\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{ulem}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{lscape}
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage{graphics}
\usepackage{pstricks,pst-plot}
\setlength\paperheight{297mm}
\setlength\paperwidth{210mm}
\setlength{\textheight}{23,5cm}
\setlength{\voffset}{-2,5cm}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\overrightarrow{\imath},~\overrightarrow{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\overrightarrow{\imath},~\overrightarrow{\jmath},~\overrightarrow{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\overrightarrow{u},~\overrightarrow{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Brevet des collèges},
pdftitle = {Nouvelle Calédonie    novembre 2004},
allbordercolors = white}   
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small{Brevet des collèges}}
\lfoot{\small{Nouvelle--Calédonie}}
\rfoot{\small{décembre 2004}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 2 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Nouvelle--Calédonie~\decofourright\\ novembre 2004}}

\vspace{0,25cm}

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée. \end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Dans chaque cas, indiquer les étapes de calcul.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Calculer A et B en donnant les résultats sous la forme
 d'une fraction  irréductible :

\[\text{A} = \dfrac{1}{2} - \dfrac{3}{4} \div \dfrac{5}{2} \qquad 	
\text{B} = \dfrac{2  \times 10^{-1}}{10^{-4} \times (10^2)^3}.\]

\item Écrire C sous la forme $a\sqrt{b}$  où $a$ est un entier relatif et $b$ est un entier le plus petit possible :

\[\text{C}  = 3\sqrt{2} - \sqrt{50} + 2\sqrt{18}.\]

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On donne l'expression suivante : 

$D =  (4x - 3)^2 - (3x + 1)(4x - 3)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $D$.
\item Factoriser $D$.
\item Résoudre l'équation $(4x - 3)(x - 4) = 0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Résoudre le système suivant :

\[\left\{\begin{array}{l c r}
3x + 2y & = & 850\\
2x + 4y & = & 1\:100\\
\end{array}\right.\]

\vspace{0,5cm}

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES 	\hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Dans le plan muni d'un repère orthonormal (O, I, J), unité 1 cm, on 
considère les points :

\[\text{A}(- 2~;~1)\quad  ;\quad  \text{B}(-1~ ;~-2)\quad  \text{et 
C}(4~;~3).\]

\begin{enumerate}
\item Placer les points A, B et C.
\item Montrer par le calcul que AC $= \sqrt{40}$.
\item Montrer que le triangle ABC est rectangle en A sachant que AB $ = \sqrt{10}$	et 

BC $ = \sqrt{50}$.
\item Calculer la mesure de l'angle $\widehat{\text{B}}$, arrondie au degré.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On considère la figure suivante dans laquelle : 

\medskip

\parbox[l]{0,4\textwidth}{Les points E, A et C sont alignés ;

Les points F, A, B sont alignés ;

AF = 12 cm ; AC = 5 cm ;

AB = 7,5 cm ; AE = 8 cm.}\hfill 
\parbox[l]{0,55\textwidth}{\psset{unit=1.2cm}\begin{pspicture}(5.2,2)
\psline(0,0.3)(5.2,1.7) \psline(0,0.3)(0.8,1.5)
\psline(0.8,1.5)(4.1,0) \psline(4.1,0)(5.2,1.7)
\uput[dl](0,0.3){B} \uput[u](2.1,0.9){A} \uput[u](0.8,1.5){C} 
\uput[dr](4.1,0){E} \uput[u](5.2,1.7){F} 
\end{pspicture}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que les droites (BC) et (EF) sont parallèles.
\item Calculer la longueur EF sachant que BC =  3,5 cm.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Tracer un carré EFGH de côté 6 cm.
\item Placer le point J tel que : $\vect{\text{FJ}}  = \vect{\text{EF}}$.
\item Placer le point K tel que : $\vect{\text{FK}} =  
\vect{\text{EH}} + \vect{\text{EF}}$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{PROBLÈME 	\hfill 12 points}

\bigskip

Une agence de location de voitures propose pour la location d'un 
minibus à la journée, trois tarifs :

Tarif A : 50 F par kilomètre parcouru.

Tarif B : \np{4500}~F fixe et 20 F par kilomètre parcouru.

Tarif C : un forfait de \np{8000}~F (kilomètres illimités).

\bigskip

\textbf{Partie I}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Sur votre copie, \textbf{recopier} et compléter le tableau
 suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{5.4cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Nombre de kilomètres parcourus 	&80	&160	&200\\ \hline
Prix à payer avec le tarif A 	& 	& 		& \\ \hline
Prix à payer avec le tarif B 	& 	& 		& \\ \hline
Prix à payer avec le tarif C 	& 	& 		& \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item Entourer le tarif le plus avantageux pour chacune des distances 
parcourues.
\item Expliquer pourquoi le prix à payer P$_{\text{C}}$ correspondant au tarif C 
est constant.

Soit $x$ le nombre de kilomètres parcourus en une journée ; exprimer en 
fonction de $x$, les prix à payer P$_{\text{A}}$ et  P$_{\text{B}}$ correspondant 
respectivement aux tarifs A et B.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie II}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Sur une feuille de papier millimétré tracer un repère orthogonal 
(O, I, J). On prendra les unités suivantes :

1 cm pour 10 km sur l'axe des abscisses ; 
 
1 cm pour 500 F sur l'axe des ordonnées.

(\textsl{Placer l'origine en bas et à gauche de la feuille})

\item Dans ce repère, tracer les représentations graphiques des 
fonctions $a,~ b$ et $c$ définies
par : 

\[a(x) = 50x \quad  ; \quad	b(x)= 20x + \np{4500} \quad	\text{et} \quad  c(x) = \np{8000}.\]

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie III}

\medskip

\textsl{Pour les questions suivantes, on ne demande \textbf{aucun calcul} mais on 
fera apparaître sur le graphique \textbf{les traits de construction} 
permettant d'y répondre.}

\medskip

En vous aidant du graphique précédent :

\begin{enumerate}
\item Indiquer le prix à payer avec le tarif B, pour 100 km.
\item Indiquer le nombre de kilomètres que l'on peut parcourir pour 
\np{6000}~F avec le tarif A.
\end{enumerate}
\end{document}