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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{Métropole La Réunion Mayotte,\\ Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small{septembre 2010}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}
    
{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet des collèges septembre 2010~\decofourright\\
Métropole La Réunion Mayotte Antilles--Guyane}}
    
\vspace{0,5cm}
    
\textbf{Durée : 2 heures} \end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill 12 points}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1}

\medskip
 
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).

Aucune justification n'est demandée.
 
Pour chacune des questions, trois réponses sont proposées. Une seule est exacte.

Une réponse fausse ou une absence de réponse n'enlève aucun point.
 
Recopier le numéro de chaque question et la réponse exacte correspondante.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{4cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
1&\rule[-3mm]{0mm}{9mm}$\dfrac{3}{4} - \dfrac{5}{4}\times \dfrac{1}{2}$  est \'egal \`a&$- \dfrac{2}{4}$&$- \dfrac{2}{8}$&$ \dfrac{1}{8}$ \\ \hline
2&L'écriture scientifique de \np{0,0000549} est &5,49& $549 \times 10^7$& 
$5,49 \times 10^{-5}$\\ \hline 
3&\rule[-3mm]{0mm}{9mm} Le nombre $\left(5\sqrt{2}\right)^2$ est égal à& 10 &50 &100\\ \hline 
4&Une voiture parcourt 230~km en 2~h~30~min. Sa vitesse moyenne est&
100 km/h &60 km/h &92 km/h\\ \hline 
5& $f(x) = 2x^2 - 5x + 3$. L'image de $- 3$ par $f$ est&36& 
$- 36$ &$-6$\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip 
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2}

\medskip 

\parbox{0.65\linewidth}{\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(9,2)
\psframe[fillstyle=crosshatch*,fillcolor=black,hatchcolor=white,hatchwidth=1.2pt,hatchsep=1.8pt,hatchangle=0](0,0)(1,2)
\uput[u](3.6,1){234~\euro}
\psframe[fillstyle=vlines](1,0)(2,1)
\psframe[fillstyle=crosshatch*,fillcolor=black,hatchcolor=white,hatchwidth=1.2pt,hatchsep=1.8pt,hatchangle=0](2,0)(3,2)
\psframe[fillstyle=vlines](3,0)(4,1)
\psframe[fillstyle=crosshatch*,fillcolor=black,hatchcolor=white,hatchwidth=1.2pt,hatchsep=1.8pt,hatchangle=0](5,0)(6,2)
\psframe[fillstyle=vlines](6,0)(7,1)
\psframe[fillstyle=vlines](7,0)(8,1)
\psframe[fillstyle=vlines](8,0)(9,1)
\uput[u](7.5,1){162~\euro}
\end{pspicture}}\hfill
\parbox{0.33\linewidth}{Deux compositions de meubles sont exposées en magasin, la première au prix de 234~\euro{} et la deuxième au prix de 162~\euro.}

\medskip 
 
Quel est le prix de la composition ci-dessous ? Expliquer la démarche suivie. 

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(5,2)
\psframe[fillstyle=crosshatch*,fillcolor=black,hatchcolor=white,hatchwidth=1.2pt,hatchsep=1.8pt,hatchangle=0](0,0)(1,2)
\psframe[fillstyle=crosshatch*,fillcolor=black,hatchcolor=white,hatchwidth=1.2pt,hatchsep=1.8pt,hatchangle=0](1,0)(2,2)
\psframe[fillstyle=crosshatch*,fillcolor=black,hatchcolor=white,hatchwidth=1.2pt,hatchsep=1.8pt,hatchangle=0](2,0)(3,2)
\psframe[fillstyle=vlines](3,0)(4,1)
\psframe[fillstyle=vlines](4,0)(5,1)
\end{pspicture}
\end{center} 

\newpage
\textbf{Exercice 3}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|X|p{7cm}}\cline{1-2} 

A& B&On a calculé, en colonne B, les valeurs prises\\ \cline{1-2}
$x$& $x^2 + x - 2$& par l'expression $x^2 + x - 2$ pour\\ \cline{1-2} 
$-5$& 18&  les valeurs de $x$ inscrites en colonne A.\\ \cline{1-2} 
$-4,5$ &13,75& \\ \cline{1-2}
$-4$ &10& \\ \cline{1-2}
$-3,5$ &6,75&On souhaite résoudre l'équation d'inconnue $x$ :\\ \cline{1-2} 
$-3$ &4& \\ \cline{1-2}
$-2,5$ &1,75 &\multicolumn{1}{c}{$x^2 + x - 2 = 4$}\\ \cline{1-2}
$-2$ &0 &\\ \cline{1-2}
$-1,5$ &$-1,25$ &\\ \cline{1-2}
$-1$ &$-2$& \textbf{1.} Margot dit que le nombre 2 est solution.\\ \cline{1-2}
$-0,5$ &$-2,25$ &\\ \cline{1-2}
0 &-2 & A-t-elle raison? Justifier la réponse.\\ \cline{1-2}
0,5 &$-1,25$&\\ \cline{1-2}
1 &0 & \textbf{2.} Léo pense que le nombre 18 est solution.\\ \cline{1-2}
1,5 &1,75& \\ \cline{1-2}
2 &4&  A-t-il raison ? Justifier la réponse.\\ \cline{1-2}
2,5 &6,75&\\ \cline{1-2} 
3 &10&   \textbf{3.} Peut-on trouver une autre solution ?\\ \cline{1-2}
3,5 &13,75& \\ \cline{1-2}
4 &18& Justifier la réponse.\\ \cline{1-2}
4,5 &22,75& \\ \cline{1-2} 
5 &28&\\ \cline{1-2}
\end{tabularx} 
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\parbox{0.5\linewidth}{\psset{unit=0.9cm}
\begin{pspicture}(7,6)
\pspolygon(5,0.5)(0.6,0.5)(6.7,5.2)(5,5.2)%ABEDA
\psframe(5,5.2)(5.2,5)
\uput[d](5,0.5){A} \uput[d](0.6,0.5){B} \uput[dr](5,4.){C} \uput[u](5,5.2){D} \uput[u](6.7,5.2){E}
\uput[l](5,4.6){10}\uput[dr](5.8,4.5){14}
\uput[ul](3.2,2.6){42}\uput[r](5,2.5){30} 
\end{pspicture}} \hfill
\parbox{0.48\linewidth}{Les droites (AD) et (BE) se coupent en C.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que les droites (DE) et (AB) sont parallèles. 
\item En déduire que le triangle ABC est rectangle.
\end{enumerate}}

\newpage

\textbf{Exercice 2}

\medskip
 
\parbox{0.55\linewidth}{\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(0,-0.5)(9,7)
\pspolygon(0,0)(5.85,0)(8.7,2.6)(4.4,6.7)%DABS
\uput[d](0,0){D} \uput[d](5.85,0){A} \uput[ur](8.7,2.6){B} \uput[u](4.4,6.7){S} 
\psline(4.4,6.7)(5.85,0)%SA
\uput[ul](2.9,2.6){C}\uput[d](4.4,1.3){H}
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.25pt](4.4,6.7)(2.9,2.6)(0,0)(8.7,2.6)(2.9,2.6)(5.85,0)%SCDBCA
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.25pt](4.4,6.7)(4.4,1.3)%SH
\end{pspicture}} \hfill 
\parbox{0.38\linewidth}{Un fabricant de cheminées contemporaines propose une cheminée pyramidale de base le carré ABCD, de côté 120 cm.
 
H est le centre du carré.
 
La hauteur [SH] de la pyramide mesure 80 cm.}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Le fabricant place sous la cheminée une plaque de fonte. Cette plaque a la forme d'un pavé droit de base ABCD et d'épaisseur 1~cm. 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que son volume est \np{14400}~cm$^3$. 
		\item La masse volumique de la fonte est 6,8~g/cm$^3$. Quelle est la masse de cette plaque de fonte ? 
	\end{enumerate}
\item Dans cette question, on ne demande aucune justification géométrique.
 
On désigne par I le milieu du segment [AB]. 
	\begin{enumerate}
		\item Dessiner à l'échelle $\dfrac{1}{10}$ le triangle SHI puis le triangle SAB représentant une des faces latérales  de la pyramide. 
		\item Ces faces latérales sont en verre. Quelle est l'aire totale de la surface de verre de cette cheminée ?
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{PROBLÈME \hfill 12 points}

\vspace{0,5cm} 

Une commune étudie l'implantation d'une éolienne dans le but de produire de l'électricité.

\bigskip
 
\textbf{Partie 1 : Courbe de puissance d'une éolienne}

\medskip 

La puissance fournie par l'éolienne dépend de la vitesse du vent.

Lorsque la vitesse du vent est trop faible, l'éolienne ne fonctionne pas.
 
Lorsque la vitesse du vent est trop importante, par sécurité, on arrête volontairement son fonctionnement. 

\medskip

Pour le modèle choisi par la commune, on a tracé la courbe représentant la puissance fournie, en kW, en fonction de la vitesse du vent en m/s. 

\medskip

\begin{center}
\psset{xunit=0.4cm,yunit=0.015cm}
\begin{pspicture}(-1,0)(26,650)
\psaxes[linewidth=0pt,Dx=5,Dy=100](0,0)(25,600)
\psline(0,0)(26,0)
\multido{\n=0+100}{7}{\psline(0,\n)(26,\n)}
\uput[l](1,650){kW}\uput[d](26.5,0){m/s}
\pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](4,0)(5,20)(7.8,100)(9.5,200)(10.8,300)(12,400)(13,500)(14.8,600)(16,615)(17,620)(19.5,615)(21,600)(26,575)
\uput[d](13,-50){Source : www.WINDPOWER.org}
\end{pspicture}
\end{center} 

\vspace{0.75cm} 

\begin{enumerate}
\item Utiliser ce graphique pour répondre aux questions suivantes :
 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle vitesse le vent doit-il atteindre pour que l'éolienne fonctionne ? 
		\item Indiquer une vitesse du vent pour laquelle la puissance de l'éolienne est au moins 200~kW. 

		\item La puissance fournie par cette éolienne est-elle proportionnelle à la vitesse du vent ? Justifier la réponse.
	\end{enumerate} 
\item  On arrête l'éolienne lorsque le vent souffle à plus de 25 m/s. Exprimer cette vitesse en km/h. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie 2 : Étude de la vitesse du vent}

\medskip
 
On a relevé la vitesse du vent en m/s toutes les minutes pendant une année de 365 jours.
 
Le nombre de relevés étant trop important, la série est présentée par les éléments suivants :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
minimum& 1\up{er} quartile& médiane &3\up{e} quartile& maximum\\ \hline 
0 m/s& 4 m/s &6,2 m/s& 14,6 m/s& 28,4 m/s\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Pendant combien de temps peut-on estimer que le vent a soufflé à moins de 6,2~ m/s durant l'année ? 
\item Expliquer pourquoi on peut considérer que l'éolienne n'a pu fonctionner faute de vent suffisant pendant une durée totale de trois mois. 
\item  Combien la série contient-elle de relevés ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{Partie 3 : Puissance et longueur de pales}

\medskip

\parbox{0.27\linewidth}{\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(2.8,5)
\pspolygon*(1.3,0)(1.5,0)(1.45,2.75)(1.35,2.75)
\pscircle[linestyle=dashed](1.4,2.8){1.45}
\psellipse*(2.2,2.8)(0.65,0.1)
\rput{120}(1.0,3.5){\psellipse*(0,0)(0.65,0.1)}
\rput{240}(1.0,2.15){\psellipse*(0,0)(0.65,0.1)}
\rput(2,4.5){Pale} \psline{->}(2,4.4)(1.1,3.5)\rput(0.5,2.4){44 m}
\pscircle(1.4,2.85){0.15}
\end{pspicture}
} 
\hfill
\parbox{0.27\linewidth}{\psset{unit=1.221cm}
\begin{pspicture}(2.8,4.5)
\pspolygon*(1.3,0)(1.5,0)(1.45,2.75)(1.35,2.75)
\pscircle[linestyle=dashed](1.4,2.8){1.45}
\psellipse*(2.2,2.8)(0.65,0.1)
\rput{120}(1.0,3.5){\psellipse*(0,0)(0.65,0.1)}
\rput{240}(1.0,2.15){\psellipse*(0,0)(0.65,0.1)}
\rput(0.5,2.4){66 m}
\pscircle(1.4,2.85){0.15}
\end{pspicture}
}\hfill
\parbox{0.35\linewidth}{Les trois pales d'une éolienne décrivent un disque en tournant. 

On considère que la longueur des pales est le rayon de ce disque. }

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer l'aire de ce disque avec des pales de 44~m. 
		\item Même question avec des pales de 66~m.
	\end{enumerate} 
\item On admet que la puissance de l'éolienne est proportionnelle à l'aire du disque décrit par les pales. 

Par quel nombre va-t-on multiplier la puissance fournie si on utilise des pales de 66~m au lieu de 44~m ? 
\end{enumerate}
\end{document}