\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{multicol} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pstricks,pst-plot}
\usepackage{pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\setlength{\textheight}{23,5cm}
\setlength{\voffset}{-1,5cm}
\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Brevet des collèges},
pdftitle = {Grenoble  juin 2002},
allbordercolors = white} 
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges }
\lfoot{\small{juin 2002}}
\rfoot{\small{Grenoble}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet - Grenoble
  juin 2002~\decofourright}}}

\vspace{0,25cm}

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.

 \end{center}

\vspace{0,15cm}

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Calculer A, B et C en indiquant les étapes .

A $=\dfrac{2}{7}+\dfrac{1}{7} \times \dfrac{8}{3}$ ; on donnera le résultat sous forme d'une fraction irréductible.

B $ =\left(\sqrt{3}-7 \right)^{2} $ ; on donnera le résultat sous la
forme $a+b\sqrt{c}$, où $a$, $b$, $c$ sont des nombres entiers.

C $ =\sqrt{50}+2\sqrt{18}$ ; on donnera le résultat sous la forme
$d\sqrt{e}$, où $d$ et $e$ sont des nombres entiers.

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On considère l'expression

\[A = (2x - 3)^{2}-(2x - 3)(x - 2).\]

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $A$.
\item Factoriser $A$.
\item Résoudre l'équation $A=0$.
\item Calculer $A$ pour $x = -2$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Les nombres $682$ et $496$ sont-ils premiers entre eux ?
Justifier.
\item Calculer le PGCD de $682$ et de $496$.
\item Simplifier la fraction $\dfrac{682}{496}$ pour la rendre
irréductible, en indiquant la méthode.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

Une usine teste des ampoules électriques, sur un échantillon, en étudiant leur durée de vie en heures.

Voici les résultats.

\[\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
{\bf $d$: durée de vie en heures}&{\bf nombre d'ampoules}\\
\hline
$\np{1000} \leqslant d < \np{1200}$&$550$\\
\hline
$\np{1200} \leqslant d < \np{1400}$&$\np{1460}$\\
\hline
$\np{1400} \leqslant d < \np{1600}$&$\np{1920}$\\
\hline
$\np{1600} \leqslant d < \np{1800}$&$\np{1640}$\\
\hline
$\np{1800} \leqslant d < \np{2000}$&$430$\\
\hline
\end{tabular}
\]
	\begin{enumerate}
		\item Quel est le pourcentage d'ampoules qui ont une durée de vie de moins de \np{1400}~heures ?
		\item Calculer la durée de vie moyenne d'une ampoule ?
	\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

On considère la figure ci-dessous où les longueurs sont données en cm :
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] Les droites (CF) et (BG) se coupent en E ;
\item[$\bullet~$] Les points A, G et F sont alignés ;
\item[$\bullet~$] Les droites (BC) et (AF) sont parallèles ;
\item[$\bullet~$] EC = 7 ; EG = 8 ;  EB = 6 ;
\item[$\bullet~$] $\widehat{\text{EBC}} = 90\up{o}$ ; $\widehat{\text{ABG}}=20\up{o}$ .
\end{itemize}

\begin{center}\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(6,4)
\psline(0,3.1)(5.3,0)(5.3,3.5)(0,1.8)(0,3.1)%CFABC
\psline(0,1.8)(5.3,1.8)%BG
\uput[ur](5.3,3.5){A}  \uput[l](0,1.8){B}  \uput[l](0,3.1){C}  
\uput[ur](2.3,1.8){E}  \uput[dr](5.3,0){F}  \uput[r](5.3,1.8){G}  
\end{pspicture}  \end{center}

Pour chacune des questions suivantes, donner la valeur exacte puis
arrondie à $0,1$ près.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la longueur $BC$.
\item Calculer la longueur $EF$.
\item Calculer la longueur $AG$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Dans un repère orthonormé (O, I, J), on considère les points suivants :

\[\text{A}(-3 ~;~-2) \quad \text{B}(-1~;~9) \quad \text{C}(9~;~4)\]

\begin{enumerate}
\item Faire une figure en prenant 1 cm pour unité de longueur.
\item On note M le milieu du segment [AC]. Calculer les coordonnées
du point M.
\item Calculer les coordonnées des vecteurs $\vect{\strut AB}$ et
$\vect{\strut AC}$.
\item Calculer la longueur $BC$. On donnera la valeur arrondie à $0,1$ près.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

La Terre est assimilée à une sphère de rayon \np{6370} km.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(4.6,5)
\pscircle(2.3,2.3){2.3}
\psellipse[linestyle=dashed](2.3,2.3)(2.3,0.41)
\pscurve(0,2.3)(0.3,2.1)(0.9,2)(1.4,1.92)(2,1.9)(3,1.92)(4,2.04)(4.3,2.1)(4.6,2.3)
\psline(3,1.92)(2.3,2.3)(1.8,1.9)
\psline[linestyle=dashed](2.3,2.3)(1.4,1.92)
\psline(2.3,0)(2.3,4.6)
\uput[d](3,1.92){A}  \uput[d](1.8,1.9){B}  \uput[ul](2.3,2.3){O}  
\uput[dl](1.4,1.92){G}  \uput[u](2.3,4.6){N}  \uput[d](2.3,0){S} 
 \psline{->}(-0.3,0.6)(0.3,2.1) \rput(-0.3,0.3){Équateur}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item On considère le plan perpendiculaire à la ligne des pôles (NS)
et équidistant de ces deux pôles. L'intersection de ce plan avec la
Terre s'appelle l'Équateur.

Calculer la longueur de l'Équateur.
\item On note $O$ le centre de la Terre et $G$ un point de l'Équateur.

On considère deux points $A$ et $B$ situés en Afrique sur
l'Équateur. Ces points sont disposés comme l'indique le schéma
ci-dessus.

On sait que $\widehat{\text{GOA}}=42$\up{o} et $\widehat{\text{GOB}}=9$~\degres.

Calculer la longueur de l'arc $\wideparen{\text{AB}}$, portion de l'Équateur située en Afrique.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{PROBLÈME \hfill 12 points}

\begin{center}
\textbf{\Large{Partie A}}
\end{center}

Madame Durand voyage en train.

Elle fait le voyage aller-retour Chambéry-Paris selon les horaires suivants :
\[
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
\textbf{Trajet aller} & \textbf{Trajet retour}\\
\hline
Départ Chambéry : 6 h 01 min & Départ Paris : 19 h 04 min\\
Arrivée Paris : 9 h 01 min & Arrivée Chambéry : 21 h 58 min\\
\hline
\end{tabular}
\]
La distance par le train Chambéry-Paris est de 542 km.
\begin{enumerate}
\item Calculer la vitesse moyenne du train à l'aller. Le résultat sera
arrondi à l'unité.
\item Calculer la vitesse moyenne du train au retour. Le résultat sera
arrondi à l'unité.
\end{enumerate}

\begin{center}
\textbf{\Large{Partie B}}
\end{center}
 
Monsieur Dubois doit effectuer fréquemment des trajets, en train,
entre Chambéry et Paris.

Il a le choix entre deux options :

\textbf{Option A} : le prix d'un trajet est 58~\euro.

\textbf{Option B} : le prix total annuel en euros $y_{\text{B}}$ est donné par
$y_{\text{B}}=29x+300$, où $x$ est le nombre de trajets par an.

\begin{enumerate}
\item Monsieur Dubois effectue 8 trajets dans l'année.

Calculer le prix total annuel à payer avec chacune des deux options.
\item Monsieur Dubois effectue un nombre $x$ de trajets dans l'année.

On note $y_{\text{A}}$ le prix total annuel à payer avec l'option A. Ecrire
$y_{\text{A}}$ en fonction de $x$.
\item Un employé de la gare doit expliquer, à une personne qui
téléphone, le fonctionnement de l'option B.

Rédiger son explication.
\item Pour l'option B, le prix total annuel est-il proportionnel au
nombre de trajets ? Justifier.
\item Sur une feuille de papier millimétré, représenter les deux
fonctions $f$ et $g$ définies par :
\begin{center}
$f: x \longmapsto 58x \quad $ et $\quad g: x \longmapsto 29x+300$
\end{center}
Pour le repère, on prendra :
\begin{itemize}
\item l'origine en bas à gauche de la feuille ;
\item sur l'axe des abscisses 1 cm pour 1 unité ;
\item sur l'axe des ordonnées 1 cm pour 50 unités.
\end{itemize}
\item On vient de représenter graphiquement, pour chacune des deux
options, le prix total annuel en fonction du nombre de trajets.
	\begin{enumerate}
		\item A l'aide du graphique, déterminer le nombre de trajets pour
lequel le prix total annuel est plus avantageux avec l'option B. Faire
apparaître le tracé ayant permis de répondre.
		\item Retrouver ce résultat par un calcul.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}