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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet  des collèges}
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small{décembre 2006}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 2 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Diplôme national du Brevet
 Nouvelle--Calédonie~\decofourright\\Décembre 2006}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{I -- ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On donne :

\[\text{A} = \dfrac{1}{4} + \dfrac{5}{6}~~\text{et}~~\text{B} = \dfrac{7}{5} - \dfrac{9}{5} \times \dfrac{2}{21}.\]

Calculer A et B.

On donnera le résultat sous forme de fraction irréductible.
\item On donne les nombres :

\[\text{C} = 5 - 3 \sqrt{2}\quad \text{et} \quad \text{D} = 3 + 2\sqrt{2}.\]

Calculer C $+$ D puis C $-$ D ; on donnera les résultats sous la forme $a + b\sqrt{c},\: c$ étant le plus petit possible. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2}}

\medskip

Cette série statistique représente les pointures des claquettes de 25 personnes :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
42&	42&	40&	39&	42\\  \hline
41&	38&	38&	39&	46\\  \hline
44&	41&	38&	38&	39\\  \hline
38&	39&	39&	45&	38\\  \hline
39&	39&	40&	38&	38\\  \hline
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Compléter le tableau des effectifs suivant. 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2cm}|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Pointure	des claquettes&38&	39&	40&	41&	42&	43&	44&	45 &	46\\ \hline
Effectifs&&&&&&&&&\\ \hline
\end{tabularx}
\medskip

\item  Déterminer l'étendue, la médiane et calculer la moyenne de cette série statistique.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3}}

On donne l'expression suivante : $E = (3x- 1)^2 + (2x+ 5) x (3x- 1)$.
\begin{enumerate}
\item  Développer puis réduire l'expression $E$. 
\item  Factoriser l'expression $E$. 
\item  Résoudre l'équation: $(3x - 1) x (5x + 4) = 0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 4}}

V représente la vitesse moyenne, $d$ la distance parcourue et $t$ la durée du parcours. Les trois grandeurs vérifient la relation : V $= \dfrac{d}{t}$.
Compléter le tableau suivant. Les réponses seront inscrites avec leurs
unités.

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \cline{2-4}
\multicolumn{1}{c|}{~}&V	&	$d$	&$t$\\ \hline
$a$	&	70 km/h	&		&5 h\\ \hline
$b$	&	9 m/s		&450 m	& \\ \hline
$c$	&	25 m/s	&		&2 mm\\ \hline
\end{tabularx}

\vspace{0,5cm}

\textbf{II -- ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1}}

\medskip

\emph{Dans cet exercice, la figure n'est pas en vraie grandeur.}

RST est un triangle rectangle en S tel que $\widehat{\text{RTS}} = 57$\degres{} et RS = 19~cm.

Calculer la longueur ST et donner le résultat arrondi au mm près.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6,2.5)
\pspolygon(1.1,2.2)(5.5,2.2)(5.5,0)%RST
\uput[l](1.1,2.2){R}  \uput[ur](5.5,2.2){S}  \uput[dr](5.5,0){T}  
\psline(5.5,2)(5.3,2)(5.3,2.2)
\pswedge(5.5,0){4mm}{90}{150}
\end{pspicture}
 \end{center}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2}}

\medskip

On considère un repère orthonormé (O ; I, J). L'unité choisie est le centimètre.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Placer les points A(0 ; 2); B$(~1 ;~ - 1)$ ; C(6 ; 4). 
\item  Montrer que BC $= \sqrt{50}$.
\item  On admet que AB$ = \sqrt{10}$	b et AC $= \sqrt{40}$. Montrer que le triangle ABC est rectangle.
\item  Calculer les coordonnées du point M, milieu du segment [AB]. 
\item  Sur la figure de la question 1., placer 1e  point D, image du point A par
la translation de vecteur $\vect{\text{CB}}$.
\item  Montrer que le quadrilatère ACBD est un parallélogramme.	
\item  Que représente le point M pour le segment [CD] ? Justifier.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{ Exercice 3}}

\medskip

Soit ACD un triangle, B est un point du segment [AD] et E un point du
segment [AC].

On donne :

\[\text{AB} = 5~\text{	cm}~ ;~ \text{AE} =  4~\text{cm}~ ;~ \text{AC} = 6,4~\text{cm} ~; ~\text{AD} =  8~\text{cm}~\text{et}~ \text{CD} =  10~\text{cm}.\]

\begin{enumerate}
\item Construire la figure en vraie grandeur.
\item Montrer que les droites (BE) et (CD) sont parallèles.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{III -- PROBLÈME \hfill 12 points}

\bigskip

On considère le carré ABCD dont la mesure d'un côté (en cm) a pour expression $2x + 1$, et le carré AEFG ayant 4~cm de côté, comme représentés ci-dessous (la figure n'est pas en vraie grandeur).

\begin{center}

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7,7)
\psframe(6,6)
\pspolygon[fillstyle=vlines](0,0)(6,0)(6,6)(3.4,6)(3.4,2.6)(0,2.6)
\uput[r](6,3){$2x+ 1$} \uput[ul](0,6){A}  \uput[ur](6,6){B} 
\uput[dr](6,0){C}  \uput[dl](0,0){D}  \uput[u](3.4,6){E}  \uput[dr](3.4,2.6){F}  \uput[l](0,2.6){G}
\rput(1.7,6.6){$4$} 
\psline{->}(1.9,6.6)(3.4,6.6)    \psline{->}(1.5,6.6)(0,6.6) 
\psline{->}(6.3,3.3)(6.3,6)     \psline{->}(6.3,2.7)(6.3,0)
\end{pspicture} 
\end{center}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\emph{Dans cette partie, on considère que $x$ est égal à $3$.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter, dans ce cas, la figure en vraie grandeur.
\item Calculer, dans ce cas, le périmètre du polygone BCDGFE.	
\end{enumerate}

\bigskip
	
\textbf{Partie B}

\medskip

\emph{Dans cette partie, on considère que $x$ est supérieur à $2$.}

On désigne par $\mathcal{P}$ le périmètre du polygone BCDGFE.
 \begin{enumerate}
\item  Montrer que $\mathcal{P}= 8x + 4$.	
\item  En utilisant l'expression de la question précédente, 
calculer $\mathcal{P}$ dans le cas où $x = 3$.	
\item  Pour quelle valeur de $x$, ce périmètre $\mathcal{P}$ est-il le double de celui du carré AEFG ?
\end{enumerate}

\bigskip
  	
\textbf{Partie C}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie par $f : x \longmapsto 8x + 4$.
\begin{enumerate}
\item Tracer sur papier millimétré, dans un repère orthogonal, la représentation graphique de cette fonction, pour les valeurs de $x$ positives.

On prendra 2~cm par unité sur l'axe des abscisses et 2~cm pour 10 unités sur l'axe des ordonnées. On placera l'origine du repère en bas à gauche de la feuille.
\item Déterminer graphiquement pour quelle valeur de $x,~f(x) = 28$. 

On laissera apparents les traits de construction.
\item Déterminer graphiquement :
	\begin{enumerate}
		\item  pour quelle valeur de $x$, le périmètre du polygone BCDGFE est égal à 40~cm.
		\item  quel est le périmètre du polygone BCDGFE lorsque $x = 3,5$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document} 