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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Brevet  des collèges}
\lfoot{\small{Guyane}}
\rfoot{juin 2006}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Guyane juin 2006~\decofourright}}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Activités numériques} \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip
 
On donne A $= \dfrac{2}{7} \div \dfrac{5}{21} - \dfrac{4}{3}$ 
et B $ = \dfrac{10 \times 2,4 \times 10^2}{8 \times 10^{-3}}$ 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer A et donner le résultat sous la forme d'une fraction irréductible. 
\item  Calculer la valeur numérique de B et donner le résultat :
 
	\begin{enumerate}
		\item En notation scientifique. 
		\item En notation décimale.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Exercice 2}

\medskip

On donne C $= \dfrac{682}{496}$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer le PGCD de 682 et 496. 
\item Simplifier la fraction $\dfrac{682}{496}$ pour la rendre irréductible.
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{Exercice 3}

\medskip
 
Soit D $= (3x + 1)^2 - 9$

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Développer et réduire D. 
\item Factoriser D. 
\item Résoudre l'équation $(3x - 2)(3x + 4) = 0$. 
\item Calculer la valeur de D pour $x = \sqrt{2}$ ; donner le résultat sous la forme $a\sqrt{2} + b$ avec $a$ et $b$ deux nombres entiers.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Exercice 4}

\medskip
 
Le tableau ci-dessous donne la répartition, par âge, de l'équipage d'un voilier préparant une régate.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
âge des équipiers	&18	&20 &22	&28\\ \hline 
Nombre des équipiers&1	&4	&3 	&2\\ \hline 
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer l'effectif total de l'équipage. 
\item Calculer l'âge moyen des équipiers de ce voilier. 
\item Quelle est la médiane des âges des équipiers ? 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Activités géométriques} \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Un équipage guyanais, participant à une régate, décide de refaire les voiles de son trois mâts. Dans tout l'exercice, l'unité de longueur est le mètre.

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(14,11)
\pspolygon(0,1.2)(13.7,1.2)(12.5,0)(1.2,0)
\psline(1.8,1.2)(1.8,10.2)(5.3,2.4)(1.8,2.4)
\psline(5.3,1.2)(5.3,8.4)(9.5,2.4)(5.3,2.4)
\psline(9.5,1.2)(9.5,4.6)(12,2.4)(9.5,2.4)
\psline[linestyle=dashed](5.3,8.4)(9.5,4.6)
\uput[l](1.8,2.4){B}\uput[l](1.8,10.2){A}
\uput[dl](5.3,2.4){C}\uput[u](5.3,8.4){D}
\uput[dl](9.5,2.4){E}\uput[u](9.5,4.6){F}
\uput[r](12,2.4){G}
\rput(10,8){Le dessin n'est pas à l'échelle}
\end{pspicture}
\end{center} 

\begin{enumerate}
\item La petite voile est représentée par le triangle EFG rectangle en E avec EG = 4,5 et FG = 7,5. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que EF = 6. 
		\item  Calculer $\tan \left(\widehat{\text{EGF}}\right)$ et en déduire la mesure arrondie au degré de l'angle $\widehat{\text{EGF}}$.
	\end{enumerate} 
\item  La voile moyenne est représentée par le triangle DEC rectangle en C avec EC = 7,5 
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide des configurations géométriques codées sur la figure, démontrer que les droites (DC) et (EF) sont parallèles. 
		\item Calculer la distance DC.
	\end{enumerate} 
\item Pour la grande voile, représentée par le triangle BAC, l'équipage a déjà les mesures qui  sont: AB = 24, \quad  	BC = 7, \quad	AC = 25
 
Le triangle BAC est-il rectangle ? 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip
 
Le même équipage veut calculer le volume d'eau que peut contenir la quille du bateau représentée sur la figure ci-dessous.

\medskip

\parbox{0,48\linewidth}{\psset{unit=0.4cm}
\begin{pspicture}(0,-4)(14,11)
\pspolygon(0,1.2)(13.7,1.2)(12.5,0)(1.2,0)
\psline(1.8,1.2)(1.8,10.2)(5.3,2.4)(1.8,2.4)
\psline(5.3,1.2)(5.3,8.4)(9.5,2.4)(5.3,2.4)
\psline(9.5,1.2)(9.5,4.6)(12,2.4)(9.5,2.4)
\psline[linestyle=dashed](5.3,8.4)(9.5,4.6) 
\psframe(6.35,0)(7.35,-3)
\psline(4.85,-3)(8.85,-3)
\psline(4.85,-4)(8.85,-4)
\psarc(8.85,-3.5){0.5}{-90}{90}
\psarc(4.85,-3.5){0.5}{90}{270}
\rput(10,-2.3){La quille}\psline{->}(10,-2.7)(7,-3.5)
\end{pspicture}} \hfill
\parbox{0,48\linewidth}{\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(8.8,4)
\psline(1.6,3)(7.2,3)
\psline(1.6,0)(7.2,0)
\psarc(7.2,1.5){1.5}{-90}{90}
\psarc(1.6,1.5){1.5}{90}{270}
\psline[linestyle=dashed](1.6,1.5)(1.6,3)
\rput(4.4,3.6){LA QUILLE}
\rput{90}(1.6,1.5){\psscalebox{1 0.45}{\psarc[linewidth=1pt](0,0){1.51}{0}{180}}}%
\rput{90}(1.6,1.5){\psscalebox{1 0.45}{\psarc[linewidth=1pt,linestyle=dashed](0,0){1.51}{180}{0}}}%
\rput{90}(7,1.5){\psscalebox{1 0.45}{\psarc[linewidth=1pt](0,0){1.51}{0}{180}}}%
\rput{90}(7,1.5){\psscalebox{1 0.45}{\psarc[linewidth=1pt,linestyle=dashed](0,0){1.51}{180}{0}}}%
\end{pspicture} }

\medskip

\begin{enumerate}
\item La partie centrale de la quille est représentée par un cylindre comme ci-contre.

\medskip

\parbox{0.55\linewidth}{\textbf{a.}
En prenant $\pi \approx 3,14$, vérifier que le volume de ce cylindre vaut $35,325$\,m$^3$.
  
\textbf{b.} Sachant que un litre est égal à un décimètre cube, en déduire le volume d'eau en litre que peut contenir ce cylindre.
} \hfill
\parbox{0.4\linewidth}{\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(8.8,4)
\psline(0.8,3)(8,3)
\psline(0.8,0)(8,0)
\psellipse(8,1.5)(0.8,1.5)
\rput{90}(0.8,1.5){\psscalebox{1 0.45}{\psarc[linewidth=1pt](0,0){1.51}{0}{180}}}%
\rput{90}(0.8,1.5){\psscalebox{1 0.45}{\psarc[linewidth=1pt,linestyle=dashed](0,0){1.51}{180}{0}}}%
\psline[linestyle=dashed](0.8,1.5)(0.8,3)
\uput[u](4.4,3){5 mètres}
\rput(2.3,2.25){1,5 mètre}
\end{pspicture}}
 
\item Les deux extrémités de la cuve sont des demi boules de rayon 1,5~m. 

\medskip

\parbox{0.55\linewidth}{ 
\textbf{a.} En prenant à nouveau $\pi \approx 3,14$, calculer le volume total en m$^3$ que représente ces deux demi boules.
 
\textbf{b.} Montrer que le volume total de la quille vaut $49,455$~m$^3$.}
\hfill 
\parbox{0.55\linewidth}{\psset{unit=0.9cm}
\begin{pspicture}(0,-0.5)(6,3.5)
\psarc(2.8,0.5){2.8}{0}{180}
\psline[linestyle=dashed](2.8,0.5)(5.6,0.5)
\rput(2.8,0.5){\psscalebox{1 0.35}{\psarc[linewidth=1pt](0,0){2.8}{180}{0}}}%
\rput(2.8,0.5){\psscalebox{1 0.35}{\psarc[linewidth=1pt,linestyle=dashed](0,0){2.8}{0}{180}}}%
\uput[d](4.2,0.5){1,5 mètre}
\end{pspicture} }

\bigskip

\item  La quille est remplie à 20\,\% de sa capacité maximale. Quel est le volume d'eau en m$^3$ que contient la quille ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Rappel :}

Volume du cylindre $= \pi R^2 h$ \quad  Volume de la boule $= \dfrac{4}{3}\pi R^3$
 
Avec: $R$ : rayon et $h$ : hauteur 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points}

\bigskip

Dans ce problème, on s'intéresse au trajet d'une régate organisée aux abords de Cayenne reliant la pointe du Mahury à l'îlet La Mère.
 
Le plan est muni d'un repère orthonormal (O, I, J), \textbf{une unité représente 0,5 mille marin sur chaque axe.}
 
P désigne la pointe du Mahury, M l'antenne de l'îlet La Mère, Q l'îlet le père, B la bouée numéro 14 du chenal et D le Fort Diamant.

\bigskip
 
\textbf{PARTIE I}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Placer les points suivant dans le repère de la feuille annexe qui est à remettre avec la  copie : 

\[\text{P}(-5~;~-2,5) \quad ;\quad \text{M}(4~;~2)\quad ;\quad \text{Q}(1~;~6,5)\quad ;\quad 	\text{D}(-4~; ~-1)\]
 
On complétera la figure au fur et à mesure. 
\item  B est le milieu de [PM]. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les coordonnées de B. 
		\item Placer le point B dans le repère.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que PM $\approx 10$ unités. 
		\item En déduire la distance à vol d'oiseau de la Pointe du Mahury à l'îlet La Mère en mille marin puis en kilomètre sachant que 1 mille marin vaut $1,852$~km.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{PARTIE II}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On donne les fonctions $f,~g$ et $h$ suivantes: 

\[f(x) = - \dfrac{3}{2}x \qquad 	g(x) = \dfrac{3}{2} x + 5 \qquad  
h(x) = 5\]
 
La droite (PQ) est la représentation graphique de l'une de ces fonctions. Laquelle ? Justifier la réponse. 
\item Le Fort Diamant est représenté par le point D$(- 4~;~-1)$. Le point D appartient-il à la droite (PQ) ? Justifier votre réponse.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE III}

\medskip
 
Un voilier est parti de la Pointe du Mahury. Il se trouve au point V image de P par la translation de vecteur $\vect{\text{DO}}$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer graphiquement les coordonnées de $\vect{\text{DO}}$. 
\item Placer le point V dans le repère. 
\item Calculer les coordonnées de V. 
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{ANNEXE À REMETTRE}

\vspace{1.5cm}

\psset{unit=1.2cm}
\begin{pspicture}(-5,-3)(5,7)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-5,-3)(5,7)
\uput[dl](0,0){O} \uput[dr](1,0){I} \uput[ul](0,1){J}
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,gridwidth=0.4pt,subgridwidth=0.2pt,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](-5,-3)(5,7)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}