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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\lfoot{\small{juin 2003}}
\rfoot{\small{Centres étrangers (Est)}}
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\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet des collèges  Centres étrangers 
(Est)~\decofourright\\ juin 2003}}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.

\vspace{0,25cm}

\textbf{TRAVAUX NUMÉRIQUES \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Effectuer les quatre calculs suivants, chaque résultat sera
donné sous la forme d'un entier.
	\begin{enumerate}
		\item Calcul 1 : $\dfrac{3,9 \times \left( 10^{-2}\right)^{2} }{3
\times 10^{-5}}$.
		\item Calcul 2 : trouver le plus grand diviseur commun de $35$ et
$12$.
		\item Calcul 3 : $\left(2+\dfrac{2}{3} \right) \div
\left(\dfrac{4}{5}-\dfrac{2}{3} \right)$.
		\item Calcul : $\dfrac{4 \times \sqrt{24}}{\sqrt{6}}$.
	\end{enumerate}
\item On construit un codage de la façon suivante :
\[\begin{tabular}{|m{3cm}|*{6}{c|}}\hline
{\bf Nombres entiers}&$1$&$2$&$\cdots$&$\cdots$&$\cdots$&26\\\hline
{\bf Codes}&A&B&$\cdots$&$\cdots$&$\cdots$&Z\\\hline
\end{tabular}
\]
	\begin{enumerate}
		\item Quel est le code de $13$ ?
		\item Quel est le mot formé en codant les quatre résultats de la
première question ? Si les calculs sont exactes, on doit retrouver un
mot de circonstance.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Un magasin spécialisé dans la vente d'accessoires automobiles vend un
modèle de pneu à $120$~\euro{} l'unité. Au cours d'une promotion, il
décide de faire une remise de $25\:\%$ sur l'achat de chaque pneu.

Son affiche publicitaire affirme : \og Le quatrième pneu est
gratuit \fg. Est-ce exact ? Justifier.

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Marie et Anne pratiquent l'équitation.

Marie a pris pendant un trimestre $16$ heures de leçons et a fait
$3$ stages d'une journée chacun. Marie a payé $344$ \euro.

Pendant le même trimestre, Anne a pris $18$ heures de leçons et a
fait seulement $2$ stages d'une journée chacun. Anne a payé $332$
\euro.

Déterminer le prix d'une heure de leçon et celui d'une journée de
stage.

\bigskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

On considère l'expression
$A = (x - 3)(x + 3) - 2(x - 3)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Factoriser $A$.
\item Développer et réduire $A$.
\item En choisissant l'expression de $A$ la plus adaptée parmi celles
trouvées aux questions précédentes, déterminer la valeur de $A$ pour
$x = - 1$ et pour $x = 0$.
\item Résoudre l'équation
$(x - 3)(x + 1) = 0$.
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{TRAVAUX GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Dans un parc d'activités, une épreuve consiste à parcourir une
certaine distance entre deux arbres, avec une tyrolienne (sorte de
poulie qui permet de glisser le long d'un câble).

\begin{center}
\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(6,4)
\psline(0,0)(0,1.4) \psline(0.6,0)(0.6,1.4)
\psframe(-0.15,1.4)(0.75,1.7)
\psline(0,1.7)(0,3.8) \psline(0.6,1.7)(0.6,3.8)
\pscurve(0,3.4)(0.3,3.3)(0.6,3.4)
\pscurve(0,3.35)(0.3,3.25)(0.6,3.35)
\pscircle(0.63,3.4){0.1}
\psline(5,0)(5,0.9) \psline(5.6,0)(5.6,0.9)
\psframe(4.85,0.9)(5.75,1.2)
\psline(5,1.2)(5,3.8) \psline(5.6,1.2)(5.6,3.8)
\pscurve(5,2)(5.3,1.9)(5.6,2)
\pscurve(5,1.95)(5.3,1.85)(5.6,1.95)
\pscircle(4.995,2){0.1}
\pscircle(2,2.5){0.2}
\psline(2.1,2.45)(2.7,2.2)(2.9,2.18)(2.995,2)
\psline(2.7,2.2)(2.8,2)(2.6,1.9)
\psline(2.2,2.4)(2.3,2.3)(2.3,2.6)(2.7,2.65)
\psline(2.2,2.4)(2.4,2.5)(2.3,2.85)
\pscircle(2.3,2.9){0.1}
\pscircle(2.8,2.7){0.1}
\psline(0.64,3.45)(2.3,2.95)
\psline(2.4,2.9)(2.8,2.8)
\psline(2.9,2.75)(4.9,2)
\end{pspicture}\end{center}

\vspace{0,5cm}

La situation est schématisée dans un plan vertical par le triangle
ABC ci-après, où A et B désignent les points de fixation du
câble sur les arbres, le segment [AB] représentant le câble.

On sait que le câble mesure 75 m de long, qu'il fait un angle de
$5\up{o}$ avec l'horizontale représentée par le segment [BC] sur le
schéma.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(7,2.5)
\psline(0,2)(6.7,0)
\psline[linestyle=dotted](0,2)(0,0)(6.7,0)
\psarc(6.7,0){2}{163 }{180}
\uput[ul](0,2){A}  \uput[r](6.7,0){B}  \uput[l](0,0){C}
\psline(0,0.2)(0.2,0.2)(0.2,0)
\rput(3,1.4){75 m}
\rput(3,0.5){$\widehat{\text{B}} = 5\degres$}
\end{pspicture}    
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Calculer la valeur arrondie au centimètre de la distance BC
entre les deux arbres.
\item En utilisant une relation trigonométrique, calculer la
troncature au centimètre de la différence de hauteur entre les deux
plate-formes, représentée par [AC] sur le schéma.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On considère qu'une boule de pétanque a pour volume 196 cm$^{3}$ et que
son rayon est le double de celui du cochonnet.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quel est le rapport de réduction des rayons (donner une écriture
fractionnaire ou décimale) ?
\item En déduire le volume du cochonnet.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\emph{La figure sera tracée sur la copie.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer dans un repère orthonormé, en prenant comme unité le
centimètre, les points 

\[\text{A}(-2~ ;~ 2),~ \text{B}(2~ ;~ 5), ~\text{C}(5~;~ 1)\quad \text{et} 
\quad \text{D}(1 ~;~-2).\]

\item Calculer les distances AB, BC et AC.

Montrer, en le justifiant, que le triangle ABC est rectangle et
isocèle.
\item Calculer les coordonnées des vecteurs $\vect{\text{AD}}$ et
$\vect{\text{BC}}$.

Que peut-on en conclure ?
\item Déduire des questions précédentes que ABCD est un carré.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{PROBLÈME \hfill 12 points}

\bigskip

\emph{La deuxième partie peut être traitée indépendamment de la
première.}

Au cross du collège, les garçons et les filles courent en même temps
sur le même parcours. Les garçons doivent parcourir 2 km. Les filles
partent à 300 mètres du point de départ des garçons sur le parcours.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(10,6.5)
\def\flag{\psline(0,0)(0,1.5)(0.7,1.2)(0,0.9)}
\pspolygon(1,1.6)(3,3.2)(3.4,2.5)(1.4,0.9)
\pscurve(3,3.2)(3.5,3.5)(4,3.65)
\pscurve(3.4,2.5)(4,2.85)(4.5,3.05)(5,3.15)
\psline(4,3.65)(9.1,4.6)(9.7,3.83)(5,3.15)
\psline{->}(1.6,1.6)(2.8,2.6)
\psline{->}(4.2,3.4)(5.7,3.65)
\psline{->}(7.5,4)(8.8,4.15)
\psline{<->}(1.5,0.76)(3.57,2.4)
\rput(1,3.5){Départ garçons} \rput(3,5){Départ filles}
\rput(9.2,6.3){Arrivée}
\rput{44}(2.6,1.2){300 m}
\rput(3,3.2){\flag} \rput(9.1,4.6){\flag}  \rput(1,1.6){\flag}
\end{pspicture}\end{center}

\vspace{0,5cm}

\begin{center}
\textbf{\large{Partie A}}
\end{center}

\par Marc fait le parcours des garçons à la vitesse de 15 km.h$^{-1}$.

Cécile fait le parcours à la vitesse constante de 12 km.h$^{-1}$.

Marc et Cécile partent en même temps.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que Marc parcourt 250 mètres par minute.

On dira qu'il court à la vitesse de 250 m.min$^{-1}$.

Montrer que Cécile court à la vitesse de 200 m.min$^{-1}$.
\item À quelle distance \textbf{du départ des garçons} se trouvent
Marc et Cécile quand ils ont couru 5\,min ?
\item Depuis le départ Marc et Cécile ont couru pendant $x$ minutes.
	\begin{enumerate}
		\item À quelle distance du départ des garçons se trouvent Marc quand
il a couru pendant $x$ minutes ?
		\item Montrer que la distance en mètres qui sépare Cécile du point de
départ des garçons au bout de $x$ minutes est $200x+300$.
	\end{enumerate} 
\item Dans un repère où on choisit un centimètre pour une unité en
abscisses et un centimètre pour 100 unités en ordonnées, tracer les
représentations graphiques des fonctions $f$ et $g$ définies par :

\[f : x \mapsto 250x\quad \text{et} \quad  g : x \mapsto 20x+300.\]

(On placera l'origine du repère en bas et à gauche de la feuille de
papier millimétré.)
\item Par des lectures graphiques, justifiées en faisant apparaître
les tracés indispensables, répondre aux questions suivantes :
	\begin{enumerate}
		\item Au bout de combien de temps Marc aura-t-il rattrapé Cécile ?
		\item A quelle distance du départ des garçons Marc et Cécile
seront-ils à cet instant ?
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre l'équation $250x=200x+300$.
		\item Déterminer par le calcul les réponses aux questions posées aux
\textbf{questions 5}.
	\end{enumerate}  
\end{enumerate}

\begin{center}
\textbf{\large{Partie B}}
\end{center}
Les professeurs d'éducation physique et sportive du collège relèvent
le \og temps \fg{} mis par chaque élève pour faire le cross. Pour présenter
les résultats de l'ensemble des participants ils ont tracé ce graphique :

\medskip

\begin{center}
\psset{xunit=0.9cm,yunit=0.1cm}\begin{pspicture}(12,60)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=20,Dy=100]{->}(0,0)(12,60)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](1,0)(3,25)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](3,0)(5,50)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](5,0)(7,40)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](7,0)(9,20)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](9,0)(11,15)
\rput(2,27){25} \rput(4,52){50} 
\rput(6,42){40} \rput(8,22){20} \rput(10,17){15}
\psline{->}(6,43)(6.8,50) 
\rput(9,54){Signifie que 40 élèves ont~~~}
\rput(9,49){couru en un temps $t$ exprimé}
\rput(9,44){en minutes avec $14 \leqslant t \leqslant 16$}
\rput(10,-4){Temps en minutes}
\rput{90}(-0.5,40){Nombre d'élèves}
\end{pspicture}
\end{center}

En se servant de ce graphique :

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer l'effectif total des participants au cross.
\item Trouver combien d'élèves ont mis moins de 16 minutes pour faire
le cross.
\item Calculer le temps moyen, mis par les élèves, pour faire ce cross.

Donner le résultat en minutes et secondes.

\textbf{Aide:}

On rappelle que pour des effectifs répartis en classes, on utilise le
centre de chaque classe pour calculer la moyenne.

C'est-à-dire que pour la première classe par exemple, on considérera
que les 25 élèves ont tous mis 11 minutes pour faire le cross.
\item Au bout de combien de temps est-on assuré que la moitié des
élèves sont arrivés ?
\end{enumerate}
%%%%%%%   Fin Étranger Est juin 2003
\end{document}