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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Diplôme national du brevet}
\lfoot{\small{juin 2002}}
\rfoot{\small{La Réunion}}
\pagestyle{fancy}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Brevet  juin 2002~\decofourright\\La Réunion}} \end{center}
    
\vspace{0,5cm}

Calculatrice autorisée \hfill 2 heures 

\vspace{0,5cm}

\begin{center}

\textbf{Il sera tenu compte de la qualité de la rédaction et de la 
présentation (4 points)}

\end{center}

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère A $= \dfrac{5}{3} + \dfrac{11}{2} \times \dfrac{1}{33 }$. 
	 	
Écrire A sous la forme d'une fraction dont le dénominateur est égal à 6.
\item  On considère B $ = \dfrac{24 \times 10^2 \times 10^{-5}}{8 \times 10^{-10}}$.
	 
Calculer B en donnant le résultat sous forme d'écriture scientifique. 
\item  On considère C $ = \dfrac{357}{595}$.

Simplifier la fraction C pour la rendre irréductible.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Exercice 2}

\medskip
 
Soit E $ = (2x - 3)^2 - 16$.
 
\begin{enumerate}
\item Développer et réduire E. 
\item Factoriser E. 
\item Calculer E pour $x = 0$. 
\item Résoudre l'équation $(2x + 1) (2x - 7) = 0$. 
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Exercice 3}

\medskip
 
Un antiquaire souhaite vendre une armoire au prix initial de 380~euros (380~\euro).
 
\begin{enumerate}
\item Ne parvenant pas à la vendre, il décide d'accorder une remise de 20\:\% sur son prix initial.
 
Calculer le nouveau prix de l'armoire. 
\item La vente ne se faisant pas, il décide d'accorder une remise de 114~\euro{} sur le prix initial de 380~\euro.
 
Calculer le pourcentage de la réduction faite sur le prix initial.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1} 

\medskip

\parbox{0.45\linewidth}{\begin{enumerate}
\item Quelle est l'image du quadrilatère ODMB par la symétrie d'axe (OD) ? 
\item Recopier et compléter les quatre égalités ci-dessous: 

$\vect{\text{OD}} = \vect{\text{\ldots N}}$ 

$\vect{\text{M \ldots}}  = \vect{\text{BA}}$ 

$\vect{\text{NO}} + \vect{\text{NC}} = \vect{\text{\ldots}}$
 
$\vect{\text{BM}} + \vect{\text{MA}} = \vect{\text{\ldots}}$
\item Quelle est l'image du triangle NOB par la 
translation de vecteur $\vect{\text{AN}}$ ?
\end{enumerate}}\hfill \parbox{0.53\linewidth}{\psset{unit=3.5mm}\begin{pspicture}(18,11)
\psdots[dotstyle=+](3,9)(8,9)(13,9)(7,6)(12,6)(8,3)(13,3)%ANCODBM
\uput[ul](3,9){A}\uput[ul](8,9){N}\uput[ur](13,9){C}\uput[dr](7,6){O}\uput[dr](12,6){D}\uput[dl](8,3){B}\uput[dr](13,3){M}
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt,gridcolor=orange]
\end{pspicture}}

\bigskip

\textbf{Exercice 2} 

\medskip

\parbox{0.5\linewidth}{MNP est un triangle rectangle en N tel que MP = 25. 

I est le point du segment [MN] tel que :

MI = 8 et IN = 7 ;
 
La perpendiculaire au côté [MN] passant par I coupe le côté [MP] en J. 
\begin{enumerate}
\item  Justifier que les droites (IJ) et (NP) sont parallèles. 
\item  Calculer MJ.
\end{enumerate}}\hfill
\parbox{0.5\linewidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6.5,7)
\pspolygon(0.5,0.5)(6,0.5)(6,7)%MNP
\psline(3.65,0.5)(3.65,4.25)%IJ
\uput[dl](0.5,0.5){M}\uput[dr](6,0.5){N}\uput[ul](6,7){P}\uput[d](3.65,0.5){I}\uput[u](3.65,4.25){J}
\psframe(3.65,0.5)(3.9,0.75)\psframe(6,0.5)(5.75,0.75)
\end{pspicture}}
 
\bigskip

\textbf{Exercice 3} 

\medskip

AIR est un triangle rectangle en A tel que  : 
 
AI = 6,5 cm et $\widehat{\text{AIR}} = 35$ degrés .

La hauteur issue de A coupe le côté [RI] en P.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Faire la figure. 
 \item
	\begin{enumerate}
		\item Recopier l'égalité et la compléter en utilisant les côtés du triangle AIR : $\tan \widehat{\text{AIR}} = \dfrac{\ldots}{\ldots}$.
		\item En déduire la longueur AR en cm (on donnera la valeur arrondie au dixième). 
	\end{enumerate} 
\item En utilisant le triangle PAI, calculer la longueur AP en cm (on donnera la valeur arrondie au dixième).
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{PROBLÈME \hfill 12 points}

\bigskip
 
Le plan est muni d'un repère (O, I , J). L'unité est le centimètre.
 
On considère les points A (6~;~5); B$(2~;~- 3)$ ; C$(-4~;~0)$

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Place les points dans le repère. 
\item Calculer en cm les distances AB, BC et CA, et vérifier que ces distances peuvent s'écrire : 

\[\text{AB} = 4\sqrt{5}, \quad \text{BC} = 3\sqrt{5}\quad  \text{et}\quad  \text{CA} = 5\sqrt{5}.\] 
\item Démontrer que le triangle ABC est rectangle en B. 
\item Calculer le périmètre $P$ du triangle ABC. On donnera le résultats sous la forme $a\sqrt{5}$, où $a$ désigne un nombre entier. 
\item Calculer en cm$^2$ l'aire $S$ du triangle ABC.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer les coordonnées de $\vect{\text{BC}}$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Construire le point D tel que CBOD soit un parallélogramme.
		\item Donner les coordonnées du point D par lecture graphique.
	\end{enumerate}  
\item
	\begin{enumerate}
		\item Construire le cercle $(\mathcal{C})$ circonscrit au triangle ABC. 
		\item On appelle E le centre du cercle $(\mathcal{C})$. Calculer les coordonnées de E. 
		\item Le point D est-il situé sur le cercle $(\mathcal{C})$ ? Justifier votre réponse. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}