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%tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\rfoot{\small{juin 2004}} 
\lfoot{\small{Centres étrangers (Nice)}} 
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\thispagestyle{empty} 

\begin{center}{\Large \textbf{Brevet des collèges Centres étrangers (Nice) juin 2004}} 
 
\vspace{0,5cm} 

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée. 
\end{center}

\vspace{0,25cm} 

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill 12 points} 

\bigskip 

\textbf{Exercice 1} 

\medskip

\begin{enumerate} 
\item On donne : A $ = \dfrac{\dfrac{2}{3} + 3}{\dfrac{1}{3} + 5}$. 

Écrire A sous forme de fraction irréductible. 
\item On donne : B $ = 2\sqrt{50} - 3\sqrt{8} + 7\sqrt{18}$. 

Écrire B sous la forme $a\sqrt{2}$, avec $a$ nombre entier. 
\item On donne : C $ = \dfrac{2,6 \times 10^2 \times 1,7 \times 10^2}{0,2 
\times 10^5 \times 10^3}$. 

Donner l'écriture scientifique de C. 
\end{enumerate} 

\bigskip 

\textbf{Exercice 2}

\medskip
 
On donne : $E = (5x - 4)^2 + (5x - 4)(x + 3)$. 

\begin{enumerate} 
\item Développer et réduire $E$. 
\item Factoriser $E$. 
\item Calculer $E$ pour $x = - 1$. 
\item Résoudre l'équation : $(5x - 4)(6x - 1) = 0$. 
\end{enumerate} 

\bigskip 

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Au cours d'une course d'athlétisme (400 m), le temps mis par chaque coureur a été chronométré.

Ces mesures sont reportées dans le tableau ci-dessous : 

\begin{center} 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Effectif des coureurs 	&1 		&1		&1		&1		&1		&1		&1		&1 \\ \hline 
Temps (en s)			&18,65	&49,20	&50		&50,12	&50,13	&50,45	&51	&51,80\\ \hline 
Effectif des coureurs 	&1 		&1		&1		&1		&1		&1		&1		&\multicolumn{1}{c}{} \\\cline{1-8}  
Temps (en s) 			&51,85	&51,90	&52,05	&52,20	&52,60	&53,28	&54,80	&\multicolumn{1}{c}{}\\\cline{1-8} 
\end{tabularx} 

\vspace{0,3cm} 
Étude statistique de la course 
\end{center} 

\begin{enumerate} 
\item Quelle est l'étendue de cette série ? 
\item Donner la moyenne arrondie au centième de cette série. 
\item Donner la médiane de cette série. 
\item Quel pourcentage de coureurs ont mis moins de 52,50 secondes pour 400 mètres ? 
\end{enumerate} 

\newpage

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points} 

\bigskip 

\textbf{Exercice 1} 

\medskip

\parbox[l]{0,4\textwidth}{Les points A, B et C sont alignés 
ainsi que les points A, D et E.

Les droites (BD) et (CE) sont perpendiculaires à la droite (AE).
 
AB = 2,5
 
BD = 1,5
 
CE = 4,5.} \hfill 
\parbox[l]{0,55\textwidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(-1,0)(3.5,3) 
\pspolygon(0,0)(3.5,0)(3.5,2.65) 
\psline(0.9,0)(0.9,0.75) 
\psline(0.87,0)(0.87,0.03)(0.9,0.03) 
\psline(3.47,0)(3.47,0.03)(3.5,0.03) 
\uput[d](0,0){A} \uput[d](0.9,0){D} \uput[d](3.5,0){E} 
\uput[u](0.9,0.75){B} \uput[ul](3.5,2.65){C} 
\end{pspicture}} 

\medskip 

\begin{enumerate} 
\item Calculer AD. Justifier. 
\item Déterminer la mesure arrondie au degré de l'angle 
$\widehat{\text{BAD}}$. 
\item Calculer AC et AE. Justifier. 
\end{enumerate} 

\bigskip

\textbf{Exercice 2} 

\medskip 

\parbox[l]{0,4\textwidth}{On considère la sphère de centre O et de 
rayon 6 cm.\\ 
\textbf{1.} Écrire le volume de cette sphère et en donner un arrondi au 
mm$^3$.

\textbf{2.} On note O$'$ le point tel que : 

OO$'$ = 4 cm. (P) est le plan 
passant par le point O$'$ et perpendiculaire à la droite (OO$'$).

On note M le point appartenant au plan (P) et à  la sphère.
 
Aucun calcul n'est nécessaire pour les deux constructions suivantes :} 
\hfill 
\parbox[l]{0,55\textwidth}{\psset{unit=1.23cm} 
\begin{pspicture}(-1,0)(4,2.5) 
\pscircle(1.8,1.3){1.2} 
\psellipse[linestyle=dotted](1.8,1.3)(1.2,0.35) 
\psellipse[linestyle=dotted](1.8,1.8)(1.1,0.3) 
\pspolygon(0.1,1.5)(3.5,1.5)(3.7,2.3)(0.3,2.3) 
\pspolygon(0.8,1.8)(1.8,1.8)(1.8,1.3) 
\uput[l](0.8,1.8){M} \uput[dr](1.8,1.3){O} 
\uput[r](1.8,1.8){O$'$} \uput[u](0.38,1.75){(P)} 
\end{pspicture}} 

\vspace{0,5cm} 

\hspace{0.7cm}\textbf{a.} Tracer en vraie grandeur le triangle OO$'$M. 

\hspace{0.7cm}\textbf{b.} Tracer en vraie grandeur l'intersection de la sphère et du plan. 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{PROBLÈME \hfill 12 points}

\bigskip

Dans un repère orthonormal (O, I, J) d'unité le centimètre, placer les 
points suivants : 

\[\text{A}(6~;~ 5),\quad \text{B}(2~;~-3),\quad \text{C}(-4~;~ 0).\] 

\begin{enumerate} 
\item Montrer que AB = $4\sqrt{5}$. 
\item On donne de plus AC $= \sqrt{125}$,~ BC = $\sqrt{45}$. 

En déduire la nature du triangle ABC. 

Justifier la réponse. 
\item Calculer l'aire du triangle ABC en cm$^2$. 
\item On considère le cercle circonscrit au triangle ABC. 
	\begin{enumerate} 
		\item Préciser la position de son centre appelé K 
et la longueur de son rayon. 

Justifier. 

Placer K. 
		\item Calculer les coordonnées de K. 
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		 \item Calculer les coordonnées du vecteur 
$\vect{\text{AC}}$. 
		\item En déduire les coordonnées du point D tel que ACBD soit un parallélogramme. 
		\item Placer le point D. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 
\end{document}