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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small{mars 2008}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 2 heures}

\vspace{0,5cm}

 {\Large \textbf{\decofourleft~Diplôme national du Brevet
 Nouvelle--Calédonie~\decofourright}}
 
 {\Large \textbf{Mars 2008 }}
 \end{center}

\vspace{0,25cm}

 \textbf{I -- ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill 12 points}

\vspace{0.25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}}

\medskip
 
Dans chaque cas, indiquer les étapes du calcul.
\begin{enumerate}
\item  Calculer A et B en donnant le résultat sous la forme d'une fraction simplifiée :
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{>{\centering \arraybackslash}X}}
A $= \dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{4}$& B $= \dfrac{5}{6}\div \dfrac{5}{9}$\\
\end{tabularx}
\item  Calculer : C $= 10 - [- 2 \times (2  -3)+5]$
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2}}

\medskip
 
Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).

Pour chaque ligne du tableau, quatre réponses sont proposées, mais une seule est exacte.

Aucun point ne sera enlevé en cas de mauvaise réponse.

Indiquer sur votre copie, le numéro de la question et, sans justifier, recopier la réponse exacte.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|>{\small}m{2,6cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{3-6}
\multicolumn{2}{c|}{}&\multicolumn{4}{c|}{Réponses proposées}\\ \hline
\textbf{1.}& Quelle est l'expression développée de : $2x(2x - 3)$ ?&$2x^2 - 6x$&\rule[3mm]{0mm}{3mm} $4x^2 - 3$ &$4x^2 - 6x$&$10x^2$\\ \hline
\textbf{2.}& Quelle est l'expression factorisé de : $x^2 - 100$ ?&
$(x - 10)^2$&\footnotesize $(x - 10)(x + 10)$&$(x - 50)^2$&\footnotesize $(x - 50) (x + 50)$\\ \hline
\textbf{3.}& Quelles sont les solutions de : $(x~-~4)(2x~+~7)~=~0$ ?&
\rule[3mm]{0mm}{3mm}$4$ et $- \dfrac{7}{2}$&$4$ et $\dfrac{7}{2}$& $4$ et 
$- \dfrac{2}{7}$&$4$ et $\dfrac{2}{7}$\\ \hline
\textbf{4.}& Quelle est la valeur exacte de : $\sqrt{4 + 16}$ ?&\rule[3mm]{0mm}{3mm} 10&
6& $2\sqrt{5}$&
$4,47$\\ \hline
\textbf{5.}& Le prix d'un article coûtant \np{1200}~F baisse de 5\:\% ; quel est son nouveau prix ?&60 F&\np{1260} F&\np{1195} F&\np{1140} F\\ \hline
\end{tabularx}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3}}

\medskip
 
Dans cet exercice, tout début d'explication, de démarche sera pris en compte.

Voici les distances (en km) qui séparent le soleil de trois planètes du système solaire :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{>{\centering \arraybackslash}X}}
Vénus : $105 \times 10^6$&Mars : $2\:250 \times 10^5$&Terre : $1,5 \times 10^8$\\
\end{tabularx}

\medskip

Parmi ces trois planètes, quelle est celle qui est la plus éloignée du soleil ? Justifier.

\vspace{0,5cm}

\textbf{II -- ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1}}

\medskip
 
Soit un triangle ABC rectangle en A tel que AB = $6$~cm et AC = $8$~cm
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Compléter la figure sur la \textbf{feuille annexe} fournie avec le sujet.
		\item Montrer que BC = $10$~cm.
 	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Placer le point E sur le segment [AB] tel que BE = $1,5$~cm.
		
Placer le point F sur le segment [BC] tel que BF = $2,5$~cm.
		\item Montrer que les droites (AC) et (EF) sont parallèles.
		\item Montrer que EF = $2$~cm.
	 \end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Placer le point B$'$ symétrique de B par rapport à A sur la figure de l'annexe.
		\item Montrer que le triangle BB$'$C est isocèle en C.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center} \textbf{Pensez à rendre l'annexe avec votre copie.} \end{center}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2}}

\medskip
 
\parbox{0.55\linewidth}{Un verre a une partie supérieure en forme de cône de révolution de sommet S, de hauteur [OS] telle que
OS = 9~cm et de rayon [OA] tel que OA = 4~cm.
\begin{enumerate}
\item  Montrer que le volume de ce verre, en cm$^3$, est
égal à $48\pi$.
\item   Avec un litre d'eau, combien de fois peut-on
remplir entièrement ce verre ?
\end{enumerate}}\hfill
\parbox{0.35\linewidth}{\psset{unit=0.9cm}
\begin{pspicture}(4,6)
\psellipse(2,4.9)(1.9,0.5)
\psellipse*(2,0.45)(1.65,0.45)
\psline(2,0.8)(2,1.8)(3.85,4.8) \psline(2,1.8)(0.15,4.8)
\psline[linestyle=dashed](2,1.8)(2,4.9)
\psline[linestyle=dashed](0.2,4.9)(3.9,4.9)
\psline(2,4.7)(2.2,4.7)(2.2,4.9)
\uput[dl](2,1.8){S} \uput[l](0.2,4.9){A} \uput[u](2,4.9){O} 
\end{pspicture}}
\textbf{Formulaire :} 1 litre = 1 dm$^3$ = 1\:000 cm$^3$

Le volume d'un cône de hauteur $h$ et de rayon $R$ est :

V $= \dfrac{1}{3} \times \pi \times R^2 \times h$

\vspace{0,5cm}

\textbf{III -- PROBLÈME \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Partie I}

\medskip
 
Voici un tableau de proportionnalité donnant la vitesse exprimée en n{\oe}uds et la vitesse exprimée en mètres par seconde correspondante.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Vitesse mesurée en n{\oe}uds& \ldots &1,028&1,285&1,542\\ \hline
Vitesse mesurée en m/s&1&2&\ldots &3\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

Recopier et compléter ce tableau sur votre copie.

\bigskip

\textbf{Partie II}
 
Une barque traverse une rivière en partant d'un point A d'une rive pour arriver en un point B sur l'autre rive.

\medskip

\parbox{0.6\linewidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,2.5)
\psline(0,0)(8,0) \psline(0,2)(8,2)
\psline(6,2)(2.4,0) \psline[linestyle=dashed](2.4,0)(2.4,2)
\psline(2.6,2)(2.6,1.8)(2.4,1.8) \psarc(2.4,0){4mm}{30}{90}
\uput[d](2.4,0){A} \uput[u](6,2){B} \uput[u](2.4,2){C} 
\end{pspicture}}\hfill
\parbox{0.35\linewidth}{On suppose que :

ABC est rectangle en C.

mes $\widehat{\text{BAC}} = \alpha$}

\bigskip

 La traversée de A vers B s'effectue à la vitesse constante de 1,542 n{\oe}uds et dure 50 secondes.
\begin{enumerate}
\item  Exprimer cette vitesse en m/s.
\item  Montrer que la distance parcourue AB est de $150$~m.
\item  Sachant que $\alpha = 60~\degres$, calculer la largeur AC de la rivière.
\end{enumerate}
 
\medskip

\textbf{Partie III}

\medskip
 
Les points A et B sont distants de $150$~mètres.

\textbf{Au même moment :}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] un nageur part de A et se dirige vers B, à vitesse constante de $1$~m/s.
\item[$\bullet~$] une pirogue part de B et se dirige vers A, à la vitesse constante de $1,028$~noeuds.
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item À quelle distance du point A se trouve le nageur 50 s après son départ ?
		\item À quelle distance du point A se trouve la pirogue 50 s après son départ ?
 	\end{enumerate}
\item On considère les fonctions $n$ et $p$ définies par : $n(x) = 1\cdot x$ et $p(x) = 150 - 2x$ ;

$n(x)$ est la distance (en m) séparant le nageur du point A en fonction du temps $x$ (en s) ;

$p(x)$ est la distance (en m) séparant la pirogue du point A en fonction du temps $x$ (en s).
	\begin{enumerate}
		\item Représenter graphiquement les fonctions $n$ et $p$, sur une feuille de papier millimétré, dans un même repère orthogonal, tel que : $1$~cm représente $10$~s sur l'axe des abscisses,
$1$~cm représente $10$~m sur l'axe des ordonnées.

(On placera l'origine O du repère en bas et à gauche de la feuille)
		\item Déterminer, graphiquement, l'instant où le nageur et la pirogue vont se croiser.
(\emph{On laissera apparents les traits de construction})
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Formulaire :}  Si $v$ désigne la vitesse moyenne, $d$ la distance parcourue et $t$ la durée de parcours, alors :
 
\[ v = \dfrac{d}{t}\quad  ;\quad  d = v \times t \quad ; \quad  t = \dfrac{d}{v}.\]

\newpage

\begin{center}\textbf{ANNEXE\\
ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES}

\begin{flushleft}Exercice 1 :\end{flushleft}

\vspace{4cm}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(12,6)
\psline(6,0)(9.4,2.6)
\uput[dr](6,0){A} \uput[dr](9.4,2.6){B} 
\end{pspicture}

\vspace{6cm}

\textbf{ À RENDRE AVEC VOTRE COPIE}
\end{center}
\end{document}