\documentclass[a4paper,11 pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt} 
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{multicol}
\usepackage{multirow}
\usepackage{array}
\usepackage{pstricks}
\usepackage{pstricks-add}
\usepackage{pst-eucl}
\usepackage{pst-plot,xkeyval}
\usepackage{lscape}
\usepackage{pifont}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{marvosym}
\usepackage{xcolor}
\usepackage{colortbl}
\usepackage{parallel}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{multicol}
\usepackage{multirow}
\usepackage{tabularx}
%\usepackage{german}
\setlength{\columnseprule}{0.5pt}
% Tapuscrit Claire Lacaze
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%réglages de pages
\textheight 27.1 cm  %25.2cm
\topmargin -2cm %Denis met - 2cm%%%%%%%%%%
\headheight15 mm
\headsep 0 mm
\footskip 10 mm
\parindent 0pt
%
\textwidth 180 mm
\oddsidemargin -15 mm
\evensidemargin -15 mm
%


\def\({$\displaystyle}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\ang}{\widehat}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\V}{\overrightarrow}
\newcommand{\Pa}{//}
\newcommand{\REspace}{(O\,;\,\vec{\imath}\,,\,\vec{\jmath}\,,\,\vec{k})}
\newcommand{\RE}{(O\,;\,\vec{\imath}\,,\,\vec{\jmath})}
\newcommand{\dessin}{\includegraphics}
\newcommand{\curs}{\mathcal}
\newcommand{\s}{\section}
\newcommand{\sub}{\subsection}
\newcommand{\ssub}{\subsubsection}
\newcommand{\entete}[4]{\begin{tabular*}{\linewidth}{%
l@{\extracolsep{\fill}}c@{\extracolsep{\fill}}r}
\textbf{#1}&\textbf{#2}&\textbf{#3}\\
\textbf{Calculatrice #4}
\end{tabular*}
}

\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small A. P. M. E. P.}
\rhead{\small Brevet des collèges }%tapez un titre
\lfoot{\small{Liban}}
\rfoot{\small{juin 2009}}
\thispagestyle{empty}
   \definecolor{gristab}{gray}{0.80}
 
\begin{center}    {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet des collèges  Liban juin 2009~\decofourright}} 
\end{center}

\vspace*{1cm}

\textbf{\textsc{Activités numériques} }
 
\medskip

\textbf{\textsc{Exercice} 1 }

\medskip

On donne l'expression numérique : $$A=2\times 10^2+10^1+10^{-1}+2\times 10^{-2}$$

\begin{enumerate}
\item Donner l'écriture décimale de $A$.
\item Donner l'écriture scientifique de $A$.
\item Écrire $A$ sous la forme d'un produit d'un nombre entier par une puissance de 10.
\item Écrire $A$ sous la forme d'une somme d'un entier et d'une fraction irréductible inférieure à 1.
\end{enumerate}

\textbf{\textsc{Exercice} 2 }

\medskip

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).
 
Pour chacune des questions, trois réponses sont proposées, une seule est exacte. En cas d'erreur, aucun point ne sera enlevé.

Pour chaque question, indiquer son numéro sur la copie et recopier la réponse.

Aucune justification n'est demandée.

\medskip

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|}
\hline
&\textbf{Question}&\textbf{Réponse A} &\textbf{Réponse B}&\textbf{Réponse C}\\\hline
1&\begin{tabular}{l} La médiane de la série de \\ valeurs\\ 7; 8; 8; 12; 12; 14;\\ 15; 15; 41 \end{tabular}&\begin{tabular}{l} est égale à la \\ moyenne de \\ cette série de \\ valeurs \end{tabular}&\begin{tabular}{l} est supérieure à \\ la moyenne de \\ cette série de \\ valeurs \end{tabular}&\begin{tabular}{l} est inférieure à \\ la moyenne de \\ cette série de \\valeurs\end{tabular}\\\hline
2&\begin{tabular}{l} Diminuer un prix de 15 \%\\ revient à \end{tabular}&\begin{tabular}{l} diviser ce prix \\ par $0,85$. \end{tabular}&\begin{tabular}{l} multiplier ce \\prix par $1,15$. \end{tabular}&\begin{tabular}{l} multiplier ce\\ prix par $0,85$.\end{tabular}\\\hline
3&\begin{tabular}{l} si $x=3$ alors \\ l'expression $A=-2x^2$ \\ est égale à \end{tabular}&18&$-18$&36\\\hline
4&\begin{tabular}{l} L'équation \\ $(2x+1)-(x-3)=0$\end{tabular}&\begin{tabular}{l} admet deux \\ solutions :\\ $-0,5$ et 3. \end{tabular}&\begin{tabular}{l} admet une \\ solution  : 2 \end{tabular}&\begin{tabular}{l} admet une \\ solution : $-4$.\end{tabular}\\\hline
\end{tabular}
\end{center}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice} 3}

\medskip

 Soit $A=\dfrac{1}{4}\left[(a+b)^2-(a-b)^2\right]$.

\begin{enumerate}
\item Calculer $A$ pour $a = 1$ et $b = 5$.
\item Calculer $A$ pour $a = - 2$ et $b = - 3$.
\item Alex affirme que le nombre $A$ est égal au produit des nombres $a$ et $b$. A-t-il raison ? Justifier.
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Activités géométriques} }
 
\medskip

\textbf{\textsc{Exercice} 1 }

\medskip

\textbf{L'unité de longueur est le centimètre}.
 
$ABCD$ est un carré tel que : $AB = 4$.

Le point $M$ est situé dans le carré $ABCD$ et vérifie : $AM = 2,4$ et $DM = 3,2$.

La droite $(AM)$ coupe la demi-droite $[DC)$ au point $I$.

\begin{enumerate}
\item Faire une figure en vraie grandeur.
\item Montrer que le triangle $AMD$ est rectangle en $M$.
\item Calculer au degré près la mesure de l'angle $\widehat{DAM}$.
\item Dans le triangle $ADI$ rectangle en $D$, exprimer $\tan{\left(\widehat{DAI}\right)}$.

En déduire une valeur approchée au mm près de la longueur $DI$.

\end{enumerate}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice} 2 }
 
\medskip

Annie possède de la ficelle dont la forme est un cylindre de rayon 0,5~mm et de hauteur $h$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que le volume de cette ficelle cylindrique est égale à $0,0025\times \pi\times h$ cm\up{3}.
\item En enroulant cette ficelle, Annie obtient une pelote ayant la forme d'une boule de rayon 30 cm.

On suppose que la ficelle est enroulée de manière qu'il n'y a aucun vide dans la pelote. Montrer que le volume de cette boule est égal à $\np{36000} \times \pi $ cm\up{3}.
\item Vérifier que la hauteur $h$ du cylindre (la longueur de la ficelle) est égale à 144~km.
\item Annie prétend que si les 294~autres élèves de son collège possédaient chacun la même pelote, on pourrait faire le tour de l'équateur terrestre en déroulant toutes ces pelotes et en les reliant bout à bout. A-t-elle raison ? Justifier. (On rappelle que le rayon de la Terre est environ égal à \np{6400}~km).\\
\end{enumerate}

 \textbf{Rappels :}
 
\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item Le volume d'un cylindre de hauteur $h$ et de rayon $r$ est $V=\pi\times r^2\times h$
\item Le volume d'une sphère de rayon $r$ est $V=\dfrac{4}{3}\times \pi\times r^3$
\item Le périmètre d'un cercle de rayon $r$ est $L=2\times \pi\times r$
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
\newpage

\textbf{\textsc{Problème} }

\begin{center}
\textbf{Les trois parties sont indépendantes}
\end{center}

Deux frères ont hérité d'un terrain que l'on peut assimiler à un triangle rectangle.

L'aire de ce terrain est égale à \np{2400}~m\up{2}.

Ils désirent construire un muret afin de partager ce terrain en deux parcelles de même aire, soit \np{1200}~m\up{2} par parcelle.

Pour cela, on partage le terrain selon un segment $[MN]$, $M$ et $N$ étant respectivement sur les côtés $[CB]$ et $[CA]$. Les droites $(MN)$ et $(AB)$ sont parallèles.

 Dans tout ce problème, l'unité de longueur est le mètre. On donne : $AB=60$ et $BC=80$.

\medskip

\begin{minipage}[c]{0.58\linewidth}

\textbf{Partie A}\\

Dans cette partie : $CM=50$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que $MN=37,5$.
\item Comparer les aires du triangle $CMN$ et du trapèze $ANMB$ après les avoir calculées.
\item Pour que les deux aires soient égales, doit-on placer le point $M$ à plus de 50 m de $C$ ou à moins de 50 m de $C$ ?
\end{enumerate}

\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}[c]{0.28\linewidth}
\psset{unit=1cm,dotscale=0.1}
\begin{pspicture}(-.5,-.5)(4.5,4)
\pstGeonode[PosAngle=-90](0,0){B}
\pstGeonode[PosAngle=90](0,2.8){A}
\pstGeonode[PosAngle=0](3.7,0){C}
\pstHomO[HomCoef=0.62,PosAngle=45]{C}{B}[M]
\pstHomO[HomCoef=0.62,PosAngle=45]{C}{A}[N]
\pstLineAB{A}{B}
\pstLineAB{A}{C}
\pstLineAB{C}{B}
\pstLineAB{N}{M}
\pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](0,-0.6){b}
\pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](3.7,-0.6){c}
\pstLineAB[linestyle=dotted]{b}{c}\lput*{:U}{$80$}
\pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](-0.32,0){b'}
\pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](-0.32,2.8){a}
\pstLineAB[linestyle=dotted]{b'}{a}\lput*{:R}{$60$}
\pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](0,-0.3){b''}
\pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](3.7,-0.3){c'}
\pstHomO[HomCoef=0.62,PointSymbol=none,PointName=none]{c'}{b''}[m]
\pstLineAB[linestyle=dotted]{m}{c'}\lput*{:U}{$50$}

\end{pspicture}
\end{minipage}

\bigskip

\begin{minipage}[c]{0.58\linewidth}

\textbf{Partie B}
 
\medskip

On veut déterminer la distance $CM$ pour laquelle l'aire du triangle $CNM$ est égale à \np{1200}~m\up{2}.
 
On pose $CM=x$.

\begin{enumerate}
\item Démontrer que $MN = \dfrac{3}{4}x$.
\item Démontrer que l'aire du triangle $CNM$, exprimée en m\up{2}, a pour mesure : $\dfrac{3}{8}x^2$.
\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}[c]{0.28\linewidth}
\psset{unit=1cm,dotscale=0.1}
\begin{pspicture}(-.5,-.5)(4.5,4)
\pstGeonode[PosAngle=-90](0,0){B}
\pstGeonode[PosAngle=90](0,2.8){A}
\pstGeonode[PosAngle=0](3.7,0){C}
\pstHomO[HomCoef=0.69,PosAngle=45]{C}{B}[M]
\pstHomO[HomCoef=0.69,PosAngle=45]{C}{A}[N]
\pstLineAB{A}{B}
\pstLineAB{A}{C}
\pstLineAB{C}{B}
\pstLineAB{N}{M}
\pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](0,-0.6){b}
\pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](3.7,-0.6){c}
\pstLineAB[linestyle=dotted]{b}{c}\lput*{:U}{$80$}
\pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](-0.32,0){b'}
\pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](-0.32,2.8){a}
\pstLineAB[linestyle=dotted]{b'}{a}\lput*{:R}{$60$}
\pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](0,-0.3){b''}
\pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](3.7,-0.3){c'}
\pstHomO[HomCoef=0.69,PointSymbol=none,PointName=none]{c'}{b''}[m]
\pstLineAB[linestyle=dotted]{m}{c'}\lput*{:U}{$x$}
\end{pspicture}
\end{minipage}
\begin{enumerate}
\item[3.] Soit $f$ la fonction qui, au nombre $x$ appartenant à l'intervalle $[0\,;\,80]$, associe l'aire du triangle $CMN$.\\
On note $f : x \longmapsto \dfrac{3}{8}x^2$.

Page suivante, on a construit la courbe représentant la fonction $f$.

\newpage

\begin{center}
\psset{xunit=0.13cm,yunit=0.0048cm,dotscale=0.1,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-5,-50)(90,2400)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(-1,0)(82,0)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,-30)(0,2400)
\multido{\n=0+5}{17}{\psline(\n,-50)(\n,2400)}
\multido{\n=0+50}{49}{\psline(-1,\n)(82,\n)}
\multido{\n=0+10}{9}{\rput[d](\n,-40){\scriptsize{\n}}}
\multido{\n=0+100}{24}{\rput[d](-4,\n){\scriptsize{\n}}}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{80}{(3/8)*x^2}
\end{pspicture}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item[a.] À l'aide de cette courbe, déterminer où il faut placer le point $M$ pour que les deux parcelles aient la même aire.
		
\emph{On donnera une valeur approchée.}
		\item[b.] En résolvant une équation, déterminer la valeur exacte de $x$ pour laquelle les deux parcelles ont la même aire.
		\item[c.] En déduire la valeur exacte de la longueur $MN$ du muret puis donne une valeur approchée au dm près de $MN$.
		
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\textbf{Partie C}
 
\medskip

\begin{enumerate}
\item Le muret est construit avec des briquettes de 20~cm de longueur et de 10~cm de hauteur. Calculer le nombre de briquettes nécessaires à la construction de ce muret de 42,40~m  de longueur et de 1~m  de hauteur.
\item Sachant que 20~briquettes coûtent 35~\EUR, calculer le coût du muret.
\end{enumerate}

\end{document}