\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{multicol} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pstricks,pst-plot}
%\usepackage{pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\setlength{\textheight}{23,5cm}
\setlength{\voffset}{-1,5cm}
\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Brevet des collèges},
pdftitle = {Aix-Marseille   juin 2002},
allbordercolors = white} 
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{juin 2002}}
\rfoot{\small{Aix-Marseille}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet - Aix - Marseille   
  juin 2002~\decofourright}}} \end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\Large{Activités numériques}\hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

On considère la fraction $\dfrac{170}{578}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que cette fraction n'est pas irréductible. 
\item Déterminer le PGCD des nombres 170 et 578 (faire
 apparaître les différentes étapes). 
\item Écrire la fraction $\dfrac{170}{578}$ sous forme
 irréductible.
\end{enumerate}
  
\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Soit $C = (x - 1)(2x + 3) + (x - 1)^2$

\begin{enumerate}
\item Développer l'expression $C$ et montrer qu'elle est égale
 à $3x^2 - x - 2$.
\item Calculer la valeur de $C$ pour $x = \sqrt{2}$ et la
 mettre sous la forme $a - \sqrt{2}$ où $a$ est un nombre entier. 
\item Factoriser l'expression $C$. 
\item Résoudre l'équation :

\[(x - 1)(3x + 2) = 0\] 

\end{enumerate}
  
\bigskip  

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre le système suivant 

\[ \left\{ \begin{array}{l c r}
2x + 3y& =& 30\\
 x - y& = &5\\
\end{array} \right.\] 

\item Le CDI d'un collège a acheté 2 exemplaires d'une même
 bande dessinée et 3 exemplaires d'un même livre de poche pour la somme de 30~euros.

Une bande dessinée coûte 5~euros de plus qu'un livre de poche. 

Quel est le prix d'une bande dessinée ? Quel est le prix d'un livre
 de poche ? 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\Large{Activités géométriques}\hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\parbox[c]{0.35\textwidth}{\begin{pspicture}(5.5,4)
\psellipse(2.7,0.5)(2.3,0.5)
\psline(0.4,0.5)(2.7,3.5)(5,0.5)
\psline[linestyle=dashed](2.7,3.5)(2.7,0.5)
\psframe(2.7,0.5)(2.95,0.75)
\psline[linestyle=dashed](0.4,0.5)(5,0.5)
\uput[l](0.4,0.5){A} \uput[r](5,0.5){B} \uput[d](2.7,0.5){O} \uput[u](2.7,3.5){S} 
\end{pspicture}} \hfill \parbox[c]{0.55\textwidth}{Un cône de révolution a pour sommet le point S. Sa base est un disque de centre O et de rayon 4 cm. Sa hauteur [SO] est telle que SO~=~2,8~cm.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer l'arrondi au degré de l'angle $\widehat{\text{OSB}}$.
\item Déterminer le volume de ce cône et donner son arrondi au  cm$^3$. 
\end{enumerate}}

\newpage

\textbf{Exercice 2} 

\medskip

\parbox[c]{0.55\textwidth}{On considère la figure ci-contre.

Cette figure n'est pas en vraie grandeur et n'est pas à reproduire. 

Elle est fournie pour préciser la position des points. L'unité est le centimètre. 
\begin{enumerate}
\item Le triangle ABC est rectangle en A. AB = 5, BC = 13.\\
Démontrer que AC = 12. 
\item Les points A, C, M sont alignés. Les points B, C, N
 sont alignés. CM = 2,4 et CN = 2,6.
 
Démontrer que les droites (AB) et (MN) sont parallèles.

Calculer la longueur MN. 
\item Préciser la nature du triangle CMN ; justifier la
réponse sans effectuer de calcul.
\end{enumerate}} \hfill  
\parbox[c]{0.35\textwidth}{\begin{pspicture}(4,5.5)
\psline(1.5,0)(3.7,0)(0.5,5.35)(1.5,5.35)(1.5,0) 
\uput[l](1.5,0){A} \uput[r](3.7,0){B} \uput[r](1.5,3.75){C} 
\uput[r](1.5,5.35){M} \uput[l](0.5,5.35){N} 
\end{pspicture}}

\bigskip

\textbf{Exercice 3} 

\medskip

\parbox[c]{0.55\textwidth}{On considère l'hexagone régulier ABCDEF
 ci-contre de centre O (l'hexagone n'est pas à reproduire).
 
On demande de déterminer l'image du triangle BCO par : 
\begin{enumerate}
\item la translation de vecteur 
$\vect{\text{AF}}$ ;
\item la symétrie d'axe (BE) ;
\item la rotation de centre O et d'angle 60° dans le sens
 contraire des aiguilles d'une montre.
\end{enumerate}
 Pour répondre, on complètera les trois phrases figurant dans
 l'annexe .}\hfill  \parbox[c]{0.4\textwidth}{\psset{unit=0.8cm}\begin{pspicture}(6,6)
\psline(0,3)(1.5,5.6)(4.5,5.6)(6,3)(4.5,0.4)(1.5,0.4)(0,3)
\psline(0,3)(6,3) \psline(1.5,5.6)(4.5,0.4) \psline(1.5,0.4)(4.5,5.6)
\uput[l](0,3){C} \uput[ul](1.5,5.6){B} \uput[ur](4.5,5.6){A} \uput[r](6,3){F} 
\uput[dr](4.5,0.4){E} \uput[dl](1.5,0.4){D} \uput[u](3,3){O}
\end{pspicture}} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\Large{Problème}\hfill 12 points}

\bigskip

Les parties A, B et C sont indépendantes. 

En octobre 2001, un groupe de 15 amis a participé à un semi-marathon
 (une course à pied de 21 km). 

Le diagramme en bâtons ci-dessous précise les résultats du groupe.
 Il indique par exemple que 4 de ces amis ont couru ce semi-marathon en 105~minutes. 

\parbox[c]{0.45\textwidth}{\textbf{Partie A}
\begin{enumerate}
\item Compléter le tableau de l'annexe.
\item On a défini ci-dessus la série statistique donnant
 la durée de la course des coureurs.
 
À l'aide du diagramme en bâtons ou du tableau complété en annexe : 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer son étendue. 
		\item Déterminer sa médiane. 
		\item Calculer sa moyenne.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}} \hfill 
\parbox[c]{0.45\textwidth}{\psset{unit=0.85cm}\begin{pspicture}(6.4,7.5)
\psline{->}(0,0.5)(6.4,0.5) \psline{->}(0,0.5)(0,7.5)
\psline(0,2)(1.5,2) \psline(0,3)(4.5,3) \psline(0,4)(2.5,4) \psline(0,6)(2,6)  
\psline[linewidth=2pt](1.5,0.5)(1.5,2)
\psline[linewidth=2pt](2,0.5)(2,6) 
\psline[linewidth=2pt](2.5,0.5)(2.5,4) 
\psline[linewidth=2pt](4.5,0.5)(4.5,3) 
\uput[d](1.5,0.5){\footnotesize 90} 
\uput[d](2,0.5){\footnotesize 100} 
\uput[d](2.5,0.5){\footnotesize 105} 
\uput[d](4.5,0.5){\footnotesize 120}
\uput[d](4.7,0.2){Durée en minutes}   
\uput[l](0,2){2} \uput[l](0,3){3} \uput[l](0,4){4} \uput[l](0,6){6}
\rput{90}(-0.8,5){Nombre de coureurs}\end{pspicture}}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip

Fabien, l'un des participants, a parcouru les 21 km à
la vitesse constante de 12 km par heure.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer en minutes la durée de la course de
Fabien.
\item On s'intéresse à la distance en km séparant Fabien
de la ligne d'arrivée après $x$ minutes de course ($0 \leqslant x \leqslant
 105$).

On note $f(x)$ cette distance et on admet que $f(x) = 21 - 0,2x$. 

Ainsi $f(10) = 19$ indique qu'après 10 minutes de course Fabien est
 à 19 km de la ligne d'arrivée. 

Dans le repère orthogonal de l'annexe, tracer la représentation
 graphique de la fonction affine $f$ définie par $f(x) = 21 - 0,2x$. 
\item Par lecture graphique (laisser visible les tracés utiles),
 déterminer : 
	\begin{enumerate}
		\item La distance en kilomètres séparant Fabien de l'arrivée après 30 minutes de course. 
		\item La durée en minutes écoulée depuis le départ lorsque Fabien est à 7 km de l'arrivée. 
	\end{enumerate}
\item Résoudre l'équation : $21 - 0,2x = 17$.

\item Que représente pour le problème la solution de cette équation ?
\end{enumerate}
  
\bigskip 

\textbf{Partie C}

\medskip

On suppose dans cette partie que :

Les 9 premiers kilomètres sont en montée, les 12 autres sont en
 descente.

Laurent à parcouru : 

les 9 premiers kilomètres en 40 minutes, Les 12 derniers kilomètres en 50 minutes. 

\begin{enumerate}
\item Calculer en km par heure la vitesse moyenne de Laurent
 en montée. 
\item Calculer en km par heure la vitesse moyenne de Laurent
 en descente. 
\item Calculer en km par heure la vitesse moyenne de Laurent
 sur le parcours total.
  \end{enumerate}
 
\newpage

\begin{center}\textbf{ANNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE} \end{center} 

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES - EXERCICE 3}

\begin{enumerate}
\item L'image du triangle BCO par la translation de vecteur
 $\vect{\text{AF}}$ est  \ldots \ldots
 
\item L'image du triangle BCO par la symétrie d'axe (BE) 
est \ldots \ldots
 
\item L'image du triangle BCO par la rotation de centre O
 et d'angle 60\degres{} dans le sens contraire des aiguilles d'une
montre est \ldots \ldots
  
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm} 

\textbf{PROBLÈME - PARTIE A - 1.}

\begin{center} \begin{tabular}{|l | c | c | c | c |} \hline 
Durée en minutes				&90	&100&105&120\\ \hline
Effectifs (nombre de coureurs) 	& 	& 	&4 	& \\ \hline
\end{tabular} \end{center}

\vspace{0,4cm}

\textbf{PROBLÈME - PARTIE B - 2. et 3.}

\vspace{0,4cm}

\begin{center}\psset{unit=0.9cm} \begin{pspicture*}(-0.6,-0.5)(12.4,12.7)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=2](0,0)(12,12.5)
\psline[linewidth=1.8pt](0,0)(12,0)
\psline[linewidth=1.8pt](0,0)(0,12.5)
\rput{90}(-0.9,6){ordonnées}
\rput(5.5,-1){abscisses}
\uput[l](0,2.5){5} \uput[l](0,5){10} \uput[l](0,7.5){15} 
\uput[l](0,10){20} \uput[l](0,12.5){25} 
\uput[d](0,0){0} \uput[d](1,0){10} \uput[d](2,0){20} \uput[d](3,0){30} 
\uput[d](4,0){40} \uput[d](5,0){50} \uput[d](6,0){60} \uput[d](7,0){70} 
\uput[d](8,0){80} \uput[d](9,0){90} \uput[d](10,0){100} \uput[d](11,0){110} 
\uput[d](12,0){120}
\end{pspicture*}
\end{center}
 \end{document}