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% Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{Nouvelle Calédonie}}
\rfoot{\small{mars 2009}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Brevet  Nouvelle Calédonie mars 2009 \decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES} \hfill 12 points}

\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip

Tous les calculs et toute trace de recherche, même incomplète, doivent figurer sur la copie.

\bigskip 
 
\textbf{Exercice 1 :}

\medskip  
 
On considère le programme de calcul ci-dessous. 

\begin{center}
 
\fbox{\begin{minipage}{7cm}Programme de calcul : 

$\bullet~$ Choisir un nombre de départ
 
$\bullet~$ Ajouter 1
 
$\bullet~$ Calculer le carré du résultat obtenu
 
$\bullet~$ Lui soustraire le carré du nombre de départ 

$\bullet~$ Écrire le résultat final.
\end{minipage}} 
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que lorsque le nombre de départ est 1, on obtient 3 au résultat final. 	 
		\item Lorsque le nombre de départ est 2, quel résultat final obtient-on ?  
		\item Le nombre de départ étant $x$, exprimer le résultat final en fonction de $x$. 
	\end{enumerate} 
\item  On considère l'expression $P = (x + 1)^2 - x^2$.  
     Développer puis réduire l'expression P. 
 
\item  Quel nombre de départ doit-on choisir pour obtenir un résultat final égal à 15 ? 
\end{enumerate} 

\bigskip

\textbf{Exercice 2 :} 

\medskip
 
Le tableau ci-dessous indique des grandeurs physiques et démographiques des pays et territoires  constituant la Mélanésie en 2005.
 
\medskip
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4cm}|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\footnotesize Pays et territoires de Mélanésie&\footnotesize  Superficie terrestre (en km$^2$)&\footnotesize  Densité en 2005 
(nombre d'habitants par km$^2$)\\ \hline 
Iles Fidji					& \np{18 272}	& 45\\ \hline  
Iles Salomon				& \np{28 370}	& 17\\ \hline  
Nouvelle-Calédonie			& \np{18 576}	& 13\\ \hline  
Papouasie-Nouvelle-Guinée	& \np{462 840}	& 13\\ \hline  
Vanuatu						& \np{12 190}	& 18\\ \hline
\multicolumn{3}{c}{Source : \emph{Institut de la Statistique et des Études Économiques.}} \\
\end{tabularx}

\medskip 
 
\begin{enumerate}
\item  Quelle est la superficie terrestre totale de la Mélanésie ? 
\item  Quel pourcentage de la superficie totale représente la superficie de la Nouvelle-Calédonie ? 

Donner le pourcentage obtenu arrondi au dixième près. 

\item  Calculer le nombre d'habitants en Nouvelle-Calédonie en 2005.

\end{enumerate} 
 
\bigskip
 
\textbf{Exercice 3 :} 
 
\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Justifier sans calcul que 850 et 714 ne sont pas premiers entre eux. 

\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer par la méthode de votre choix, en détaillant les différentes étapes, le PGCD de 850 et 714.

		\item En déduire la fraction irréductible égale à $\dfrac{850}{714}$.

	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}
 
\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES  \hfill       12 points}

\bigskip 
 
\textbf{Exercice 1 :}

\medskip  
 
\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).}

\emph{Aucune justification n'est demandée.}

\emph{Pour chacune des questions, trois réponses sont proposées, une seule réponse est exacte.}

\emph{ Aucun point ne sera enlevé en cas de mauvaise réponse.}

\medskip
 
\textbf{Pour chacune des cinq questions, indiquer sur votre copie le numéro de la question et recopier la  réponse exacte.}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{6cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\textbf{1.}&Si $\tan x = 54$ alors la valeur approchée  de $x$  arrondie au degré près est égale à : &1\degres& 88\degres  &89\degres\\ \hline 
\textbf{2.}& \psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(3,2)%\psgrid
\pspolygon(0,0)(1.5,0)(0.75,1.999)
\psline(1.5,0)(3,0) \psarc(1.5,0){0.3cm}{0}{116}
\uput[ur](1.7,0.2){103\degres} \psarc(0.75,1.999){0.3cm}{-116}{-64}
\rput(4,1.5){La valeur de} \rput(4,1){$a$ est égale à :}
\rput[d](0.75,1.5){$a$}
\psline(0.3,1.1)(0.5,0.9) \psline(1.1,0.9)(1.3,1.1)\end{pspicture} &77\degres&  36\degres  &26\degres\\ \hline  
\textbf{3.}& Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, les coordonnées des points 
A et B sont : A$(3~;~-2)$ et B$(-1~;~-1)$.
 
La distance AB est exactement égale à :& $\sqrt{17}$& 4,123  & $\sqrt{13}$\\ \hline 
\textbf{4.}&  Une petite sphère a pour rayon $r$.
  
 Une grande sphère a pour rayon $R$, tel que  $R = 3r$. 
 
Soient $v$ le volume de la petite sphère et $V$ le volume de la grande sphère.

\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(6,4)\pscircle(0.75,2){0.75} \pscircle(3.5,2){1.8}   
\psline(0.75,2)(1.5,2) \psline(3.5,2)(5.3,2)
\psellipse[linestyle=dashed](0.75,2)(0.75,0.25)
\psellipse[linestyle=dashed](3.5,2)(1.8,0.6)
\uput[u](1.25,2){$r$} \uput[u](4.4,2){$R$}\end{pspicture}
 
Quelle égalité est vraie ? &\rule[-70pt]{5mm}{} $V =  3v$&\rule[-70pt]{5mm}{} $V = 9v$ &\rule[-70pt]{5mm}{} $V = 27v$\\ \hline
\textbf{5.}&\psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(0,-0.5)(4,2)
\pspolygon(0.2,0)(2.2,0)(2.2,1.5)
\uput[d](1.2,0){4}\uput[r](2.2,0.75){3}\uput[ul](1.1,0.7){5}
\rput(4,0.75){$\dfrac{3}{5}$ est égal à :} 
\psarc(0.2,0){3mm}{0}{40} \uput[ur](0.6,0){$y$} 
\end{pspicture}&$\sin y$& $\cos y$& $\tan y$\\ \hline 
\end{tabularx}

\bigskip

\textbf{Exercice 2 :} 

\medskip
 
\emph{La figure qui suit n'est pas en vraie grandeur. Il n'est pas demandé de la reproduire.
L'unité est le centimètre.}
 
\medskip
 
Le point B appartient au segment [DE] et le point A au segment [CE].
 
On donne : ED = 9 ;      EB = 5,4 ;      EC = 12 ;       EA = 7,2    ;   CD = 15 
 
\medskip
 
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7,5)
\pspolygon(0,0)(8.2,0)(3,4) \uput[dl](0,0){D} \uput[dr](8.2,0){C} \uput[u](3,4){E}
\psline(1.48,2)(5.6,2) \uput[l](1.48,2){B} \uput[r](5.6,2){A}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip 
 
\begin{enumerate}
\item  Montrer que les droites (AB) et (CD) sont parallèles. 
\item  Calculer la longueur du segment [AB].  
\item  Montrer que les droites (CE) et (DE) sont perpendiculaires. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer la valeur arrondie au degré près de l'angle  
$\widehat{\text{ECD}}$.                                                           
		\item  En déduire, sans faire de calcul, celle de l'angle $\widehat{\text{EAB}}$. Justifier.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{PROBLÈME  \hfill          12 points}

\medskip
 
Les parties A et B sont indépendantes. 

\medskip

\textbf{PARTIE A}

\medskip 
 
Dans un magasin de location, le gérant a comptabilisé le nombre de DVD loués au cours d'une semaine et il a obtenu les résultats consignés dans le tableau suivant : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{1.15cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-8} 
\multicolumn{1}{m{1.15cm}|}{}&\small Lundi&\small  Mardi&\small  Mercredi&\small  Jeudi&\small  Vendredi&\small  Samedi& {\footnotesize  Dimanche}\\ \hline 
Nombre de DVD loués& 19& 15& 16& 14& 20& 74& 52\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip 
 
\begin{enumerate}
\item  Quel est le nombre total de DVD loués sur la semaine entière ? 
\item  Calculer le nombre moyen de DVD loués par jour durant cette semaine. 
\item  Calculer le pourcentage de DVD loués pendant le week-end (samedi et dimanche)  par rapport à la semaine entière. 
 \end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{PARTIE B}

\medskip 
 
Dans un magasin de location de DVD, on propose à la clientèle deux formules :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] Tarif plein : 500~F par DVD loué. 
\item[$\bullet~$] Tarif abonné : \np{2000}~F pour l'achat d'une carte d'abonné, puis 300~F par DVD loué . 
\end{itemize} 
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\emph{On note $x$ le nombre de DVD loués, $P(x)$ le prix payé au tarif plein et $A(x)$ le prix payé au tarif abonné.} 

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Recopier et compléter le tableau suivant :  

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Nombre de DVD loués : $x$		& 2	& 5			&8			& 12\\ \hline 
Prix payé avec le tarif plein :
 $P(x)$ en Franc.				&	& \np{2500}	&			&\\ \hline    
Prix payé avec le tarif abonné :
 $A(x)$ en Franc.				&	&			&\np{4400}	&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip   
 
\item \emph{On admettra que $P$ est une fonction linéaire, $A$ est une fonction affine, et donc que leurs  représentations graphiques sont des droites.}

 Représenter dans un repère orthogonal les deux tarifs 
en fonction du nombre de DVD loués. (on placera l'origine du repère en bas à gauche, on prendra 1~cm pour 1 DVD loué en abscisse et 2~cm pour \np{1000}~F en ordonnée) 
 
\item En utilisant  le graphique : donner le nombre de DVD pour lequel le prix est le même dans les  deux tarifs puis,  préciser le tarif le plus avantageux en fonction du nombre de DVD loués. 
 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer $P(x)$ et $A(x)$ en fonction de $x$. 
		\item Retrouver par le calcul le nombre de DVD pour lequel le prix est le même quelle que soit la formule choisie. 
    	\end{enumerate}     
\end{enumerate}
\end{document} 