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% Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{Nouvelle--Calédonie}}
\rfoot{\small{mars 2011}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Brevet  Nouvelle--Calédonie mars 2011 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\textsc{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES} \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le PGCD de \np{1755} et \np{1053}. Justifier votre réponse. 
\item Écrire la fraction $\dfrac{\np{1053}}{\np{1755}}$ sous la forme irréductible. 
\item Un collectionneur de coquillages (un conchyliologue) 
possède \np{1755}~cônes et \np{1053} porcelaines.
 
Il souhaite vendre toute sa collection en réalisant des lots identiques, c'est-à-dire comportant le même nombre de coquillages et la même répartition de cônes et de porcelaines. 
	\begin{enumerate}
		\item Quel est le nombre maximum de lots qu'il pourra réaliser ? 
		\item Combien y aura-t-il, dans ce cas, de cônes et de porcelaines par lot ?
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\parbox{0.48\linewidth}{
Ci-contre, la droite $d$ est la représentation graphique d'une fonction linéaire $f$. 
\begin{enumerate}
\item Lire sur le graphique l'image de 2 par la fonction $f$. 
\item Lire sur le graphique $f(- 1)$. 
\item Lire sur le graphique l'antécédent de 2 par la fonction $f$. 
\item À l'aide du graphique, trouver $x$ tel que $f(x) = - 1$.
\end{enumerate}} \hfill
\parbox{0.5\linewidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-2,-1.2)(4.1,2.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,gridcolor=orange,subgridcolor=orange,gridwidth=0.4pt,subgridwidth=0.2pt](-2,-1)(4,2.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt,comma=true]{->}(0,0)(-1.95,-1)(4,2.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt,comma=true](0,0)(-1.95,-1)(4,2.5)
\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](-2,-1)(4,2) \uput[dr](0,0){O}
\end{pspicture*}}

\bigskip
 
\textbf{Exercice 3} 

\medskip

On écrit sur les faces d'un dé équilibré à six faces, chacune des lettres du mot: 
\begin{center}
\textbf{N\:O\:T\:O\:U\:S}\end{center} 
On lance le dé et on regarde la lettre inscrite sur la face supérieure.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Quelles sont les issues de cette expérience ? 
\item Déterminer la probabilité de chacun des évènements: 
	\begin{enumerate}
		\item E$_{1}$ : \og On obtient la lettre O \fg. 
		\item Soit E$_{2}$ l'évènement contraire de E$_{1}$. Décrire E$_{2}$ et calculer sa probabilité. 
		\item E$_{3}$ : \og On obtient une consonne \fg. 
		\item E$_{4}$ : \og On obtient une lettre du mot K\:I\:W\:I \fg. 
		\item E$_{5}$ : \og On obtient une lettre du mot C\:A\:G\:O\:U\:S \fg.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES} \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip
 
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).
 
Pour chacune des quatre affirmations, une seule des réponses proposées est exacte.
 
Vous répondrez sur la feuille donnée en annexe en entourant distinctement la bonne réponse. Aucune justification n'est demandée.
 
Il ne sera enlevé aucun point en cas de mauvaise réponse.

\bigskip
 
\textbf{Exercice 2}

\medskip

Un cycliste se trouve sur un chemin (CB]. On donne AH = 100 m, HB = 400 m et $\widehat{\text{ABC}} = 10~\degres$. 
 
\parbox{0.48\linewidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6,3)
\pspolygon(0.25,0.25)(5.75,0.25)(0.25,2.25)
\psline(2,0.25)(2,1.6)
\uput[dl](0.25,0.25){A} \uput[r](5.75,0.25){B} \uput[ul](0.25,2.25){C} \uput[u](2,1.6){D} \uput[d](2,0.25){H} 
\uput[d](1.125,0.25){100~m}\uput[d](3.875,0.25){400~m}
\psframe(0.25,0.25)(0.45,0.45)\psframe(2,0.25)(2.2,0.45)
\end{pspicture}}\hfill
\parbox{0.48\linewidth}{\begin{enumerate}
\item Calculer la mesure de l'angle $\widehat{\text{BCA}}$. 
\item Calculer le dénivelé AC arrondi au mètre. 
\item Calculer la longueur BC arrondie au mètre. 
\item Le cycliste est arrêté au point D sur le chemin.
 
Calculer la distance DB arrondie au mètre qu'il lui reste à parcourir. 
\end{enumerate}}

\bigskip
 
\textbf{Exercice 3}

\medskip

\parbox{0.2\linewidth}{ 
\textbf{Rappels :}

 V$_{\text{cylindre}}  = \pi r^2 h$
 
V$_{\text{boule}}  = \dfrac{4}{3}\pi r^3$ } \hfill 
\parbox{0.75\linewidth}{ Un restaurant propose en dessert des coupes de glace composées de trois boules supposées parfaitement sphériques, de diamètre 4,2 cm.
 
Le pot de glace au chocolat ayant la forme d'un parallélépipède rectangle est plein, ainsi que le pot de glace cylindrique à la vanille.}

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(11,3)
%\psgrid
\psframe(6,1.5)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](6,0)(6.6,0.8)(6.6,2.3)(6,1.5)
\psline(6,1.5)(0,1.5)(0.6,2.3)(6.6,2.3)
\psline[linewidth=0.6pt,arrowsize=2pt 4]{<->}(0,-0.6)(6,-0.6)
\psline[linewidth=0.6pt,arrowsize=2pt 4]{<->}(-0.5,0)(-0.5,1.5)
\psline[linewidth=0.6pt,arrowsize=2pt 4]{<->}(6,-0.6)(6.6,0.2)
\rput(3,0.75){Chocolat }
\psline(7.5,0)(7.5,2.5)\psline(11,0)(11,2.5)
\psellipse(9.25,2.5)(1.75,0.4)
\psellipticarc(9.25,0)(1.75,0.4){-180}{-0}
\rput(9.25,1){Vanille}
\uput[u](3,-0.6){20 cm}\uput[dr](6.3,0){15 cm}
\rput{90}(-0.75,0.75){12 cm}
\psline[linewidth=0.6pt,arrowsize=2pt 4]{<->}(7.5,-0.6)(11,-0.6)
\psline[linewidth=0.6pt,arrowsize=2pt 4]{<->}(7.3,0)(7.3,2.4)
\uput[d](9.25,-0.6){14 cm} \uput[l](7.3,1.2){15 cm}
\end{pspicture}
\end{center} 

Le restaurateur veut constituer des coupes avec deux boules au chocolat et une boule à la vanille.

\medskip
 

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que le volume d'un pot de glace au chocolat est \np{3600}~cm$^3$. 
		\item Calculer la valeur arrondie au cm$^3$ du volume d'un pot de glace à la vanille.
	\end{enumerate} 
\item Calculer la valeur arrondie au cm$^3$ du volume d'une boule de glace contenue dans la coupe. 
\item \textbf{Dans cette question, toute trace de recherche sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
Sachant que le restaurateur doit faire 100~coupes de glace, combien doit-il acheter de pots au chocolat et de pots à la vanille ? 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{PROBLÈME} \hfill 12 points}

\medskip
 
\textbf{Les énergies renouvelables}

\medskip
 
\emph{Certaines sources d'énergie (hydrocarbures, nucléaires, charbon, \ldots) posent des problèmes aux gouvernements des pays : effet de serre, stockage des déchets radioactifs,~\ldots\\
 Pour cette raison, les sources d'énergie renouvelables, ou énergies \og bio \fg (énergie éolienne, énergie hydraulique, énergie solaire, géothermie, \ldots) se développent. Elles sont en effet inépuisables, propres et immédiatement disponibles.}

\medskip
 
Certains fournisseurs proposent de l'électricité \og bio \fg. 

Une famille étudie deux tarifs d'électricité \og bio \fg{} qui lui sont proposés. 

\medskip

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|l|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-3}
\multicolumn{1}{c|}{~}&Tarif 1 &Tarif 2\\ \hline% 
Abonnement mensuel (en CFP)& 0 &\np{3600}\\ \hline% 
Prix par kWh distribué (en CFP)& 24 &14\\ \hline%
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip
 
\begin{center}\textbf{Première partie} \end{center}
 
\begin{enumerate}
\item Si la famille consomme 300 kWh en un mois, calculer le coût pour le tarif 1, puis celui pour le tarif 2. 
\item Si la famille consomme 450 kWh en un mois, calculer le coût pour le tarif 1, puis celui pour le tarif 2. 
\item Sachant que la famille a payé \np{11280}~CFP pour le tarif 1 pour un mois, quelle est sa consommation en kWh ? 
\item On note $x$ le nombre de kWh d'électricité \og bio \fg{} consommé.
 
On note $T_{1}(x)$ le coût de l'électricité consommée en un mois pour le tarif 1.

On note $T_{2}(x)$ le coût de l'électricité consommée en un mois pour le tarif 2. 

On admet que $T_{1}(x) = 24x$ et que $T_{2}(X) = \np{3600} + 14x$. 

Trouver pour quelle valeur de $x,\quad T_{1}(x) = T_{2}(x)$.
\end{enumerate}

\begin{center}\textbf{Deuxième partie} \end{center}  
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Sur une feuille de papier millimétré, en plaçant l'origine en bas à gauche de la page, tracer un repère orthogonal.
		
\setlength\parindent{10mm}		 
Sur l'axe des abscisses, porter le nombre de kWh consommés : 1 cm représente 50 kWh.

Sur l'axe des ordonnées, porter le coût en CFP : 1 cm représente 500 CFP.
\setlength\parindent{0mm}
 
		\item Dans le repère précédent, tracer la droite $\left(d_{1}\right)$, représentation graphique de la fonction $T_{1}$. 
		\item Dans le même repère, tracer la droite $\left(d_{2}\right)$, représentation graphique de la fonction $T_{2}$.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Graphiquement, déterminer le coût pour 400~kWh consommés, pour le tarif 1. 
		\item Graphiquement, déterminer le nombre de kWh consommés pour un coût de \np{10600}~CFP, pour le tarif 2.
	\end{enumerate} 
\item Graphiquement, trouver en fonction de sa consommation, le tarif le plus avantageux pour cette famille. 
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{ANNEXE\\ 
(à rendre avec la copie)}

\medskip
 
Activités géométriques : Exercice 1 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{6cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\textbf{1.} (RE) et (TA) se coupent en S. (RT) et (AE) sont parallèles.

 ST = 5~cm ; SA = 4~cm et SE = 3~cm. Alors la longueur RS est égale à \ldots
\begin{pspicture}(6,3)
\pspolygon(0.5,2.75)(3,0.5)(5,1.25)
\psline(0.5,0.2)(5,2.05)
\uput[ul](0.5,2.75){S}\uput[d](3,0.5){R}\uput[dr](5,1.25){T}
\uput[d](2.4,1){E}\uput[u](3.8,1.6){A}
\end{pspicture}& 3,75 cm &2,4 cm& 0,266 cm\\ \hline 
\textbf{2.} Le point G est sur le cercle de centre O et de diamètre [EF].

 $\widehat{\text{EFG}} = 24$~\degres.
  
La mesure de l'angle $\widehat{\text{GEF}}$ est égale à \ldots

\begin{pspicture}(6,4)
\pscircle(3,2){2}
\psline[linewidth=1pt](2.3,1.9)(2.2,1.6)
\psline[linewidth=1pt](3.8,2.4)(3.7,2.1)
\pspolygon(1.1,1.4)(4.9,2.6)(1.2,2.8)
\psarc(4.9,2.6){0.7}{175}{198}
\psdots(3,2)\uput[dr](3,2){O}\uput[l](1.1,1.4){E}\uput[ul](1.2,2.8){G}\uput[r](4.9,2.6){F}
\rput(3.5,2.4){24~\degres}
\end{pspicture}&90~\degres&24~\degres&66~\degres\\ \hline%  
\textbf{3.}  En triplant les longueurs d'un côté d'un triangle, les mesures des angles sont \ldots & Conservées& Multipliées par 3& Multipliées par 9\\ \hline% 
\textbf{4.} Un cône de révolution a pour rayon AB~=~10~cm 
et pour hauteur SA = 24~cm.

 On coupe ce cône par un plan parallèle à sa base et qui passe par le point H de [SA] tel que SH ~=~18~cm. Le rayon HC de la section est \ldots 
\begin{pspicture}(6,4)
\psellipse(3,3.25)(1.25,0.25)
\psellipticarc(3,2.25)(0.87,0.22){180}{0}
\psellipticarc[linestyle=dashed](3,2.25)(0.87,0.22){0}{180}
\psline(1.8,3.2)(3,0)(4.2,3.2)
\psline[linestyle=dashed](3,0)(3,3.25)
\psline[linestyle=dashed](3,2.25)(3.87,2.25)
\psline(3,3.25)(4.25,3.25)
\uput[l](3,3.25){A} \uput[r](4.25,3.25){B} \uput[r](3.87,2.25){C} \uput[l](3,2.25){H} \uput[r](3,0){S} 
\end{pspicture}&10~cm& 7,5~cm &5~cm\\ \hline 
\end{tabularx} 
\end{center}

\newpage
\begin{center}\textbf{Papier millimétré proposé (hors sujet)}

\vspace{1.5cm}

\psset{xunit=0.015cm,yunit=0.0015cm}
\begin{pspicture}(-50,-250)(750,11000)
\multido{\n=0+5}{151}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=cyan](\n,0)(\n,11000)}
\multido{\n=0+25}{31}{\psline[linewidth=0.4pt,linecolor=cyan](\n,0)(\n,11000)}
\multido{\n=0+50}{221}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=cyan](0,\n)(750,\n)}
\multido{\n=0+250}{41}{\psline[linewidth=0.4pt,linecolor=cyan](0,\n)(750,\n)}
\multido{\n=0+500}{23}{\uput[l](0,\n){\np{\n}}}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=50,Dy=50000]{->}(0,0)(750,11000)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=50,Dy=50000](0,0)(750,11000)
\uput[d](700,-300){consommation}
\uput[d](700,-500){en kWh}
\uput[u](0,11000){Coût en CFP}
\end{pspicture} 
\end{center}
\end{document}