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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Diplôme national du brevet}
\lfoot{\small{juin 2003}}
\rfoot{\small{Lyon}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Diplôme national du brevet  juin 2003~\decofourright\\
Besançon, Dijon, Grenoble, Lyon, Nancy-Metz, Reims et Strasbourg}} \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Activités numériques \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Écrire A sous la forme $a \sqrt{b}$ où $a$ et $b$ sont des
 nombres entiers naturels, $b$ étant le plus petit possible :

\[\text{A} = 2\sqrt{45} - 3\sqrt{5} + \sqrt{20}.\]

\item  Calculer l'expression suivante B et donner son écriture
 scientifique :

\[\text{B} = \dfrac{150 \times 10^3 \times 10^5}{6 \times 10^7}.\]
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On considère l'expression C = $(2x + 5)^2 -(x + 3)(2x + 5)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Développer et réduire C.
\item   Factoriser C.
\item   Résoudre l'équation $(2x + 5)(x + 2) = 0$.
\item   Calculer l'expression C pour $x = - \dfrac{2}{3}$. (on mettra
 le résultat sous la forme d'une fraction irréductible)
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Résoudre le système suivant : 
$\left\{\begin{array}{l c l}
4x + 3y & = & 206\\
2x + 2y & = & 114\\
\end{array}\right.$

\item  Lors d'un spectacle, la famille A, composée de 4 adultes et
 de 3 enfants, a payé 206 euros.

Pour le même spectacle, la famille B, composée de 2 adultes et de
 2 enfants, a payé 114 euros.

Combien paiera la famille C, sachant qu'elle est composée de 3 adultes
 et de 2 enfants ?
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{flushright}\textbf{Tournez la page s'il vous plaît} 
\end{flushright}

\newpage

\textbf{Activités géométriques \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

L'unité est le centimètre.

Dans la figure ci-dessous, les droites (AB) et (CD) sont parallèles.

Les droites (AD) et (BC) se coupent en E.

On donne DE = 6, AE = 10, AB = 20 et BE = 16.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(5,2.5)
\psline(0,0)(5,0) \psline(0,1.6)(5,1.6)
\uput[d](1.3,0){A} \uput[d](4.8,0){B} \uput[u](0.8,1.6){C} 
\uput[u](3.7,1.6){D} \uput[u](2.6,0.9){E} \uput[ur](3.2,0.6){F} 
\uput[d](2,0){G}
\psline(1.3,0)(3.7,1.6) \psline(4.8,0)(0.8,1.6)
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip

Les deux figures de cette page ne sont pas réalisées en vraie grandeur.
Elles ne sont pas à reproduire.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Calculer la distance CD.
\item  Les points F et G appartiennent respectivement aux segments
[BC] et [AB].

Ils vérifient : BF = 12,8 et BG = 16. Montrer que les droites (FG) et (AE) sont parallèles.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On considère le cône ci-contre de sommet S et dont la base est le disque de rayon [OA].

Ce cône a pour hauteur SO = 8 cm et pour génératrice SA = 10 cm.

I est un point du segment [SO] tel que SI = 2 cm.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(2.8,3.5)
\psellipse(1.4,0.5)(1.4,0.5)
\psline(0,0.5)(1.4,3.15)(2.8,0.5)
\psline[linestyle=dashed](0,0.5)(1.4,0.5)(1.4,3.15)
\uput[l](0,0.5){A} \uput[dr](1.4,0.5){O} \uput[u](1.4,3.15){S}
\uput[r](1.4,2.25){I} \psline(1.3,2.25)(1.5,2.25)
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip

\begin{enumerate}
\item  Montrer que OA = 6 cm.
\item  Montrer que la valeur exacte du volume $V$ du cône 
est égale à $96\pi$ cm$^3$. Donner la valeur arrondie au mm$^3$ près.
\item  Déterminer, au degré près, la mesure de l'angle 
$\widehat{\text{ASO}}$.
\item  On coupe ce cône par un plan parallèle à sa base et passant
par le point I. La section obtenue est un disque de centre I, réduction du disque
de base.
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer le rapport $k$ de cette réduction.
		\item  Soit $V'$ le volume du cône de sommet S et de base le disque de centre I. Exprimer $V'$ en fonction de $V$, puis donner la valeur arrondie de $V'$ au mm$^3$ près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Sur la figure de la feuille annexe (à rendre avec la copie), sont représentés huit hexagones réguliers. Les constructions demandées dans cet exercice doivent être effectuées directement sur cette feuille annexe.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Construire le point $M$ tel que  
$\vect{\text{A}M} = \vect{\text{AB}} + 
\vect{\text{AC}}$.

\item  Construire le point $Q$, symétrique de H par rapport à la droite
(BE).

\item  Construire le point $P$, image du point C par la rotation
de centre E et d'angle 60\degres dans le sens des aiguilles d'une montre.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Feuille annexe à rendre obligatoirement avec la 
copie}

\psset{unit=1.3cm}
\begin{center}\begin{pspicture}(-1,-1.8)(6,3)
\newcommand{\hexa}{
\pspolygon(1,0)(0.5,0.866)(-0.5,0.866)(-1,0)(-0.5,-0.866)(0.5,-0.866)}
\hexa \rput(0,1.732){\hexa} \rput(1.5,0.866){\hexa} \rput(3,0){\hexa} 
\rput(1.5,-0.866){\hexa} \rput(4.5,-0.866){\hexa} \rput(4.5,0.866){\hexa} 
\rput(3,1.732){\hexa}
\uput[dl](2,0){A} \uput[l](2.5,0.866){B} \uput[r](3.5,0.866){C} \uput[dr](4,0){D} 
\uput[r](3.5,-0.866){E} \uput[l](2.5,-0.866){F} \uput[ul](2,1.732){G} 
\uput[ur](3.5,2.598){H} 
\end{pspicture}\end{center}

\bigskip

\begin{flushright}\textbf{Tournez la page s'il vous plaît} 
\end{flushright}

\newpage

\textbf{Problème \hfill 12 points}

\bigskip

Les parties 1 et 2 sont indépendantes.

La figure ci-dessous est une vue de la surface au sol du C.D.I. d'un collège.

Ce C.D.I. doit être réaménagé en deux parties distinctes : une salle de recherche et une salle de travail.

ABCE est un trapèze rectangle tel que AB = 9 m, BC = 8 m et DE = 6 m.

$M$ est un point du segment [AB].

On pose A$M = x  (x$ est une distance exprimée en mètre : 
$0 \leqslant x \leqslant 9$).

\begin{center}
\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(7,3.5)
\pspolygon(0,0)(2.3,2.3)(6.6,2.3)(6.6,0)
\psline(3.5,0)(3.5,2.3)
\psline[linestyle=dashed](2.3,0)(2.3,2.3)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](3.5,0)(6.6,2.3)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=white](2,0)(2.3,0.3)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=white](3.5,0)(3.8,0.3)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=white](6.6,0)(6.3,0.3)
 \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=white](6.6,2.3)(6.3,2)
\uput[dl](0,0){E} \uput[dl](2.3,0){D} 
\uput[dl](3.5,0){$F$} \uput[dl](6.6,0){C} 
\uput[u](6.6,2.3){B} \uput[u](3.5,2.3){$M$} 
\uput[u](2.3,2.3){A} \uput[u](2.9,2.3){$x$}
\rput(5,1.5){Salle} \rput(5,1){de travail}
\rput(2.3,1.5){Salle} \rput(2.3,1){de} 
\rput(2.3,0.5){recherche}   
\end{pspicture}
\end{center}   

\textbf{Rappel :} l'aire d'un trapèze de hauteur $h$, de bases 
$b$ et $B$, est donnée par $a = \dfrac{h(b + B)}{2}$.

\bigskip

\textbf{PARTIE 1 :}

\medskip

La documentaliste souhaite que l'aire de la salle de travail soit égale à celle de la salle de recherche.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Dans cette question, uniquement, on suppose : $x = 1$. Calculer l'aire de trapèze
A$M$FE (salle de recherche), et l'aire du rectangle $M$BC$F$ (salle de travail).
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  Exprimer, en fonction de $x$, l'aire du trapèze A$MF$E.
		\item  Exprimer, en fonction de $x$, l'aire du rectangle $M$BC$F$.
	\end{enumerate}
\item On se propose de représenter graphiquement cette situation à l'aide de deux
fonctions affines $f$ et $g$.

$f$ est définie par : $ f(x) = - 8x + 72$ ;

$g$ est définie par : $g(x) = 8x + 24$. 

Sur la feuille de papier millimétrée, construire un repère orthogonal :

 - l'origine sera placée en bas à gauche,
 
 - en abscisse, on prendra 2 cm pour 1 unité (2 cm pour 1 m),
 
 - en ordonnée, on prendra 1 cm pour 4 unités (1 cm pour 4 m$^2$).

Représenter les fonctions affines $f$ et $g$, pour $0 
\leqslant x \leqslant 9$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item  En utilisant le graphique, indiquer la valeur 
de $x$ pour laquelle, ainsi que l'aire correspondante. Mettre en évidence ces valeurs sur le
graphique (pointillés, couleurs...).
		\item  Retrouver les résultats précédents par le calcul.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE 2}

\medskip

Dans cette partie, on pose $x = 3,5$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Donner en cm, les dimensions de la salle de travail MBCF.
\item  On souhaite recouvrir le sol de la salle de travail à l'aide d'un nombre entier
de dalles carrées identiques, de côté $c$ entier le plus grand possible.

	\begin{enumerate}
		\item  Expliquer pourquoi $c$ est le PGCD de 800 et 550.
		\item  Calculer la valeur de $c$, en indiquant la méthode utilisée.
		\item  Combien de dalles sont nécessaires pour recouvrir le sol de la salle de travail ?
	\end{enumerate}
\item Les dalles coûtent 13,50~euros le mètre carré.

Quelle somme devra-t-on payer pour acheter le nombre de dalles nécessaire ?
\end{enumerate}
%%%%%%%%  Fin Lyon juin 2003
\end{document}