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%tapuscrit : Denis Vergès 
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\rhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{Étranger Bordeaux}} 
\rfoot{\small{juin 2004}} 
\pagestyle{fancy} 
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Diplôme national du brevet juin 2004~\decofourright\\ 
Centres étrangers(Bordeaux)}} \end{center} 

\vspace{0,5cm}
 
L'utilisation d'une calculatrice est autorisée. 

\vspace{0,25cm} 

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill 12 points} 

\bigskip 

\textbf{Exercice 1} 

\medskip

\begin{enumerate}
\item On donne : A $= 2- \dfrac{4}{5}$ et B $= 
\dfrac{5}{3} - \dfrac{2}{3} : \dfrac{6}{5}$. 

Écrire A et B sous forme de fraction irréductible en indiquant toutes les 
étapes du calcul. 
\item On donne C $= 2\sqrt{18} - 3\sqrt{2} + \sqrt{8}$. 

Écrire C sous forme $a\sqrt{b}$, où $a$ et $b$ sont deux entiers. 
\end{enumerate} 

\bigskip  

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On donne $D = (3x - 2)^2 - 9$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $D$. 
\item Factoriser $D$. 
\item Résoudre l'équation : $(3x - 5)(3x + 1) = 0$. 
\end{enumerate} 

\bigskip 

\textbf{Exercice 3} 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre le système suivant : $\left\{\begin{array}{l c r} 
2x+y&=&41\\ 
3x + 2y& =& 64\\ 
\end{array}\right.$ 

\item Dans un grand magasin, tous les CD sont à un prix unique ainsi que 
tous les livres de poche. 

Louis a acheté 2 CD et 1 livre pour 41 euros. 

Loïc a acheté 3 CD et 2 livres pour 64 euros. 

Quel est le prix d'un CD ? d'un livre ? 

\end{enumerate} 

\bigskip  

\textbf{Exercice 4}

\medskip
 
On donne : E = $\left(\sqrt{7} + 1\right)^2 + \left(\sqrt{7} - 1\right)$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Après avoir développé les carrés, montrer que E est un 
nombre entier. 
\item En déduire la nature d'un triangle dont les côtés mesurent respectivement, en centimètres, $\sqrt{7} + 1,~ \sqrt{7} - 1$ et 4 ; justifier votre réponse. 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points} 

\bigskip  

\textbf{Exercice 1}

\medskip

On donne : Volume du cône $= \dfrac{\text{aire de la base} \times 
\text{hauteur}}{3}$.

Un bassin a la forme d'un cône qui a pour base un disque de 3 m de rayon et pour hauteur 6 m. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que son volume exact V, 
en m$^3$, est égal à $18\pi$, en donner l'arrondi au m$^3$. 
		\item Ce volume représente-t-il plus ou moins de \nombre{10000} litres ? 
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Combien de temps faudrait-il à une pompe débitant 
15 litres par seconde pour remplir complètement ce bassin ? 

Donner le résultat arrondi à la seconde. 
		\item Cette durée est-elle inférieure à 1 heure ? 
	\end{enumerate} 

\medskip

\parbox[l]{0.4\textwidth}{\item On remplit ce bassin avec 
de l'eau sur une hauteur de 4 m.
 
On admet que l'eau occupe un cône qui est une réduction du bassin. 
\begin{enumerate}\item Quel est le coefficient de la réduction ?  
\item En déduire le volume d'eau exact V$'$ 
contenu dans le bassin.
\end{enumerate}} \hfill 
\parbox[l]{0.5\textwidth}{\psset{unit=1.2cm}\begin{pspicture}(-1,0)(3,4) 
\psellipse(1.2,3.)(1.2,0.3) 
\psellipse(1.2,1.6)(0.63,.175) 
\psline(0,3)(1.2,0)(2.4,3) 
\psline[linestyle=dotted](0.1,3.1)(1.2,3.1)(1.2,0) 
\psline[linewidth=0.3pt]{<->}(0.4,0)(0.4,1.7) 
\psline[linewidth=0.3pt]{<->}(2.6,0)(2.6,3) 
\rput{90}(0.2,0.8){4 m} \rput{90}(2.4,1.4){6 m} 
\rput(1.2,3.2){3 m} 
\def\ondu{\pscurve(0,0)(0.1,0.1)(0.2,0)(0.3,-0.1)(0.4,0)} 
\rput(0.8,1.6){\ondu} \rput(1.3,1.5){\ondu} \rput(0.75,1.3){\ondu} 
\rput(1.15,1.1){\ondu} \rput(1.1,0.8){\ondu} \rput(1.05,0.6){\ondu} 
\end{pspicture}} 
\end{enumerate}

\bigskip 

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Dans un repère orthonormé (O, I, J) on considère les points 

\[\text{A}(-3~;~0)\quad ;\quad \text{B}(1~;~4)\quad ;\quad 
\text{C}(5~;~3)\quad ;\quad \text{D}(1~;~-1).\] 

\begin{enumerate}
\item Placer ces points, l'unité graphique étant le centimètre. 
\item Calculer les coordonnées des vecteurs $\vect{\text{AB}}$ et 
$\vect{\text{DC}}$. 
\item Que peut-on en déduire pour la nature du quadrilatère ABCD ? 

Pour la suite, ce quadrilatère ABCD est appelé figure \ding{172}. 
\item Construire la figure \ding{173} symétrique de la figure \ding{172} par rapport 
au point B. 
\item Construire la figure \ding{174} symétrique de la figure \ding{172} par 
rapport à la droite (CD). 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Construire la figure \ding{175} image de la figure 
\ding{172} par la translation de vecteur $\vect{\text{AC}}$. 
		\item Quelle autre transformation permet de passer de la figure \ding{172} à 
la figure \ding{175} ? 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{PROBLÈME \hfill 12 points}

\bigskip 

ABCD est un losange dont les diagonales [AC] et [BD] se coupent en O. 

On donne : AB = 5 cm et AC = 6 cm. 

\vspace{0,5cm} 

\begin{center} 
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6,4) 
\pspolygon(0,2)(3,0)(6,2)(3,4) 
\psline(0,2)(6,2) 
\psline(3,0)(3,4) 
\psline(2.8,2)(2.8,2.2)(3,2.2) 
\psline(1.4,1.9)(1.6,2.1) 
\psline(4.4,1.9)(4.6,2.1) 
\psline(2.9,1.2)(3.1,1) \psline(2.9,1.3)(3.1,1.1) 
\psline(2.9,3.2)(3.1,3) \psline(2.9,3.3)(3.1,3.1) 
\uput[l](0,2){B} \uput[u](3,4){A} 
\uput[d](3,0){C} \uput[r](6,2){D} 
\uput[ur](3,2){O} 
\end{pspicture} 
\end{center}
 
Sur cette figure, les dimensions ne sont pas respectées. 

\begin{center}\textbf{Partie I}\end{center} 

\begin{enumerate}
\item Calculer BO, justifier; en déduire que BD = 8 cm. 
\item Calculer la mesure arrondie au degré de l'angle 
$\widehat{\text{ABO}}$. 
\item Calculer l'aire du losange ABCD. 
\end{enumerate} 

\begin{center}\textbf{Partie II}\end{center} 

On place un point $M$ sur le segment [AB].

La droite passant par $M$ et parallèle à la droite (BD) coupe le côté [AD] 
en $N$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item On suppose que A$M = 3$. Calculer A$N$ et $MN$. Justifier. 
\item On pose A$M = x$. Montrer que $MN = 1,6x$. 
\end{enumerate} 

\begin{center}\textbf{Partie III}\end{center} 

Pour cette partie, on a encore A$M = x$.

La droite passant par $M$ et parallèle à la droite (AC) coupe le 
côté [BC] en $P$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Exprimer B$M$ en fonction de $x$, puis montrer que $MP = 6 - 1,2x$. 
\item Calculer la valeur de $x$ pour laquelle le triangle $MNP$ est 
isocèle en $M$. 
\end{enumerate}  

\begin{center}\textbf{Partie IV}\end{center} 

\begin{enumerate}
\item Montrer que la droite (AC) est perpendiculaire à la droite 
(MN) puis que 

A$M$ = A$N$. 

En déduire que la droite (AC) est la médiatrice du segment [$MN$]. 

De la même façon, on démontrerait que la droite (BD) est la 
médiatrice du segment [$MP$]. 
\item En déduire le rôle du point O pour le triangle $MNP$. 
\end{enumerate} 
\end{document}