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%Tapuscrit : Denis Vergès rectifié par Céline Galland (merci !)
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\lfoot{\small{Liban}}
\rfoot{\small{juin 2007}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}

\textbf{Durée : 2 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Liban juin 2007 \decofourright}}

\vspace{0,25cm}

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.

 \end{center}
 
\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Activités numériques} \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Donner l'écriture scientifique du nombre A :

\[\text{A} = \dfrac{500  \times \left(10^{-3}\right)^2 \times 2,4 \times 10^7}{8 \times 10 ^{-4}}\]

\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer le PGCD de $854$ et \np{1610}.
		\item  Donner la fraction irréductible de $\dfrac{854}{\np{1610}}$.
	 \end{enumerate}
\item Calculer le nombre B et donner le résultat sous la forme $a\sqrt{3}$ où $a$ est un nombre entier relatif :
\[\text{B} = -3 \sqrt{27} + \sqrt{75} - 2\sqrt{108}.\]
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Pour chaque question, écrire sur la copie la lettre correspondant à la bonne réponse. Aucune justification n'est demandée.

Le candidat obtiendra 1 point par réponse juste, perdra 0,5 point par réponse fausse ; n'obtiendra pas de point en l'absence de réponse.

Le score du candidat ne peut pas être négatif.

\medskip

\renewcommand{\arraystretch}{2}
{\small\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|p{3.5cm}||*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
N°& Question& A& B& C& D\\ \hline
1& Pour $x = 2\sqrt{5}$, l'expression $x^2 + 2x + 1$ vaut : &$25\sqrt{5}$&$24\sqrt{5} + 1$&$21 + 4\sqrt{5}$&$13\sqrt{5}$\\ \hline
2& L'équation $2x - 7 = 5x + 8$ a pour solution :&$- \dfrac{1}{3}$&$5$&$ \dfrac{1}{3}$&$-5$\\ \hline
3&$\sqrt{18}$  a pour valeur exacte : &9& 4,24& $9\sqrt{2}$& $3\sqrt{2}$\\ \hline
4& La fonction linéaire $f$ telle que $f(5) = 3$ a pour coefficient :&$\dfrac{5}{3}$&$\dfrac{3}{5}$&$8$&$2$\\ \hline
\end{tabularx}}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Résoudre le système $\renewcommand{\arraystretch}{1}\left\{\begin{array}{l c l}
2x +  3y&=& 27\\
4x + y&=&24\\
\end{array}\right.$

\item  On considère un parallélépipède rectangle. Si on prend le double de sa largeur et que l'on ajoute le triple de sa longueur, on trouve $27$~cm. Si on prend le quadruple de sa largeur et que l'on ajoute sa longueur, on trouve $24$~cm.

Déterminer la largeur et la longueur de ce parallélépipède rectangle.
\item  Sachant que le volume du parallélépipède rectangle est $54$~cm$^3$, déterminer sa hauteur.
 \end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Activités géométriques} \hfill 12 points}
 
\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

On considère un repère orthonormé (O, I, J). L'unité de longueur est le centimètre.
\begin{enumerate}
\item  Placer les points A (3~;~7), B $(-1~;~2)$ et C (7~;~2).
\item  Démontrer que le triangle ABC est isocèle de sommet principal A.
\item  Soit A$'$ le milieu du segment [BC]. Calculer les coordonnées de A$'$.
\item  Placer le point D tel que $\vect{\text{CD}} = \vect{\text{AB}}$.

Que peut-on dire du quadrilatère ABDC ? Justifier la réponse.
\item  Montrer que le point A$'$ est le milieu du segment [AD] .
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Tracer un cercle $\mathcal{C}$ de diamètre [BC] tel que BC = $10$~cm. \\Placer un point A appartenant
au cercle $\mathcal{C}$ tel que AB = $8$~cm .
\item Quelle est la nature du triangle ABC ? Justifier la réponse.
\item Calculer la longueur AC.
\item Déterminer une valeur approchée, au degré près, de l'angle  $\widehat{\text{ABC}}$.
\item Placer le point O du segment [BC] tel que BO = $2$~cm. Tracer la parallèle à la droite (AC) passant par B qui coupe la droite (AO) en D. Calculer la longueur BD.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points}

\bigskip

La chaîne de télévision France Direct 1 décide d'organiser un concours de la meilleure femme Disque Jockey (DJ). Puisque les téléspectateurs vont pouvoir voter pour la meilleure candidate grâce à l'envoi de mini-messages (SMS) pour cette grande soirée retransmise en direct, la chaîne a décidé de s'associer à trois sociétés de téléphonie. Ces dernières proposent un tarif spécial pour ce soir-là :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~$]  Société Pamplemousse : un forfait de 9 \euro{} et 0,15 \euro{} par SMS ;
\item[$\bullet~$]  Société Triangle Vert : 0,30 \euro{} par SMS ;
\item[$\bullet~$]  Société Brique Mobile : 21 \euro{} pour un nombre de SMS illimité.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Le temps de vote est fixé à 30 minutes. Sachant qu?il faut 15 secondes pour écrire un SMS et l'envoyer, combien de messages au maximum pourra envoyer un téléspectateur pendant le temps de vote ?
\item  On suppose qu'un téléspectateur envoie $50$~SMS pendant le temps de vote. Recopier et compléter le tableau suivant :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{2,5cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Société& Pamplemousse& Triangle Vert& Brique Mobile\\ \hline
Coût, en euros, pour 50 SMS&&& \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
\item   On appelle $x$ le nombre de SMS envoyés par un téléspectateur.
On note $P(x)$ le coût pour $x$ SMS s'il choisit la société Pamplemousse, $T(x)$ le coût pour $x$ SMS s'il choisit la société Triangle Vert et $B(x)$ le coût pour $x$ SMS s'il choisit la société Brique Mobile.

Exprimer $P(x),~ T(x)$ et $B(x)$ en fonction de $x$.
\item   Dans un repère orthogonal, on prend les unités suivantes :
	\begin{itemize}
		\item[$\bullet~$] sur l'axe des abscisses, $1$~cm représente $10$~SMS ;
		\item[$\bullet~$] sur l'axe des ordonnées, $1$~cm représente 3~\euro.
	\end{itemize}
On placera l'origine du repère en bas à gauche de la feuille.

Tracer les représentations graphiques des fonctions $f,~ g$ et $h$ définies, pour tout nombre $x$, par :
\[f (x) = 0,15x + 9,~ g(x) = 0,30x~ \text{et}~h(x ) = 21.\]
\item   Dans cette question, on répondra aux différentes questions en utilisant le graphique et en faisant apparaître les tracés nécessaires.
	\begin{enumerate}
		\item  À partir de combien de SMS la proposition de la société Brique Mobile devient-elle intéressante ?
		\item  Les parents d'Arthur lui donnent 15 \euro{} pour la soirée. Étant un fan du DJ Carmen, Arthur veut envoyer pour elle un maximum de SMS pendant la soirée. Indiquer quelle société il devra choisir et combien de SMS il pourra envoyer.
	 \end{enumerate}
\item Le vote est terminé. Les trois concurrentes DJ Carmen, DJ Desdémone et DJ Elvira attendent les résultats. \np{724 560}~SMS ont été reçus. DJ Carmen l'emporte avec 60\:\%
des voix. Donner une valeur arrondie à l'unité du nombre de SMS envoyés par seconde pour DJ Carmen.
\end{enumerate}
\end{document}