\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{multicol} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pstricks,pst-plot}
\usepackage{pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Brevet des collèges},
pdftitle = {Antilles--Guyane juin 2002},
allbordercolors = white}   
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{juin 2002}}
\rfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet - Antilles-Guyane 
juin 2002~\decofourright}}} 

\medskip

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Activités numériques \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\textbf{a.} Calculer A et B en écrivant les détails des calculs  :

\[\text{A} = \dfrac{4}{5} - 2 \times \dfrac{6}{5} \qquad  \text{B} = \left(2 
\sqrt{2} \right)^2 - 2 \sqrt{9}.\]


\textbf{b.} Donner l'écriture scientifique de C :

\[\text{C} = \dfrac{\left(3,5 \times 10^{- 11} \times 2 \times 10^8\right)}
{\left(0,2 \times 10^{-9}\right)}.\]

\medskip

\textbf{Exercice 2} 

Résoudre l'inéquation suivante : 

\[4x - (x + 1) < 8x.\]
 
Représenter les solutions sur une droite graduée. (On hachurera la
 partie qui n'est pas solution). 

\bigskip

\textbf{Exercice 3} 

Résoudre le système suivant : 

\[ \left\{\begin{array}{l c l}
2 x + y& =& 2 \\
 3 x + 2 y& =& 1\\
\end{array}\right.\]

\medskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

Une entreprise a dépensé en tout \np{14400} \euro~ en 2001 pour l'entretien de ses voitures.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Compléter le tableau ci-dessous :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{| l | *{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Marque de voitures 	& A & B & C & D & E\\ \hline
Nombre de voitures	& 2	& 3	& 3 &4 	& 8\\ \hline
Dépense par voiture& 300 \euro & \np{1000} \euro & &\np{1350} \euro & 450 \euro\\ 
\hline
Dépenses totales & & & & & \\ \hline 
\end{tabularx} \end{center}	

\item Calculer la dépense moyenne pour l'entretien d'une voiture. 
\item Les dépenses totales d'entretien ont été représentées dans le diagramme circulaire ci-dessous, mais la légende a été effacée.

\begin{center}
\begin{pspicture}(6,6)
\pscircle[linewidth=2pt](3,3){3}
\pswedge[fillstyle=hlines](3,3){3}{90}{180}
\pswedge[fillstyle=vlines](3,3){3}{315}{360}
\pswedge[fillstyle=crosshatch](3,3){3}{0}{75}
\end{pspicture}
\end{center}

Rétablir cette légende.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\Large{Activités géométriques}\hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Sur cette figure, on a les longueurs suivantes OA $= 7,5$cm ; OB = 4 
cm ; OC $= 3$~cm et OD $= 1,6$~cm.

\begin{center} 
\begin{pspicture}(7,6)
\psline(0,0)(7,2) \psline(0,3.5)(7,5.5)
\psline(3.5,0)(4,6) 
\psline(0,5)(7,0)
\uput[u](1.5,4){A} \uput[u](4.2,4.8){B} \uput[r](3.7,2.5){O} 
\uput[dl](4,1.1){D} \uput[d](5.2,2.1){C}  
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Montrer que les droites (DC) et (AB) sont parallèles.
\item Sachant que DC = 5 cm, calculer AB. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

SABCD est une pyramide. Sa hauteur [SH] mesure 9 cm et l'aire de sa
 base est 20,25 cm$^2$.

\begin{center} 
\begin{pspicture}(7.5,8)
\psline(0,0)(5.1,0)(7.2,2.3)(3.5,7.5)(0,0) %ABCSA
\psline(5.1,0)(3.5,7.5)%SB
\psline(1.4,3)(4.5,3)(5.6,4.4) %MNK
\psline[linestyle=dashed](0,0)(1.8,2.2)(7.2,2.3) % ADC
\psline[linestyle=dashed](1.8,2.2)(3.5,7.5)(3.5,1.2) % DSH
\psline[linestyle=dashed](1.4,3)(2.5,4.4)(5.6,4.4) % MLK
\uput[ul](3.5,7.5){S} \uput[ur](2.5,4.4){L} \uput[ur](5.6,4.4){K}
\uput[r](4.5,3){N} \uput[l](1.4,3){M} \uput[ur](1.8,2.2){D}
\uput[ur](7.2,2.3){C} \uput[dr](5.1,0){B} \uput[dl](0,0){A}
\uput[r](3.5,1.2){H}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Calculer le volume de cette pyramide. 
\item En réalisant une section plane parallèle à la base de la
 pyramide, on obtient une pyramide SMNKL. De plus, on sait que SM = 
 $\dfrac{2}{3}$SA.

Calculer le volume de la pyramide SMNKL.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Le plan est muni d'un repère orthonormal (O, I, J). L'unité est le centimètre.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer les points A$(-1~;~0)$, B$(1~;~2)$ et C$(3~; 
~-4)$. 
\item Montrer que AB = $\sqrt{8}$ , AC = $\sqrt{32}$ et 
BC = $\sqrt{40}$.
\item En déduire que le triangle ABC est rectangle et préciser
 l'angle droit.
\item Placer le point D tel que $\overrightarrow{\text{AB}} = 
\overrightarrow{\text{CD}}$.
\item Quelle est la nature du quadrilatère CDBA ? Justifier
 la réponse.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\Large{Problème}\hfill 12 points}

\bigskip

Pour le paiement de la garderie dans une école, on propose deux formules :

\begin{itemize}
\item Formule A : on paie 40 \euro{} pour devenir adhérent pour l'année
 scolaire puis on paye 10~\euro{} par mois de garderie.
\item Formule B : pour les non adhérents, on paye 18 \euro{} par mois.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Pour chacune des formules, calculer le prix payé pour 10 mois
 de garderie. 
\item On appelle $x$ le nombre de mois de garderie.

On note $y_{\text{A}}$ le prix payé avec la formule A et 
$y_{\text{B}}$ le prix payé avec la formule B.

Exprimer $y_{\text{A}}$  puis $y_{\text{B}}$ en fonction de $x$. 
\item Représenter graphiquement les fonctions suivantes dans un
 même repèère :

\[x \mapsto y_{\text{A}} = 10x + 40 \qquad ; \qquad x \mapsto y_{\text{B}} =
 18x.\]

 L'origine du repèère sera placée en bas et  gauche de la feuille de
 papier millimétré.

 On prendra 1 cm pour 1 mois en abscisse.

 On prendra 1 cm pour 10~\euro{} en ordonnée.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item À partir du graphique, déterminer le nombre
 de mois pour lequel les prix à payer sont les mêmes.
		\item Retrouver ce résultat par le calcul. 
	\end{enumerate}
\item À partir du graphique, déterminer la formule la plus
 avantageuse si on ne paie que 4 mois dans l'année.
\item On dispose d'un budget de 113~\euro. Combien de mois
 de garderie au maximum pourra-t-on payer si l'on choisit la formule A ?
\end{enumerate}
\end{document}