 \documentclass[10pt] {article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath,amssymb,graphicx}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt} 
%tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} 
\usepackage[normalem]{ulem} 
\usepackage{fancybox} 
\usepackage{tabularx}   
\usepackage{pifont} 
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}} 
\usepackage{ulem} 
\usepackage{pst-plot} 
\newcommand{\R}{\mathbb{R}} 
\newcommand{\N}{\mathbb{N}} 
\newcommand{\C}{\mathbb{C}} 
\setlength\paperheight{297mm} 
\setlength\paperwidth{210mm} 
\setlength{\textheight}{23,5cm}
\setlength{\voffset}{-2,5cm}
\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Brevet des collèges},
pdftitle = {Centres étrangers Lyon  juin 2004},
allbordercolors = white}    
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{Étranger Lyon}} 
\rfoot{\small{juin 2004}} 
\pagestyle{fancy} 
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Diplôme national du brevet juin 2004~\decofourright\\ 
Centres étrangers Lyon}} \end{center} 

\vspace{0,25cm} 

\begin{center}\textbf{Durée : 2 heures}\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill 12 points}

\bigskip

\emph{Dans toute cette partie, les calculs intermédiaires doivent figurer sur la copie.}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice  1 :}

\medskip

On pose: $\text{A} =\dfrac{1}{3}+\dfrac{14}{3} \div \dfrac{35}{12} \quad 
\text{B} =\dfrac{81\times 10^{-5}\times 14 \times(10^2)^3}{7 \times 10^4}\qquad\text{ et } \text{C} =\dfrac{462}{65}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le nombre $A$ et donner le résultat sous forme de fraction irréductible.
\item Calculer $B$ et donner son écriture scientifique, puis son écriture décimale.
\item Calculer le PGCD des nombres 462 et 65. Que peut-on en déduire pour la fraction $C$ ?
\end{enumerate}.

\bigskip

\textbf{Exercice  2 :}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère l'expression $D$ suivante: $D = (2x-3)^2+(2x-3)(5x+ 1)$.
	\begin{enumerate}
		\item Développer et réduire l'expression $D$.
		\item Factoriser $D$.
	\end{enumerate}
\item Résoudre l'équation $(2x- 3)(7x- 2) = 0$.
\item On pose: $E = 14x^2 - 25x+ 6$.

Calculer $E$ pour $x = \sqrt{45}$ et donner le résultat sous la forme $a + b\sqrt{5}$,
où $a$ et $b$ désignent des nombres entiers relatifs.
\end{enumerate}

\textbf{Exercice  3 :}

\medskip

Au cours d'une enquête réalisée sur 671 élèves d'un collège, on relève la durée $d$ (en minutes) passée par chacun d'entre eux pour effectuer leur travail scolaire chaque jour. Les résultats ont été regroupés en quatre classes dans le tableau ci-après.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Compléter ce tableau en arrondissant les fréquences à 1 \%.
\item En remplaçant chaque classe par son centre, calculer la durée moyenne passée chaque jour par un élève pour effectuer son travail scolaire. On donnera cette durée arrondie à la minute.
\begin{center}\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Durée du travail	&Centre de classe	&Effectif	&Fréquence\\
($d$ en minutes)	&en minutes			&			&en pourcentage\\\hline
$0\leqslant d<30$	&15					&106		&16\\\hline
$30\leqslant d < 60$&					&			&\\\hline
$6\leqslant d<90$	&					&235		&\\\hline
$90\leqslant d< 120$&					&144		&\\\hline
\text{Total}		&					&671		&100\\\hline
\end{tabularx}\end{center}

\end{enumerate}

\newpage
\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill  12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice  1 :}

\medskip

L'unité utilisée est le centimètre.

Soit $(0,I,J)$ un repère orthonormal. $I$ est le point de coordonnées (1 ; 0) et $J$ le point de coordonnées (0 ; 1).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans ce repère, placer les points $A, B\text{ et }C$ tels que: $A(-3~;~2) ;  B(2~;~5)\text{ et }C(4~;~-1)$
\item Construire le point $D$ tel que $\vect{AD} = \vect{AB} + \vect{AC}$.
\item Construire le point $E$, image de $B$ par la rotation de centre $O$ et d'angle 60\degres dans le sens des aiguilles d'une montre.
\end{enumerate}

\textbf{Exercice  2 :}

\medskip

L'unité utilisée dans cet exercice est le mètre. La figure n'est pas à refaire.

Dans un petit chalet de montagne, un berger aménage l'espace existant sous son toit en y posant des étagères matérialisées sur notre schéma par les segments $[ED]$ et $[GF]$. Le segment $[CB]$ représente le plancher et le segment $[AB]$ représente le mur où sont fixées les étagères.

\medskip

\begin{pspicture}(0,-0.5)(5,4.5)
\psset{xunit=2,yunit=2}
\pspolygon(0,0)(2.4,0)(2.4,1.8)
\psline(0.8,0.6)(2.4,0.6)
\psline(1.44,1.08)(2.4,1.08)
\pspolygon(2.4,0)(2.4,1.8)(5,0)
\uput[dl](0,0){$C$}\uput[d](2.4,0){$B$}\uput[u](2.4,1.8){$A$}\uput[r](2.4,0.6){$D$}\uput[l](0.8,0.6){$E$}\uput[r](2.4,01.08){$F$}\uput[l](1.44,1.08){$G$}
\pspolygon(3.4,1.108)(4,0.7)(4,1.4)(3.4,1.4)
\pscurve(3.4,1.4)(3.3,1.5)(3.5,1.7)(3.6,1.8)(3.45,2,3)
\pscurve(3.5,1.7)(3.8,1.72)(3.8,1.82)(3.73,1.91)(3.69,2,2)
\pscurve(3.8,1.4)(4,1.9)(3.8,2)(4.2,2.5)
\pscurve(4,1.4)(4.2,1.6)(4.5,1.63)(5,1.71)
\end{pspicture}


Le berger mesure :

$AB = 1,80~\text{m},   BC = 2,40~\text{m},  AC = 3~\text{m}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que le triangle $ABC$ est rectangle en $B$.
\item Déterminer la mesure de l'angle $\widehat{ACB}$ arrondie à 0,1\degres.
\item Sachant que les droites $(ED)$ et $(CB)$ sont parallèles et que $BD = 0,60\text{ m}$, quelle est la longueur de l'étagère $[ED]$ ?
\item La deuxième étagère $[GF]$ est placée de telle manière que : $AF = 0,72~\text{ m et }AG = 1,20~\text{ m}$

Est-elle parallèle au plancher $[CB]$ ? Justifier votre réponse.
\end{enumerate}

\textbf{Exercice  3 :}

\medskip

On a représenté ci-contre une pyramide $BEFG$.

On sait que :

$\bullet$ $EFG$, $EFB$ et $BFG$ sont trois triangles rectangles en $F$ ;

$\bullet$ $EF = FG = 5$ cm

$\bullet$ $BF = 6$ cm

\parbox{0.55\textwidth}{
\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la longueur $EG$.

On donnera la valeur exacte et la valeur arrondie au millimètre.
		\item Calculer l'aire du triangle $EFG$.
		\item Prouver que le volume de la pyramide $BEFG$ est $25\text{ cm}^3$.
	\end{enumerate}
\item $M$ est le point de l'arête $[BF]$ tel que $BM = 2$ cm.

On coupe la pyramide $BEFG$ par le plan passant par $M$ et parallèle à la base $EFG$. On obtient la pyramide $BLMN$, réduction de la pyramide $BEFG$.
	\begin{enumerate}
		\item Quel est le rapport de cette réduction?
		\item En déduire le volume de la petite pyramide $BLMN$. On donnera la valeur exacte et la valeur arrondie au mm$^3$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}}\hfill
\parbox{0.45\textwidth}{\vspace*{4cm}
\begin{pspicture}(-1,0)(5.5,1.5)
\psset{xunit=0.75,yunit=0.75}
\psline(0,0)(5,0)
\psline(5,0)(7,2)
\psline[linestyle=dashed](7,2)
\psline(5,7)
\psline(5,7)(5,0)
\psline(5,7)(7,2)
\psline(3.29,4.6)(5,4.6)
\psline(5,4.6)(5.69,5.29)
\psline[linestyle=dashed](5.69,5.29)(3.29,4.6)
\uput[dl](0,0){$E$}\uput[d](5,0){$F$}\uput[r](7,2){$G$}\uput[l](3.29,4.6){$L$}\uput[dr](5,4.6){$M$}\uput[r](5.69,5.29){$N$}\uput[u](5,7){$E$}
\end{pspicture}}

\vspace{0,5cm}

\textbf{PROBLÈME  \hfill 12 points}

\bigskip

Thomas, élève de troisième, souhaite souscrire un abonnement internet. Pour cela, il étudie les offres de deux publicités de fournisseur d'accès qui proposent les tarifs suivants en euros.

$\bullet$ Société Net-ln: Forfait de 47,50 euros d'abonnement par mois quel que soit le temps d'utilisation.

$\bullet$ Société Skysurf  : 19 euros d'abonnement par mois et 0,05 euro par minute de connexion.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Pour chaque tarif, quel est le prix à payer (en euros) pour une connexion de 15 heures par mois ?
\item Soit $x$ le temps (en minutes) passé par Thomas sur internet pendant un mois.

On note $N (x)$ le prix payé (en euros) en fonction de $x$ s'il choisit le fournisseur Net-ln.

On note $S(x)$ le prix payé (en euros) en fonction de $x$ s'il choisit le fournisseur Skysurf.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $S(x)$ en fonction de $x$.
		\item Résoudre l'équation $47,5 = 19 + 0, 05x$.
		\item Pour quel temps (en minutes) le prix à payer chez les deux fournisseurs est-il le même ?
	\end{enumerate}

\item
	\begin{enumerate}
		\item Compléter le tableau ci-après.
\begin{center}\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Temps de connexion (en minutes)	&120	&420	&660\\\hline
Prix payé (en euros) chez Skysurf	&	&	&\\\hline
\end{tabularx}\end{center}
		\item Dans le repère ci-après, on a déjà tracé la droite $(d_1)$ représentant la fonction $N : x\mapsto47,5$.
		
En vous aidant du tableau complété précédemment, représenter graphiquement, dans le même repère, la fonction $S : x\mapsto 19 + 0,05x$.

\medskip
 
\hspace*{-1cm}\begin{pspicture}(12,14)
\psset{unit=0.8cm}
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(14,0)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(0,12)
\multido{\n=0+0.5}{29}{\psline(\n,0)(\n,12)}
\multido{\n=0+0.5}{25}{\psline(0,\n)(14,\n)}
\psline[linewidth=2pt](0,9.5)(15,9.5)
\uput[u](15,9.5){$d_1$}
\uput[dl](0,0){O}\uput[d](1,0){60}\uput[l](0,2){10}\uput[l](0,9.5){47,5}
\rput{90}(-.5,11.5){Prix payé en euros}\uput[d](10,0){Temps d'utilisation en minutes}
\end{pspicture}

\bigskip

Unités graphiques :
    
$\bullet$ deux carreaux représentent 60 minutes sur l'axe des abscisses;

$\bullet$ deux carreaux représentent 5 euros sur l'axe des ordonnées.
\item Interpréter graphiquement la solution de l'équation : $47,5 = 19 + 0,05x$.

(Mettre en évidence comment trouver cette valeur sur le graphique en utilisant des pointillés, ou des traits en couleur.)
		\item En utilisant le graphique, déterminer :

\begin{itemize}
	\item la société la plus intéressante pour un temps de connexion compris entre 0 et 300 minutes;
	\item la société la plus intéressante pour un temps de connexion supérieur à 700 minutes.
\end{itemize}
	\end{enumerate}
\item Thomas reçoit par courrier une offre promotionnelle du fournisseur Promo-Net qui propose de ne payer aucun abonnement mais demande 0,10 euro par minute de connexion.

Il estime son temps moyen de connexion par mois à 510 minutes. Dans ce cas, parmi ces trois fournisseurs, quel est celui qui lui propose un coût minimum ?
\end{enumerate}
\end{document}