\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pstricks,pst-plot}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\setlength{\textheight}{23,5cm}
\setlength{\voffset}{-2,5cm}
\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Brevet des collèges},
pdftitle = {Est septembre 2003},
allbordercolors = white} 
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{Groupe Est}}
\rfoot{\small{septembre 2003}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 2 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Groupe Est septembre 2003 \decofourright}}
 \end{center}

\vspace{0,25cm} \normalsize{}

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES} \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1}}

\medskip

Montrer que les deux expressions numériques A et B ci-dessous sont égales

\medskip

à $\dfrac{1}{2}$. Les calculs devront être détaillés.

\[\text{A} = \dfrac{2}{3} - \dfrac{5}{3} \times\dfrac{1}{10}\quad ;\quad \text{B}  = \dfrac{4 \times 10^{-10}  \times 3 \times 10^5 \times 10^{-1}}{6 \times \left(10^{-2}\right)^5  \times 2^2 \times 10^4}.\]		
\medskip

\textbf{\textsc{Exercice 2}}

\medskip

On considère l'expression $C = (3x - 5)^2 - (3x - 5) (2x + 3).$

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire l'expression $C$.
\item Factoriser $C$.	
\item Résoudre l'équation : $(3x- 5)(x- 8) = 0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3}}

\medskip

On donne les nombres $a = \np{1950}$ et $b = \np{3640}$.
\begin{enumerate}
 \item  Calculer le PGCD des deux nombres $a$ et $b$.
 \item En déduire la forme irréductible de la fraction $\dfrac{a}{b}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 4}}

\medskip
	
\begin{enumerate}
\item Résoudre le système suivant : 
 $\left\{\begin{array}{l c r}		
 6x + 9y &=& \np{1776}\\ 	
x + y &=& 225\\ 
\end{array}\right.$
\item Dans un grand parc d'attractions, le prix d'entrée est de 6 euros pour les enfants et de 9 euros pour les adultes.

On a acheté 225 entrées pour \np{1776} euros.
Combien d'enfants sont allés au parc d'attractions ?
\end{enumerate}
	
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES} \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans un repère orthonormé (O ;  I, J) d'unité 1 cm, placer les points suivants : A$(-4~;~- 2)$ ; B$(-1~;~- 5)$	et	C(4~;~0).
\item Montrer que AC $ =  2\sqrt{17}$. 
\item Calculer les coordonnées du point M, milieu du segment [AC].
\item Montrer que BM $=  \sqrt{17}$. En déduire la nature du triangle ABC.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Tracer un cercle $\mathcal{C}$ de centre O et de rayon 4 cm. Placer deux points A et  B sur ce cercle tels que $\widehat{\text{AOB}} =  70~\degres$. Construire le  point C diamétralement   opposé au point A sur le cercle $\mathcal{C}$.
\item Démontrer que le triangle ABC est rectangle.
\item Expliquer pourquoi la mesure de l'angle $\widehat{\text{ACB}}$ est $35~\degres$.
\item Calculer la longueur AB (donner la valeur arrondie au mm près).
\item Construire le point D, image du point C par la translation de vecteur $\vect{\text{BA}}$.

Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ?  Expliquer pourquoi  le point D est  aussi sur le cercle $\mathcal{C}$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{PROBLÈME} \hfill 12 points}
	
\bigskip

\textbf{Partie I}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Tracer un triangle ABC tel que : AB = 12 cm ; AC = 9 cm et BC = 15 cm.

On laissera apparents les traits de construction.
\item Démontrer que ABC est un triangle rectangle en A.
\item Montrer que l'aire du triangle ABC est égale à 54 cm$^2$.
\item Placer M le point du segment [AB] tel que AM =  8 cm et N le point de [AC] tel que AN = 6 cm.

Démontrer que les droites (MN) et (BC) sont parallèles. 
\item Montrer que l'aire du triangle AMN est de 24 cm$^2$. 	
\end{enumerate}

\emph{Dans la suite du problème, on considère la pyramide} SABC \emph{de base le triangle} ABC \emph{précédent et de hauteur} [AS], \emph{tel que} AS =  18 cm.

\emph{La figure ci-dessous n'est pas en vraie grandeur.}

\bigskip

\textbf{Partie II}

\medskip

\parbox{0.65\textwidth}{Dans cette partie, on place un point R sur le
segment [SA] tel que : 
AR $= \dfrac{2}{3}$ AS.

\begin{enumerate}
\item Prouver que le volume V de la pyramide SABC est égal à 324 cm$^3$.
\item Calculer la longueur AR.
\item Calculer le volume V$'$  de la pyramide RAMN. 
\item Vérifier que : $\dfrac{\text{V}}{\text{V}'}= \left(\dfrac{2}{3}\right)^3$.
\end{enumerate}} \hfill \parbox{0.3\textwidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(3.5,5)
\pspolygon(0,0)(3.3,0.65)(0.8,4.7)
\psline[linestyle=dashed](0.8,4.7)(0.8,1)(0,0)%SAC
\psline[linestyle=dashed](0.8,1)(3.3,0.65)%AB
\pspolygon[linestyle=dashed](2.5,0.75)(0.3,0.35)(0.8,3.5)%MNR
\uput[ur](0.8,1){A} \uput[r](3.3,0.65){B} \uput[dl](0,0){C} 
\uput[l](0.8,4.7){S} \uput[ur](2.5,0.75){M} \uput[dr](0.3,0.45){N} \uput[ur](0.8,3.5){R} 
\end{pspicture}}

\bigskip

\textbf{Partie III}

\medskip

Dans cette partie, on place un point $R$ sur le segment [SA] tel que S$R =  x$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Exprimer en fonction de $x$ la longueur A$R$. 
\item Prouver que le volume V$''$, de la pyramide RAMN peut s'écrire
V$'' =  8(18 - x)$.
\item Soit $f$ la fonction affine définie par : $f(x) = 8(18 - x)$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f(0)$ et $f(8)$.
		\item Sur papier millimétré, tracer un repère orthogonal (O ;  I,  J).	On placera l'origine O à gauche et en bas de la feuille. Ou prendra 1 cm pour 1 unité sur l'axe des abscisses et 1 cm pour 10 unités, sur l'axe des ordonnées.
		
Tracer la représentation graphique de la fonction $f$ dans ce repère, pour $x$ compris entre $0$ et $18$.
		\item Calculer la valeur de $x$ pour laquelle $f(x) = 96$.
Effectuer ensuite une vérification graphique.

(\emph{On fera apparaître  sur le graphique les traits de construction permettant la lecture.})
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document} 