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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\lfoot{\small Madagascar}
\rfoot{\small juin 2006}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Asie--Madagascar juin 2006~\decofourright}}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Activités numériques} \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

On considère les nombres :

\[\text{A} = \left(\dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{5}\right) \times\left(7+ \dfrac{37}{9}	\right) \quad\text{et}	 \quad \text{B} = \dfrac{ 7\times10^3 \times 5 \times 10^5}{14 \times \left(10^2\right)^3}.\]

En précisant toutes les étapes du calcul :

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Écrire A sous la forme d'une fraction irréductible.
\item Donner l'écriture scientifique de B.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Exercice 2}

\medskip

On considère les nombres
\[\text{C} = 5\sqrt{3}+ 2\sqrt{27}\quad \text{et}\quad  \text{D} =3\sqrt{2}\times \sqrt{6}.\]

Écrire les nombres C et D sous la forme $a\sqrt{3},~ a$ étant un nombre entier.

\bigskip
 
\textbf{Exercice 3}

On donne l'expression :

\[G = (2x -1)^2 + (2x -1)(3x + 5).\]
\begin{enumerate}
\item  Développer et réduire $G$.
\item Factoriser $G$.
\item Résoudre l'équation $G = 0$.
\end{enumerate} 

\bigskip

\textbf{Exercice 4}

L'histogramme ci-dessous illustre une enquête faire sur l'âge des 30 adhérents d'un club de badminton mais le rectangle correspondant aux adhérents de 16 ans a été effacé.

\begin{center}
\psset{xunit=2cm,yunit=0.4cm}
\begin{pspicture}(5,15)
\psaxes[Dx=10,Dy=2]{->}(0,0)(5,15)
\multido{\n=0+2}{7}{\psline[linestyle=dashed](0,\n)(5,\n)}
\uput[d](1,0){14} \uput[d](2,0){15} \uput[d](3,0){16} \uput[d](4,0){17} \uput[d](5,0){Âge}
\uput[l](0,15.2){Effectif} 
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.75,0)(1.25,7)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](1.75,0)(2.25,6)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](3.75,0)(4.25,10)
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip

\begin{enumerate}
\item  Calculer le nombre d'adhérents ayant 16 ans.
\item Quel est le pourcentage du nombre d'adhérents ayant 15 ans ?
\item Quel est l'âge moyen des adhérents du club ? Donner la valeur arrondie au dixième.
\item Reproduire et compléter le tableau ci-dessous pour réaliser un diagramme  semi-circulaire représentant la répartition des adhérents selon leur âge (on prendra un rayon de 4 cm).
\end{enumerate}

\begin{center}
\begin{tabular}{l|*{4}{c|}c}\hline
Âge&14 ans&15 ans&	16 ans&	17 ans&	Total\\ \hline
Nombre d'adhérents&	7&	6&&		10&	30\\ \hline
Mesure de l'angle (en degrés)&&&&&	180\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

\newpage

\textbf{\textsc{Activités géométriques} \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Soit un triangle ADE tel que :

\[\text{AD = 6,6 cm, DE = 8,8 cm et AE = 11 cm.}\]

B est le point du segment [AD] tel que AB = 3 cm et C est le point du segment [AE] tel que (BC) soit parallèle à (DE). Sur la figure ci-dessous les dimensions ne sont pas respectées ; on ne demande pas de reproduire la figure.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,5)
\pspolygon(2,0)(7.1,0)(2,3.3)
\psline(2,1.9)(4.22,1.9)
\psline{<->}(1.8,1.9)(1.8,3.3)
\psline{<->}(1.3,0)(1.3,3.3)
\psline{<->}(2,-0.3)(7.1,-0.3)
\psline{<->}(2.2,3.5)(7.2,0.2)
\pswedge(7.1,0){0.3}{143}{180}
\uput[ul](2,3.3){A} \uput[dl](2,1.9){B} \uput[dl](2,0){D} \uput[dr](7.1,0){E} \uput[ur](4.3,1.9){C} 
\rput{90}(1.6,2.5){3 cm} \rput{90}(1.1,1.5){6,6 cm} \uput[d](4.55,-0.3){8,8 cm} \uput[ur](4.8,2.1){11cm} \uput[l](6.8,0.2){$37^\circ$} 
\end{pspicture}
\end{center}
 
\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer la longueur BC.
\item Montrer que le triangle ADE est rectangle.
\item Calculer la valeur, arrondie au degré, de l'angle $\widehat{\text{DEA}}$.
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On considère un cylindre en bois de diamètre 12 cm et de hauteur 18 cm.

\medskip

\parbox{0.7\textwidth}{
\begin{enumerate}
\item Exprimer le volume du cylindre en fonction de $\pi$.
\item On creuse dans ce cylindre un cône de rayon 4 cm et de hauteur 18 cm.
Montrer que, en cm$^3$, la valeur exacte de la partie restante est $552 \pi$.
\item Quelle fraction du volume du cylindre le volume restant représente-t-il ?

Exprimer cette fraction en pourcentage ; l'arrondir au dixième.
\end{enumerate}}
\hfill
\parbox{0.28\textwidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(2.5,3.5)
\psline(0,0.4)(0,2.8) \psline(2.4,0.4)(2.4,2.8)
\psellipse(1.2,2.8)(1.2,0.5)
\psellipse(1.2,0.4)(1.2,0.5)
\psellipse(1.2,0.4)(0.85,0.25) 
\psline(0.35,0.4)(1.2,2.8)(2.05,0.4)
\end{pspicture}}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Tracer un triangle isocèle ABC de sommet principal B tel que :

\[ \text{AC = 4 cm et AB = 5 cm.}\]

\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Placer les points R et M tels que :

\[\vect{\text{CR}} = \vect{\text{AB}}\quad  \text{et}\quad  \vect{\text{BM}} = \vect{\text{BA}} + \vect{\text{BC}}. \]

		\item Quelle est la nature du quadrilatère ABRC ? Justifier. 
		\item Préciser la nature du quadrilatère ABCM. Justifier.
	\end{enumerate}
\item Démontrer que le point  C est le milieu du segment [MR].
\end{enumerate}
 
\newpage

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points}

\bigskip

\textsc{\textbf{Première partie}}

\medskip

Sur un plan, un terrain rectangulaire est représenté par un rectangle ABCD de largeur AB = 9 cm et de longueur BC = 12 cm.

\bigskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6,4.5)
\psframe(6,4.5)
\psline(0,0)(6,4.5)
\psline(2,0)(6,3)
\uput[dl](0,0){A} \uput[ul](0,4.5){B} \uput[ur](6,4.5){C} \uput[dr](6,0){D} 
\rput{90}(-0.2,2.25){9 cm} \uput[u](3,4.5){12 cm} \uput[d](1,-0){4 cm} \rput{37}(3,2.5){15 cm} 
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Déterminer l'aire du triangle ACD. 
\item Calculer AC.
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textsc{\textbf{Deuxième partie}}

\medskip

Les distances sont exprimées en cm et les aires en cm$^2$.

E est le point du segment [AD] tel que AE = 4 et $F$ est un point de [CD].

\medskip

\begin{enumerate}
\item  On suppose que C$F = 3$ les droites (E$F$) et (AC) sont-elles parallèles ? Justifier la réponse.

Pour la suite du problème, on pose C$F = x$.
\item Montrer que l'aire du triangle E$F$D est $36 - 4 x$.
\item Pour quelle valeur de $x$ l'aire du triangle E$F$D est-elle égale à 24 cm$^2$.
\item Exprimer l'aire du quadrilatère ACFE en fonction de $x$.

\item Le plan est muni d'un repère orthogonal. Les unités choisies seront les suivantes :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] sur l'axe des abscisses, 1 cm représentera 1 unité ;
\item[$\bullet~$] sur l'axe des ordonnées, 1 cm représentera 5 unités,
\end{itemize}
 
Représenter sur du papier millimétré la fonction affine $f \:: \:x  \longmapsto 18 + 4 x$.
\item Retrouver sur le graphique la réponse au 3 laisser apparents les traits de construction,
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textsc{\textbf{Troisième partie}}

\medskip

Sachant que la largeur réelle du terrain est 27 m ;

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Déterminer l'échelle du plan.
\item Calculer l'aire du terrain $\left(\text{en m}^2\right)$.
\end{enumerate}

\end{document}