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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small{décembre 2007}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 2 heures}

\vspace{0,25cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Diplôme national du Brevet
 Nouvelle--Calédonie~\decofourright\\Décembre 2007}}\ \end{center}

\vspace{0,5cm}

 \textbf{I -- ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1}}

\medskip
 
\textbf{Dans cette partie, les calculs devront être détaillés.}

On considère les trois nombres A, B et C :

\[\text{A} = - \dfrac{5}{3}  +\dfrac{7}{5} \quad  \text{B} = \dfrac{7}{4} \div \dfrac{21}{9} \quad  \text{C} = - 2 \times \left(60 - 5 \times 4^2 \right) - (8 - 15)\]
\begin{enumerate}
\item  Calculer A et B et donner le résultat sous la forme d'une fraction simplifiée.
\item  Calculer C
\end{enumerate}
 
\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}}
 
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM)

Aucune justification n'est demandée.

Pour chacune des questions, quatre réponses sont proposées et une seule est exacte.

Aucun point ne sera enlevé en cas de mauvaise réponse.

\textbf{Pour chacune des questions, indiquer sur votre copie, le numéro de la question et recopier la réponse exacte.}
 
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|>{\small}m{2,6cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{3-6}
\multicolumn{2}{c|}{}&\multicolumn{4}{c|}{Réponses proposées}\\ \hline
\textbf{1.}&$x^2 - 16$ est égal à :&$(x - 4)^2$&$(x - 4)(x + 4)$&$(x - 8)^2$&$(x + 4)^2$\\ \hline
\textbf{2.}&La valeur exacte de $\sqrt{80} + \sqrt{20}$ est :&
\rule[3mm]{0mm}{3mm} $\sqrt{100}$& 13,416& $6\sqrt{5}$ &$8\sqrt{10} + 2\sqrt{10}$\\ \hline
\textbf{3.}&
Un objet coûtant \np{1200}~F augmente de $5$\:\%. Son nouveau prix est alors de :&60 F&\np{1205} F&\np{1200,50} F&\np{1260} F\\ \hline
\textbf{4.}&
Sur une carte à l'échelle 1/\np{25000}, la longueur d'une route est de $10$~cm.
La longueur réelle de cette route est :&\np{2500} cm&0,25 km&2,5 km&
\np{25000} m\\ \hline
\textbf{5.}&Le nombre qui est solution de l'équation :
$5x - (7x + 4) = 8$ est :&$- 2$&$- 6$&6&2\\ \hline
\end{tabularx}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3}}

\medskip
 
Dans cet exercice, tout début d'explication, de démarche seront pris en compte.

Comment peut-on calculer astucieusement sans calculatrice $1\:999^2 - 1\:998^2$ ?

Expliquer rigoureusement votre démarche et donner la réponse.

\vspace{0,5cm}

\textbf{II -- ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points}
 
\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1}}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Constructions :
	\begin{enumerate}
		\item  Tracer un triangle PUR rectangle en R, tel que RU = 8~cm et UP =12~cm.
		
Placer le point E sur le segment [RU] tel que UE = 3~cm.
		\item  Tracer la perpendiculaire à (RU) passant par E. Elle coupe [UP] en N.
	\end{enumerate}
\item Calculer la longueur RP. Justifier. (On donnera une valeur arrondie au dixième).
\item Démontrer que les droites (EN) et (RP) sont parallèles.
\item Calculer la longueur UN. Justifier.
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

 \textbf{\textsc{Exercice 2}}
 
La distance entre le phare P du cap N'Doua et le ponton O de la tribu de Ouara est égale à environ $4,65$~km.
Un bateau B se trouve au large de ce ponton.

\medskip

\parbox{0.45\linewidth}{
Le triangle OPB est rectangle en B et des visées ont permis d'établir que l'angle $\widehat{\text{OPB}}$ est égal à 30 \degres. 
\begin{enumerate}
\item  Montrer que la distance séparant le bateau B du ponton O est égale à 2\:325~m.
\item  Sachant que le bateau B se déplace à 15,5 km/h, déterminer le temps (en minutes) qu'il lui faudra pour rejoindre le ponton O.
On rappelle que :

vitesse  $= \dfrac{\text{distance}}{\text{temps}}$
\end{enumerate}} \hfill
\parbox{0.5\linewidth}{\psset{unit=0.65cm}
\begin{pspicture}(9,7.2)
\psframe(9,7.2)
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{
\pscurve(0,5.3)(1,4.9)(2,5)(2.5,4.5)(2.4,3.8)(2.8,3)(2.5,2.2)(2.3,2)(2.2,1.7)(2.5,1.2)(1.2,1)(1.7,1.3)(1.2,1.6)(1,1.3)(0.85,1)(0.4,1)(0.2,1)(0.3,0.7)(0.9,0.3)(1.4,0.4)(2,0.25)(2.3,0)
\psline(2.3,0)(0,0)(0,5.3)}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{
\pscurve(0,6.1)(1,5.9)(1.7,5.93)(2,5.75)(2.95,6)(2.7,6.7)(2.5,7)(2.5,7.2)
\psline(2.5,7.2)(0,7.2)(0,6.1)}%
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{
\pscurve(9,4.4)(8,4.55)(7,4.75)(6.7,5)(6.3,4.9)(6.7,5.2)(6.8,5.4)(7,5.45)(7.2,5.3)(7.7,5.6)(8,5.4)(8.25,5.3)(8.3,5.8)(8.7,5.7)(9,6.1)
\psline(9,6.1)(9,4.5)}
\pscurve*[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](3,6.3)(3.5,6.1)(3.8,5.8)(4,6.1)(3.8,6.3)(3,6.3)
\pspolygon[linestyle=dotted,linewidth=2pt](3,2)(4.5,1.3)(6,4.3)
\psline[linewidth=3pt](2.4,2.2)(2.75,2.05)
\uput[u](3,2){O} \uput[d](4.5,1.3){B(ateau)} \uput[ur](6,4.2){P(hare)} 
\rput(6,6.5){Baie de Prony}
\rput(4.5,-0.5){Cette figure est donnée à titre indicatif et n'est}
\rput(4.5,-1){ pas en vraie grandeur.}
\rput(1.2,3){Île Ouen}
\end{pspicture}}

\vspace{0,5cm}

\textbf{III -- PROBLÈME \hfill 12 points}

\bigskip
 
M. Robbie Ney, professeur de biologie, a chargé trois de ses élèves (Luc, Isabelle et Pierre), d'étudier l'évaporation de trois liquides de couleurs différentes : un rouge, un bleu et un vert.

Ils disposent d'une éprouvette graduée et remettent chacun leurs résultats à leur professeur.

\medskip

\textbf{Première partie : Étude du liquide rouge}

\medskip
 
Luc rend le graphique donné en annexe sur lequel il a relevé le niveau du liquide restant dans l'éprouvette au bout de plusieurs jours.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Quelle est la hauteur du liquide rouge au début de l'expérience ?
\item  Quelle est la hauteur du liquide rouge au bout de 15 jours ?
\item  Au bout de combien de jours le niveau du liquide a-t-il baissé du tiers par rapport à son niveau initial ?
\item  Quelle est la hauteur de liquide évaporé au bout de $5$~jours ?
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Deuxième partie : Étude du liquide bleu}
 
Isabelle, qui étudie le liquide bleu, remet à son professeur le tableau suivant comportant ses relevés :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Durée (en jours)&0&5&8&15\\ \hline
Hauteur du liquide restant dans l'éprouvette (en mm)&150&115&94&45\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  On note $x$ le nombre de jours et $f(x)$ la hauteur de liquide bleu, exprimée en mm, restant dans l'éprouvette. On admet que $f$ est une fonction affine.

En utilisant les données du tableau, représenter graphiquement la fonction $f$ sur le graphique donné en annexe.
\item  Exprimer $f(x)$ en fonction de $x$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Troisième partie : Étude du liquide vert}

\medskip
 
Pierre qui étudie le liquide vert remet à son professeur la formule suivante : $y = - 8 x + 160$,
$y$ désignant la hauteur de liquide vert restant dans l'éprouvette (en mm) et $x$ le nombre de jours écoulés.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Quelle était la hauteur du liquide vert au début de l'expérience ?
\item  Calculer le nombre de jours au bout desquels le liquide a baissé de moitié.
\item  Représenter, sur le même graphique, la fonction $g$ définie par \\$g~ :~ x \longmapsto - 8 x + 160$. 
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Quatrième partie : Interprétation des résultats}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Déterminer graphiquement la couleur du liquide qui va en premier complètement s'évaporer.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Résoudre par le calcul :
		
		\[\left\{\begin{array}{l cl}
		y&=&-7x + 50\\
		y&=&-8x + 160\\
		\end{array}\right.\]
		\item  Interpréter le résultat trouvé au a.
 	\end{enumerate}
 \end{enumerate}
\begin{center}PENSEZ à rendre l'annexe avec votre copie.\end{center}

\newpage

\begin{center}\textbf{ANNEXE DU PROBLÈME}

\bigskip

\psset{xunit=0.32cm,yunit=0.0667cm}
\begin{pspicture}(-2,-10)(32,200)
\psdots[linecolor=blue,dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.5](5,100)(10,80)(15,60)
\multido{\n=0.0+.2}{161}{\psline[linewidth=0.1pt](\n,0)(\n,200)}
\multido{\n=0+1}{201}{\psline[linewidth=0.1pt](0,\n)(32,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2,Dy=10]{->}(0,0)(-1.9,-9)(32,200)
\uput[d](27,-7){Nombre de jours}
\rput{90}(-3.5,170){Hauteur de liquide (en mm)}
\end{pspicture}

\end{center}
\end{document}