des ordonnées. 

\begin{enumerate}
\item[\textbf{a.}] Représenter, dans ce repère, les fonctions $f$ et $g$ définies par : 

\[f(x) = \dfrac{2}{3}x \qquad \text{et} \qquad g(x) = 6-x, \qquad 
\text{pour}\qquad 0 \leqslant x \leqslant 6.\] 

\item[\textbf{b.}] En utilisant ce graphique, retrouver le résultat de la question 
\textbf{2 b}. 

\end{enumerate}

\newpage 

\begin{center} 
\textbf{ Feuille annexe à rendre avec la copie} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{Activités géométriques} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2} 

\vspace{1cm}\psset{unit=4.5mm}\begin{pspicture}(26,18) 
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1] 
\pspolygon[linewidth=2pt,fillstyle=solid,fillcolor=white](7,7)(7,9)(9,9)(10,7) 
\psline(12.9,11.1)(13.1,10.9) \psline(12.9,10.9)(13.1,11.1) 
\psline(17.9,8.1)(18.1,7.9) \psline(17.9,7.9)(18.1,8.1) 
\uput[dl](7,7){A} \uput[ul](13,11){B} \uput[dr](18,8){C} 
\rput(8.5,8){$\mathcal{F}$} 
\end{pspicture}\end{center} 
\end{document}
